L\'espace euclidien

< ! --- VEUILLEZ LIRE CECI AVANT DE MODIFIER LE PARAGRAPHE D'INTRODUCTION ---> < ! --- Le paragraphe d'introduction a été écrit comme introduction à l'espace euclidien pour le non-mathématicien. Il peut être amélioré probablement, mais svp ne le remplace pas par quelque chose qui est impénétrable à un non-mathématicien. Laisser la définition mathématique au moins au deuxième paragraphe, et puis veuillez essayent d'obtenir une introduction douce plutôt que la précision rigoureuse absolue. Cela peut venir plus tard dans l'article. ---> Autour du AVANT JÉSUS CHRIST du 300 , le grec Euclid du mathématicien du a entrepris une étude des rapports parmi les distances et des angles d'abord dans un avion (une surface plate idéalisée) et puis dans l'espace. Un exemple d'un tel rapport est que la somme des angles dans une triangle est toujours de 180 degrés . Aujourd'hui ces rapports sont connus en tant que deux et trois la géométrie euclidienne dimensionnel du .

Dans la langue mathématique du moderne , la distance et l'angle peuvent être généralisés facilement avec 4 dimensionnels, 5 dimensionnels, et même espaces haut-dimensionnels. Un n - l'espace dimensionnel avec les notions de la distance et de l'angle qui obéissent les rapports euclidiens s'appelle un n - l'espace euclidien dimensionnel. La majeure partie de cet article est consacrée à développer la langue moderne nécessaire pour le saut conceptuel à des dimensions plus élevées.

Une propriété essentielle d'un espace euclidien est sa planéité. D'autres espaces existent dans la géométrie qui ne sont pas euclidiens. Par exemple, la surface d'une sphère n'est pas ; une triangle sur une sphère (convenablement définie) aura des angles qui additionnent à quelque chose plus considérablement que 180 degrés. En fait, il y a essentiellement le seulement un espace euclidien de chaque dimension, alors qu'il y a beaucoup d'espaces non-Euclidiens de chaque dimension. Souvent ces autres espaces sont construits en déformant systématiquement l'espace euclidien.

Vue d'ensemble intuitive

L'one-way à penser à l'avion euclidien est pendant qu'un réglé du dirige satisfaisant certains rapports, exprimables en termes de distance et angle. Par exemple, il y a deux opérations fondamentales sur l'avion. On est la traduction , qui signifie un décalage de l'avion de sorte que chaque point soit décalé dans la même direction et par la même distance. L'autre est la rotation au sujet d'un point fixe dans l'avion, en lequel chaque point dans l'avion tourne autour de ce point fixe par le même angle. Un des principes de base de la géométrie euclidienne est que deux figures (c'est-à-dire, les sous-ensembles de l'avion devraient être considérés équivalents ( conforme) si un peut être transformé en autre par un certain ordre des traductions et des rotations. (Voir le groupe euclidien .)

Afin de faire tous de ce mathématiquement précis, on doit clairement définir les notions de la distance, de l'angle, de la traduction, et de la rotation. La manière standard de faire ceci, comme effectué dans le reste de cet article, est de définir l'avion euclidien car un vrai espace de vecteur de du bidimensionnel équipé d'un produit intérieur . Pour puis :
les vecteurs dans l'espace de vecteur correspondent aux points de l'avion euclidien,
l'opération de l'addition dans l'espace de vecteur correspond à la traduction, et
le produit intérieur implique les notions de l'angle et de la distance, qui peuvent être employées pour définir la rotation. Une fois que l'avion euclidien a été décrit dans cette langue, il est réellement chose facile de prolonger son concept aux dimensions arbitraires. Pour la plupart, le vocabulaire, les formules, et les calculs ne sont pas effectués plus difficiles par la présence de plus de dimensions. (Cependant, les rotations sont plus subtiles dans des dimensions élevées, et la visualisation des espaces haut-dimensionnels reste difficile, même pour les mathématiciens expérimentés.)

Une ride finale est que l'espace euclidien n'est pas techniquement un espace de vecteur mais plutôt un affinent l'espace , sur lequel un de l'espace de vecteur agit . Intuitivement, la distinction indique juste qu'il n'y a aucun choix canonique d'où l'origine devrait entrer dans l'espace, parce qu'elle peut être traduite n'importe où. En cet article, cette technicité est en grande partie ignorée.

Le vrai espace du même rang

Laisser le R dénoter le champ des vrais nombres pour n'importe quel non négatif n , l'espace du nombre entier de tout le n - les tuples des formes de vrais nombres un n - l'espace de vecteur dimensionnel au-dessus du R , qui est le dénoté n et parfois appelé de ^{du R le vrai espace du même rang . Un élément du n} de ^{du R est écrit $de \ mathbf {x} = (x_1, x_2, \ ldots, x_n),$ là où chaque i de _{du X est un vrai nombre. Les opérations de l'espace de vecteur sur le n de ^{du R sont définies près + de $\ mathbf de {x} \ mathbf {y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ ldots, x_n + y_n),$ $a de \, \ mathbf {x} = (un x_1, un x_2, \ ldots, un x_n).$}}
Le n de ^{du R de l'espace de vecteur vient avec une base standard : $\ _n du mathbf {e} = (0, 0, \ ldots, 1).$ Un vecteur arbitraire dans le n} de ^{du R peut alors être écrit dans le $de de forme \ mathbf {x} = \ x_i ^n du sum_ {i=1} \ mathbf {e} _i.$}
Le n de ^{du R est l'exemple prototypique d'un vrai n - l'espace de vecteur dimensionnel. En fait, chaque vrai n - le dimensionnel V de l'espace de vecteur est le isomorphe au n} de ^{du R . Cet isomorphisme n'est pas le canonique, cependant. Un choix de l'isomorphisme est équivalent à un choix de la base pour le V (en regardant l'image de la base standard pour n} de ^{de R dans V ). La raison du travail avec les espaces de vecteur arbitraires au lieu du n} de ^{du R est qu'il est souvent préférable de travailler d'une façon coordonner-libre du (c'est-à-dire, sans choisir une base preferred).}

Structure euclidienne
L'espace euclidien est plus que juste un vrai espace du même rang. Afin d'appliquer la géométrie euclidienne une doit pouvoir parler des distances entre les points et les angles entre les lignes ou les vecteurs. La manière normale d'obtenir ces quantités est en présentant et en employant le produit intérieur standard (également connu sous le nom de produit scalaire ) sur le n} de ^{du R . Le produit intérieur de n'importe quel X de deux vecteurs et de y est défini près

$\ mathbf {} de x \ cdot \ mathbf {y} = \ x_iy_i ^n du sum_ {i=1} = x_1y_1+x_2y_2+ \ cdots+x_ny_n.$
Le résultat est toujours un vrai nombre. En outre, le produit intérieur du X avec lui-même est toujours non négatif. Ce produit nous permet de définir le " ; length" ; d'un X de vecteur As

${\ mathbf {} de x \ cdot \ mathbf {x}} \ racine carrée {\ ^ de sum_ {i=1} {n} (x_i) ^2}.$
Cette fonction de longueur satisfait les propriétés required d'une norme et s'appelle la norme euclidienne sur le n de ^{du R .}
(non-obtus) angle θ (≤ 180° de θ ≤ 0°) entre X et y est puis donné par

$\ thêta = \ cos^ {- 1} \ à gauche (\ frac {\ mathbf {} de x \ cdot \ mathbf {y}} {\|\ mathbf {} de x \|\|\ mathbf {} de y \|} \)$ droit là où cos^{&minus ; 1} est la fonction de l'arccosinus .
En conclusion, on peut employer la norme pour définir un métrique (ou la fonction de distance) sur le n de ^{du R près = de $d de (\, de mathbf {x} \ mathbf {y}) \|\ - du mathbf {x} \ mathbf {} de y \| = \ racine carrée {\ ^n de sum_ {i=1} (x_i - y_i) ^2}.$}
Cette fonction de distance s'appelle le métrique euclidien . Elle peut être regardée comme forme du théorème pythagorien .
Le vrai espace du même rang ainsi que cette structure euclidienne s'appelle l'espace euclidien et le souvent dénoté n de ^{du E . (Beaucoup d'auteurs se réfèrent au n} lui-même de ^{du R en tant qu'espace euclidien, avec la structure euclidienne étant comprise). La structure euclidienne fait au n} de ^{du E un produit intérieur espacer (en fait un espace de Hilbert ), un espace de vecteur de Normed , et un espace métrique .}
Des rotations de l'espace euclidien sont alors définies comme orientation - préservant le linéaire T des transformations qui préservent des angles et des longueurs :

$T \ mathbf {x} \ cdot T \ mathbf {y} = \ mathbf {} de x \ cdot \ mathbf {y},$

$|T \ mathbf {x}| = |\ mathbf {x}|.$
Dans la langue des matrices , les rotations sont les matrices orthogonales spéciales .

Topologie de l'espace euclidien
Puisque l'espace euclidien est un espace métrique c'est également un espace topologique avec la topologie normale induit par de par le métrique. La topologie métrique sur le n} de ^{du E s'appelle la topologie euclidienne . Un ensemble est le ouvert dans le euclidien de topologie si et seulement si il contient une boule ouverte autour de chacun de ses points. La topologie euclidienne s'avère être équivalente à la topologie de produit de sur le n} de ^{du R considéré comme produit des copies du n de la vraie ligne le R de (avec sa topologie standard). Un résultat important sur la topologie du n , celui de ^{du R est loin de superficiel, est le invariance de de s de Brouwer 'du domaine . N'importe quel sous-ensemble de n} (avec sa topologie de sous-espace de ) qui est le homéomorphe à un autre sous-ensemble ouvert de n de ^{du R est lui-même de ^{du R ouvert. Une conséquence immédiate de ceci est que le m} de ^{du R n'est pas homéomorphe au n} de ^{du R si &mdash du n de ≠ du m ; intuitivement un " ; obvious" ; résultat il est néanmoins difficile s'avérer que.}}

Généralisations
Dans des mathématiques modernes, les espaces euclidiens forment les prototypes pour autre, des objets géométriques plus compliqués. Par exemple, une tubulure douce est un espace topologique de Hausdorff qui est localement Diffeomorphic à l'espace euclidien. Diffeomorphism ne respecte pas la distance et l'angle, ainsi ces concepts principaux de la géométrie euclidienne sont perdus sur une tubulure douce. Cependant, si on prescrit en plus un produit intérieur sans à-coup variable sur les espaces de tangente du de la tubulure puis le résultat est ce qui s'appelle une tubulure Riemannian . Mise différemment, une tubulure Riemannian est un espace construit en déformant et en raccordant ensemble les espaces euclidiens. Un tel espace apprécie des notions de la distance et de l'angle, mais elles se comportent dans un incurvé par , façon non-Euclidienne. La tubulure Riemannian la plus simple, se composant du n de ^{du R avec un produit intérieur constant, est essentiellement identique au euclidien n - s'espacer.}
Si on change un espace euclidien de sorte que son produit intérieur devienne négatif dans une ou plusieurs directions, alors le résultat est un espace Pseudo-Euclidien . Des tubulures douces établies de tels espaces s'appellent le Pseudo-Riemannian leur application plus célèbre des tubulures peut-être est la théorie de de la relativité , où l'espace-temps vide sans la matière est représenté par l'espace pseudo-Euclidien plat appelé l'espace , spacetimes de Minkowski de avec la matière dans eux forme d'autres tubulures pseudo-Riemannian, et la pesanteur correspond à la courbure d'une telle tubulure.
Notre univers, étant sujet à la relativité, n'est pas euclidien. Ceci devient significatif dans des considérations théoriques de l'astronomie et de la cosmologie , et également dans certains problèmes pratiques tels que le la navigation de positionnement globale de l'avion de et de . Néanmoins, un modèle euclidien de l'univers peut encore être employé pour résoudre beaucoup d'autres problèmes pratiques avec la précision suffisante.

Voir également

La géométrie Riemannian
Sous-espace euclidien .
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