L\'espace localement compact

Dans la topologie et les branches relatives des mathématiques , un espace topologique s'appelle le localement rendent compact si, en général, chaque petite partie de l'espace ressemble à une petite partie d'un espace de contrat de .

Définition formelle

Laisser le X être un espace topologique . Ce qui suit sont des définitions communes pour le X est localement compact, et est équivalent de si le X est un espace de Hausdorff (ou preregular). Il est le non équivalent en général :
le

1. chaque point de X a un voisinage compact . chaque point de X a un voisinage compact de fermé par . chaque point a un voisinage du contrat relativement. chaque point a une base locale des voisinages du contrat relativement. chaque point de X a une base locale des voisinages compacts.

Relations logiques parmi les conditions :
Les conditions (2), (`2), (`de 2 `) sont équivalentes.
Ni l'un ni l'autre de conditions (2), (3) n'implique l'autre.
Chaque condition implique (1).
La compacité implique des conditions (1) et (2), mais non (3).

La condition (1) est probablement la définition la plus utilisée généralement, puisqu'elle est moins la restrictive et les autres sont équivalentes à lui quand le X est Hausdorff . Cette équivalence est une conséquence des faits qui les sous-ensembles compacts des espaces de Hausdorff sont fermés, et les sous-ensembles fermés des espaces compacts sont compacts.

Les auteurs tels que Munkres et Kelley emploient la première définition. Willard emploie le tiers. Dans Steen et Seebach, un espace qui satisfait (1) serait le localement compact, alors qu'un espace satisfaisant (2) serait le fortement localement compact.

Dans presque toutes les applications, localement les espaces compacts sont également Hausdorff, et cet article est principalement concerné ainsi par les espaces de Hausdorff localement (LCH) compacts.

Exemples et contre-exemples

Les espaces de Hausdorff compacts

Chaque espace de Hausdorff de contrat est également localement compact, et beaucoup d'exemples des espaces compacts peuvent être trouvés dans l'espace de contrat de d'article. Ici nous mentionnons seulement :
l'intervalle unitaire ;
toute tubulure topologique fermé ;
le chantre réglé de ;
le cube en Hilbert de .

Les espaces de Hausdorff localement compacts qui ne sont pas compacts

le R ⁿ (et en particulier ligne R des espaces euclidiens de la vraie de ) sont localement compact par suite du théorème de Heine-Borel de .
La part topologique des tubulures les propriétés locales des espaces euclidiens et sont donc également tout le localement contrat. Ceci inclut même des tubulures du nonparacompact telles que la longue file .
Tous les espaces discrets sont localement compacts et Hausdorff (ils sont juste le zéro - tubulures dimensionnelles). Ce sont compacts seulement si elles sont finies.
Tout le ouvert ou sous-ensembles fermés par d'un espace de Hausdorff localement compact sont localement compacts dans la topologie de sous-espace de . Ceci fournit plusieurs exemples des sous-ensembles localement compacts des espaces euclidiens, tels que le disque (la version ouverte ou fermée) d'unité de .
Le p de _{du Q de l'espace du '' p '' - les nombres adic est localement compact, parce que c'est le homéomorphe au chantre réglé sans un point. Ainsi localement les espaces compacts sont comme utiles dans l'analyse adic du '' p '' - comme dans l'analyse classique .}

Les espaces de Hausdorff qui ne sont pas localement compacts

Comme mentionné dans la section suivante, aucun espace de Hausdorff ne peut probablement être localement compact si ce n'est pas également un espace de Tychonoff de ; il y a quelques exemples des espaces de Hausdorff qui ne sont pas les espaces de Tychonoff en cet article. Mais il y a également des exemples des espaces de Tychonoff qui ne sont pas localement compacts, comme :
le

le Q de l'espace des nombres raisonnables puisque ses sous-ensembles compacts tout de ont le vide intérieur et ne sont pas donc des voisinages ;
le sous-espace {(0.0)} union {( X , y ) : X > 0} de R ², puisque l'origine n'a pas un voisinage compact ;
la topologie de limite inférieure de ou topologie de limite supérieure de sur le R d'ensemble de vrais nombres (utiles dans l'étude de limites unilatérales ;
tout T₀ , par conséquent Hausdorff, l'espace de vecteur topologique qui est le infini - le dimensionnel tel qu'un espace de Hilbert infini-dimensionnel .

Les deux premiers exemples prouvent qu'un sous-ensemble d'un espace localement compact n'a pas besoin d'être localement compact, qui diffère des sous-ensembles ouverts et fermés dans la section précédente. Le dernier exemple diffère des espaces euclidiens dans la section précédente ; pour être plus spécifique, un espace de vecteur topologique de Hausdorff est localement compact si et seulement s'il est fini-dimensionnel (dans ce cas c'est un espace euclidien). Cet exemple diffère également du cube en Hilbert comme exemple d'un espace compact ; il n'y a aucune contradiction parce que le cube ne peut pas être un voisinage de tout point dans l'espace de Hilbert.

Exemples de Non-Hausdorff

le compactification d'Un-point de du Q des nombres raisonnables est compact et donc rend compact localement dans les sens (1) et (2) mais il n'est pas localement compact dans le sens (3).
La topologie particulière de point de sur l'ensemble infini est localement compacte dans les sens (1) et (3) mais pas dans le sens (2).

Propriétés

Chaque espace localement compact de Preregular de est, en fait, le complètement régulier. Il suit que chaque espace de Hausdorff localement compact est un espace de Tychonoff de . Puisque la régularité droite est une condition plus familière que le preregularity (qui est habituellement plus faible) ou accomplit la régularité (qui est habituellement plus forte), rendre localement les espaces preregular compacts désigné normalement dans la littérature mathématique sous le nom des espaces réguliers de contrat de localement. De même localement les espaces compacts de Tychonoff habituellement sont juste mentionnés comme les espaces de Hausdorff compacts de localement .

Chaque espace de Hausdorff localement compact est un espace de Baire de . C'est-à-dire, la conclusion du théorème de catégorie de Baire de se tient : le intérieur de chaque union de comptable beaucoup de sous-ensembles denses nulle part de du est le vide.

Un X du sous-espace d'un localement compact Y de l'espace de Hausdorff est localement compact si et seulement si le X de peut être écrit comme différence placer-théorétique de deux sous-ensembles de fermés par Y . Comme corollaire, un dense X de sous-espace du d'un compact Y de l'espace de Hausdorff est localement compact si et seulement si le X est un sous-ensemble ouvert Y . En outre, si un X de sous-espace de n'importe quel Y de l'espace de Hausdorff est localement compacte, puis le X doit encore être la différence de deux sous-ensembles fermés de Y , bien que l'inverse n'ait pas besoin de se tenir dans ce cas-ci.

Les espaces de quotient des espaces de Hausdorff localement compacts sont le de manière compacte produit. Réciproquement, chaque espace de Hausdorff de manière compacte produit est un quotient d'un certain espace de Hausdorff localement compact.

Pour localement la convergence uniforme locale de des espaces de contrat est le même que la convergence compacte .

Le point à l'infini

Puisque chaque localement compact X de l'espace de Hausdorff est Tychonoff, ce peut être incorporé par dans un espace de Hausdorff compact b ( X ) using le compactification de Pierre-Čech de . Mais en fait, il y a une méthode plus simple disponible dans le cas localement compact ; le compactification d'Un-point de inclura le X dans un espace de Hausdorff compact a ( X ) avec juste un point extra. (Le compactification d'un-point peut être appliqué à d'autres espaces, mais a ( X ) sera de Hausdorff si et seulement si le X de est localement compact et Hausdorff.) Les espaces de Hausdorff localement compacts peuvent être caractérisés ainsi comme les sous-ensembles ouverts des espaces de Hausdorff compacts.

Intuitivement, le point extra dans a ( X ) peut être considéré comme un point de à l'infini . Le point à l'infini devrait être considéré en tant que mensonge en dehors de chaque sous-ensemble compact de X . Beaucoup de notions intuitives au sujet de tendance vers l'infini peuvent être formulées dans les espaces de Hausdorff localement compacts using cette idée. Par exemple, un continu le vrai du ou complexe de la fonction évalué par f avec le X du domaine est dit au disparaissent à l'infini si, donné tout le e du nombre positif , il y a un compact K de sous-ensemble du X tels que | f ( X )| < e toutes les fois que le X du point se trouve en dehors de du K . Cette définition semble raisonnable pour n'importe quel X de l'espace topologique. Si le X est localement compact et Hausdorff, de telles fonctions sont avec précision ceux extensibles à un de fonction continue g sur son compactification a ( X ) d'un-point = &cup du X ; {&infin ;} là où g (&infin ;) = 0.

L'ensemble C₀ ( X ) de toutes les fonctions complexe-évaluées continues qui disparaissent à l'infini est une algèbre de C* de . En fait, chaque algèbre commutative du C* est le isomorphe à C₀ ( X ) pour un certain compact unique X de l'espace du ( jusqu'à homéomorphie de ) localement Hausdorff. Plus avec précision, les catégories des espaces de Hausdorff localement compacts et des algèbres commutatives de C* sont le duel ; ceci est montré using la représentation de Gelfand de . Formant le compactification a ( X ) d'un-point du X correspond sous cette dualité à toucher un élément d'identité à C₀ ( X ).

Groupes localement compacts

La notion de la compacité locale est importante dans l'étude des groupes topologiques principalement parce que chaque de Hausdorff localement rendent le groupe que compact le G de porte les mesures normales appelées les mesures de Haar de qui permettent un au intègrent des fonctions de définies sur le G . La mesure de Lebesgue de sur la vraie ligne le R de est un cas spécial de ceci.

Le Pontryagin duel d'un topologique A du groupe abélien est localement compact si et seulement si le A de est localement compact. Plus avec précision, la dualité de Pontryagin définit une dualité self- de la catégorie des groupes abéliens localement compacts. L'étude des groupes abéliens localement compacts est la base de l'analyse harmonique , un champ de qui a depuis la diffusion localement aux groupes compacts non-abéliens.

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