L\'espace robuste

Dans l'analyse complexe , le robuste p de ^{du H des espaces (ou classes robustes ) sont certains espaces des fonctions holoèdres sur le disque d'unité ou l'avion supérieur. Ils ont été présentés par le Frigyes Riesz , qui les a appelés pour le G. robuste, en raison du papier. Dans les espaces robustes de vrai de l'analyse sont certains espaces des distributions sur la vraie ligne, qui sont (plus ou moins) des valeurs limites des fonctions holoèdres des espaces robustes complexes, et sont liés aux espaces de Lp de de l'analyse fonctionnelle . Pour 1< le <&infin du p ; ces le vrai robuste p} de ^{du H des espaces sont essentiellement identique que le L le p} de ^{de , alors que pour le &le du p ; 1 le L les espaces du p} de ^{de ont quelques propriétés indésirables, et les espaces robustes bien mieux sont comportés.}

Il y a également des généralisations dimensionnelles plus élevées, se composant de certaines fonctions holoèdres sur des domaines de tube dans le cas complexe, ou de certains espaces des distributions sur le n de ^{du R dans le vrai cas.}

Les espaces robustes pour le disque d'unité

Pour les espaces des fonctions holoèdres du sur le disque ouvert d'unité de , le robuste H ² de l'espace comprend le f de fonctions dont la valeur quadratique moyenne sur le cercle du r de rayon reste fini comme &rarr du r ; 1 de dessous.

Plus généralement, robuste l'espace H ^p pour $0 est classe de holoèdre fonction sur ouvert unité disque satisfying$

$\ sup_ {0 Le nombre de l'aile gauche de l'inégalité ci-dessus est l'espace robuste p -norm pour f, dénoté par le \|f \|_ {H^p} .$

Pour $0, il peut montrer que H$ ^q est un sous-ensemble de H^p.

Applications

De tels espaces ont un certain nombre d'applications dans l'analyse mathématique lui-même de , et également à la théorie de commande et à la théorie de dispersion . Un H ² de l'espace peut se reposer naturellement à l'intérieur d'un L l'espace de ² comme partie « causale », par exemple représenté par les ordres infinis répertoriés par le N , où le L ² se compose des ordres Bi-infinis répertoriés par le Z .

Factorisation

Pour le $p \ geq 1$ , chaque $f de fonction \ dans H^p$ peut être écrit comme f de produit = Gh où le G est une fonction externe de et le h est une fonction intérieure de , comme défini ci-dessous.

On indique que le h ( z ) est une fonction (intérieure) intérieure si et seulement si $|h (z)|\ leq 1$ sur le disque d'unité et la limite $de \ lim_ {r \ rightarrow 1^-} h (re^ {I \ thêta})$

existe pour le presque tout le $de \ theta$ et son module est égal à 1.

On indique que le G ( z ) est une fonction (extérieure) externe s'il prend le $} +z} {e^ {I \ thêta} - z} g (e^ {I \ thêta}) d \ thêta \]$ droit pour un certain vrai $de valeur \, \ phi$ et un certain à valeurs réelles g ( z ) de fonction qui est intégrable sur le cercle d'unité.

La fonction intérieure peut être encore factorisée dans une forme impliquant un produit de Blaschke de .

Les espaces robustes pour l'avion supérieur

Il est possible de définir les espaces robustes sur d'autres domaines que le disque, et dans beaucoup d'espaces robustes d'applications sur a le moitié-avion complexe (habituellement le moitié-avion ou le haut droit - demi - avion) sont utilisés. Voir, par exemple, le livre cité de Hoffman.

Le robuste p de ^{du H de l'espace sur l'avion supérieur est défini pour être l'espace du holoèdre de fonctions F sur l'avion supérieur tels que le $de \ international|F (x+iy)|^pdx$ est lié au-dessus de tout le y >0. La quasi-norme robuste ||F||la puissance en chevaux de de _{est définie pour être la racine de Th du p du supremum au-dessus du y >0.}}

Les vrais espaces robustes pour le n de ^{du R}

Dans l'analyse sur le vrai n , le robuste p de ^{du R de l'espace de vecteur de ^{du H de l'espace (pour 0< le &le de p ; &infin ;) se compose du f de distributions tels que pour un certain &Phi de la fonction de Schwartz de ; avec le &int ; &Phi ; = 1, le $de de la fonction maximale (M_ \ phi f) (x)= \ sup_ {t>0}|(f* \ Phi_t) (x)|$ est dans le L le p} de ^{de , où * est la convolution et le &Phi ; t ( X ) de _{= ^{&minus du t ; n}&Phi ; ( X / t ). Si 1< &le du p ; &infin ; alors le robuste p de ^{du H de l'espace est essentiellement identique que le L le p} de ^{de . Quand le p =1, le robuste H ¹ de l'espace est un sous-espace approprié du L ¹, et son duel est l'espace des fucntions de l'oscillation moyenne liée par . Si p <1 puis l'espace robuste Le p} de ^{du H a les éléments qui ne sont pas des fonctions, et son duel est l'espace homogène de Lipschitz du n (1 &minus d'ordre de p ; 1).}
Le p -quasinorm de ^{du H || f ||la puissance en chevaux de de _{d'un f de distribution du p}} de ^{du H est définie pour être le L norme du p} de ^{de du _{&Phi du M ; f de}. (Ceci dépend du choix du &Phi ; , mais les différents choix de Schwartz fonctionne &Phi ; donner les normes équivalentes.) À proprement parler ce Quasinorm n'est pas une norme dans le sens habituel des espaces de Banach pour le p <1 car il n'est pas subadditive, mais s'appelle toujours souvent une norme. La puissance de Th du p || f ||le p} des puissances en chevaux ^{de de _{est subadditive pour le &le du p ; 1 et définit ainsi un métrique sur le robuste p}} de ^{du H de l'espace, qui définit la topologie et transforme le p} de ^{du H en espace métrique complet. (Avertissant : si le p} de ^{du H du p <1 alors est le pas par espace de Banach , As || f ||le p} des puissances en chevaux ^{de de _{n'est pas une norme : il n'est pas homogène du degré 1.)}}
Lié fonction f de compact appui est dans robuste l'espace H ^p si et seulement si tout son moment

$f (x) x_1^ {i_1} \ cdots x_n^ {} d'i_n \, dx$ à qui i ₁+ d'ordre… + le n de _{du i est tout au plus le n (1 &minus de p ; 1) disparaissent. Si en outre le f a l'appui dans un certain B de boule et est lié près | B |^{&minus ; 1 f du p} alors s'appellent un H^p-atom . D'ailleurs n'importe quel élément du p de ^{du H a une décomposition atomique comme somme infinie convergente de H^p-atoms.}}

Voir également

infini du H de
.
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