L-fonction

La théorie du L de - les fonctions est devenues très une substantielle, et toujours en grande partie le conjectural, une partie de la théorie des nombres contemporaine . Dans lui, de larges généralisations de la fonction de zéta de Riemann et le '' L '' - les séries pour un caractère de Dirichlet de sont construites, et leurs propriétés générales, dans la plupart des cas encore hors de portée de la preuve, sont présentées d'une manière systématique.

L - fonctions

Nous devrions distinguer au départ la série L , une représentation de série infinie (par exemple la série de Dirichlet pour la zéta-fonction de Riemann), et le L - la fonction, la fonction dans le plan complexe qui est sa suite analytique . Les constructions générales commencent par un L - série, définie d'abord comme produit d'Euler de répertorié par des nombres premiers, et puis par expansion comme série de Dirichlet . Des évaluations sont exigées pour montrer que ceci converge dans un certain bon moitié-avion des nombres complexes. Alors on demande si cette série peut être analytiquement continuée au reste du plan complexe (peut-être avec quelques poteaux).

C'est cette (probablement) suite méromorphe conjecturale au plan complexe qui est appelé un L-function . Dans les cas classiques, déjà, on sait que l'information utile est contenue dans les valeurs et le comportement du L - fonctionner aux points où la représentation de série ne converge pas. Le L de limite générale - la fonction ici inclut beaucoup de types connus de zéta-fonctions. La classe S de Selberg de est une tentative de capturer les propriétés de noyau du L - fonctions dans un ensemble d'axiomes, de ce fait encourageant l'étude des propriétés de la classe plutôt que de différentes fonctions.

L'information conjecturale

On peut énumérer des caractéristiques des exemples connus du L - les fonctions qu'on souhaiterait voir généralisé :
endroit de

s zéros et des poteaux ;
équation fonctionnelle de ('' L '' - fonction) , en ce qui concerne une certaine ligne verticale au sujet de ( s ) = constante ;
valeurs intéressantes aux nombres entiers.

Le travail détaillé a produit un grand corps des conjectures plausibles, par exemple au sujet du type exact d'équation fonctionnelle qui devrait s'appliquer. Puisque la zéta-fonction de Riemann se relie par ses valeurs même aux nombres entiers aux nombres de Bernoulli , on recherche une généralisation appropriée de ce phénomène. Comme conséquence ce cas a ont été obtenus pour fonctions du les '' p '' - '' L '' adic - qui décrivent certains modules de Galois de

L'exemple du bouleau et le Swinnerton-Tinctorial conjecturent

Le voient le bouleau et le Swinnerton-Tinctorial principaux de d'article conjecturer

Un des exemples influents, pour l'histoire du plus général L - les fonctions et car encore-ouvrir le problème de recherches, est la conjecture développée par le bouleau de Bryan de et le Swinnerton-Tinctorial de Peter de dans la partie précédente des années 60. Elle s'applique à un elliptique E de la courbe , et le problème qu'il essaye de résoudre est la prévision du grade de la courbe elliptique au-dessus des nombres raisonnables (ou d'un champ global différent ) : c. le nombre de générateurs libres de son groupe de points raisonnables. Beaucoup de travaux précédents dans le secteur ont commencé à être unifiés autour d'une meilleure connaissance du L - fonctions. C'était quelque chose comme un exemple de paradigme de la théorie naissante du L - fonctions.

Élévation de la théorie générale

Ce développement a précédé le programme de Langlands de par quelques années, et peut être considéré comme complémentaire à lui : Le travail de Langlands se rapporte en grande partie au Artin '' L '' - les fonctions qui, comme le L de Hecke - fonctions, ont été définis plusieurs décennies plus tôt, et au L - les fonctions ont attaché aux représentations générales d'Automorphic de

Graduellement il est devenu plus clair dans quel sens la construction des zéta-fonctions de Hasse-Weil de pourrait être fait fonctionner pour fournir le valide L - fonctions, dans le sens analytique : il devrait y avoir une certaine entrée de l'analyse, qui a signifié l'analyse automorphic du . Le cas général unifie maintenant à un niveau conceptuel un certain nombre de différents programmes de recherche.

Voir également

hypothèse de Riemann généralisée par de

Théorème de modularité de
Conjecture d'Artin de

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