L\'espace normal

axiome d'eparation Dans la topologie et les branches relatives des mathématiques , les espaces normaux , le T₄ de espace , le T₅ espace , et les espaces du T₆ que sont en particulier des genres gentils de topologiques ces états des espaces sont des exemples des axiomes de séparation

Définitions

Supposer que le X est un espace topologique. Le X est un IFF de l'espace normal de , le donné n'importe quel disjoignent le E des ensembles fermé par de et le F , le là sont le U des voisinages de du E et le V du F qui sont également disjoignent. En termes plus de fantaisie, cette condition indique que le E et le F peuvent être séparé par les voisinages .

Le X est un espace du T₄, si c'est normale et Hausdorff .

Le X est un espace complètement normal de ou un espace normal de par des moyens héréditaires si chaque sous-espace du X est normal. Il s'avère que le X est complètement normal si et seulement si chaque deux de séparait les ensembles peuvent être séparés par des voisinages.

Le X est un espace du T₅, ou l'espace du complètement T₄, s'il est tous deux complètement normale et Hausdorff, ou d'une manière equivalente, si chaque sous-espace du X est T₄.

Le X est un espace parfaitement normal de si chaque deux disjoignent les ensembles fermés peuvent être avec précision séparés par une fonction. C'est-à-dire, donné disjoindre le fermé E d'ensembles et le F , il y a un de la fonction continue f du X à la vraie ligne le R de tels le Preimages {de 0} et {1} sous le f sont le E et le F respectivement. Vous pouvez également employer l'intervalle unitaire dans cette définition ; le résultat est identique. Il s'avère que le X est parfaitement normal si et seulement si le X est normal et chaque ensemble fermé est _{&delta du un '' G '' ;} réglé. D'une manière equivalente, le X est parfaitement normal si et seulement si chaque ensemble fermé est un zéro réglé. Chaque espace parfaitement normal est automatiquement complètement normale.

Le X est un espace du T₆, ou l'espace du parfaitement T₄ s'il est tous deux parfaitement normale et Hausdorff.

Noter que de la littérature mathématique emploie différentes définitions pour le " de limites ; normal" ; et " ; T₄" ; , et les limites contenant ces mots. Les définitions que nous avons données ici sont celles habituellement utilisées aujourd'hui, et celles utilisées dans Wikipedia. Cependant, quelques auteurs commutent les significations des deux limites dans une paire donnée, ou emploient les deux termes synonyme pour seulement une condition, et vous devriez faire attention pour découvrir que les définitions l'auteur emploie en lisant la littérature mathématique. (Mais " ; T₅" ; signifie toujours les mêmes que le " ; complètement T₄" ; , celui qui ce puisse être.) Pour plus sur cette question, voir l'histoire de des axiomes de séparation .

Vous trouverez également des limites comme l'espace régulier du normal de et l'espace de Hausdorff normal de ; ceux-ci signifient simplement que l'espace est normal et remplit l'autre condition mentionnée. En particulier, un espace de Hausdorff de normale est la même chose comme un espace de T₄. Ces expressions sont utiles, puisqu'elles sont moins ambiguës données la confusion historique des significations des limites. Dans Wikipedia, nous préférons ces expressions si applicables ; c'est-à-dire, " ; Hausdorff" normal ; au lieu du " ; T₄" ; , ou " ; Hausdorff" complètement normal ; au lieu du " ; T₅" ;.

Les espaces entièrement normaux et les espaces du entièrement T₄ sont discutés ailleurs ; ils sont liés au Paracompactness .

De un espace normal localement est un espace topologique où chaque point a un voisinage ouvert qui est normal. Chaque espace normal est localement normale, mais l'inverse n'est pas vraie. Un exemple classique localement d'un espace normal complètement régulier qui n'est pas normal est le Niemitzki plat.

Exemples des espaces normaux

La plupart des espaces produits dans l'analyse mathématique sont les espaces de Hausdorff normaux, ou au moins les espaces réguliers normaux :
Tous les espaces métriques (et par conséquent tous les espaces de Metrizable sont Hausdorff parfaitement normal ;
Tout le Pseudometric espace (et par conséquent tous les espaces de Pseudometrisable de sont militaire de carrière parfaitement normal, bien que pas en général Hausdorff ;
Tous les espaces du contrat Hausdorff de sont normaux ;
En particulier, le compactification de Pierre-Cech de d'un espace de Tychonoff de est Hausdorff normal ;
Généralisant les exemples ci-dessus, tous les espaces de Paracompact Hausdorff de sont normaux, et tous les espaces réguliers de paracompact sont normaux ;
Toutes les tubulures topologiques de paracompact sont Hausdorff parfaitement normal. Cependant, là existent les tubulures de non-paracompact qui ne sont pas même normales.
Toutes les topologies d'ordre sur le ont totalement commandé des ensembles que sont par des moyens héréditaires normale et Hausdorff.
Chaque espace Deuxième-comptable régulier est complètement normal, et chaque espace régulier de Lindelöf de est normal.

En outre, tous les espaces entièrement normaux sont normaux (même si non régulier). L'espace de Sierpinski de est un exemple d'un espace normal qui n'est pas régulier.

Exemples des espaces non-normaux

Un exemple important d'une topologie non-normale est donné par la topologie de Zariski de sur une variété algébrique ou sur le spectre de d'un anneau , qui est employé dans la géométrie algébrique .

Un espace non-normal d'importance pour l'analyse est l'espace de vecteur topologique de toutes les fonctions de la vraie ligne le R de à lui-même, avec la topologie de de la convergence de pointwise. Plus généralement, un théorème du A. en pierre déclare que le produit du uncountably beaucoup d'espaces non- du contrat Hausdorff de n'est jamais normal.

Propriétés

La signification principale des espaces normaux se situe dans le fait qu'elles admettent le " ; enough" ; continu vrai du - le évalué fonctionne comme exprimé par les théorèmes suivants valides pour n'importe quel X de l'espace normal.

Le lemme d'Urysohn de : Si le A et le B sont le deux disjoindre les sous-ensembles de fermés par X , alors là existe un de fonction continue f du X à la vraie ligne le R tels que le f ( X ) = 0 pour tout le X dans le A et le f ( X ) = 1 pour tout le X dans le B . En fait, nous pouvons prendre les valeurs du f pour être entièrement dans l'intervalle unitaire . (En termes plus de fantaisie, disjoindre les ensembles fermés sont non seulement séparés par les voisinages, mais également le séparé par une fonction .)

Plus généralement, le théorème de prolongation de Tietze de : Si le A est un sous-ensemble fermé de X et le f est une fonction continue du A le R , alors là existe un F de fonction continue : R de → du X qui prolonge le f dans le sens ce F ( X ) = le f ( X ) pour tout le X dans le A .

Si le U est une couverture ouverte localement fini d'un X de l'espace normal, alors il y a une cloison de de subalterne de l'unité avec précision au U . (Ceci montre la relation des espaces normaux au Paracompactness .)

En fait, n'importe quel espace qui remplit des n'importe quelles de ces conditions doit être normal.

Un produit des espaces normaux n'est pas nécessairement normal. Ce fait a été considéré étonnant quand il a été prouvé la première fois par le Robert Sorgenfrey . Un exemple de ce phénomène est le Sorgenfrey plat. En outre, un sous-ensemble d'un espace normal n'a pas besoin d'être normal (c. non chaque espace de Hausdorff de normale est un espace de Hausdorff complètement normal), puisque chaque espace de Tychonoff est un sous-ensemble de son compactification de Pierre-Cech (qui est Hausdorff normal). Un exemple plus explicite est la planche de Tychonoff de .

Rapports avec d'autres axiomes de séparation

Si un espace normal est le R₀ , alors c'est en fait le complètement régulier. Ainsi, quelque chose du " ; R₀" normal ; au " ; de normale regular" complètement ; est le même que ce que nous appelons normalement le militaire de carrière normal . Nous prenant aux quotients de Kolmogorov de voyons que tous les espaces du T₁ de normale sont Tychonoff . Sont ceux-ci ce que nous appelons normalement les espaces normaux de Hausdorff .

Des contre-exemples à quelques variations sur ces rapports peuvent être trouvés dans les listes ci-dessus. Spécifiquement, l'espace de Sierpinski de est normal mais pas militaire de carrière, alors que l'espace des fonctions du R à lui-même est Tychonoff mais pas normale.

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