L\'espace discret

Dans la topologie et les domaines relatifs des mathématiques , un espace discret est un exemple particulièrement simple d'un espace topologique ou de la structure semblable, une dans laquelle les points sont " ; " de d'isolement par ; entre eux dans un certain sens.

Définitions

Donné un X d'ensemble :
le la topologie que discrète sur le X est définie en laissant chaque sous-ensemble X soit le ouvert, et le X est un espace topologique discret s'il est équipé de sa topologie discrète ;
l'uniformité discrète de de sur le X est définie en laissant chaque superjeu du diagonal {( X , X ) ; : le X est dans le X } dans le du X ; le X de × soit un entourage , et le X est un espace uniforme discret s'il est équipé de son uniformité discrète.
le

du discret \ rho

sur le X est défini par le

de   \ rho (x, y) = \ parti \ {\ commencer {la matrice} 1 et \ mbox {si} \ x \ quantité nette de substance explosive y, \ \ 0 et \ mbox {si} \ x = y \ extrémité {matrice} \ droit.

pour tout

x, y \ dans X

. Dans ce cas-ci le

(, de X \ rho)

s'appelle un espace métrique discret ou un espace de de des points d'isolement .

Un $de l'espace métrique (E, d)$ serait le uniformément discret de si là existe $r>0$ tels que, pour n'importe quel $x, y \ dans E$ , un a $x=y$ ou $d (x, y)>r$ . La topologie étant à la base d'un espace métrique peut être discrète, sans être métrique uniformément discrète : par exemple le métrique habituel sur l'ensemble {1, 1/2, 1/4, 1/8,…} de vrais nombres.

Propriétés

L'uniformité fondamentale sur un espace métrique discret est l'uniformité discrète, et la topologie fondamentale sur un espace uniforme discret est la topologie discrète. Ainsi, les différentes notions de l'espace discret sont compatibles entre eux. D'une part, la topologie fondamentale d'un uniforme non-discret ou d'un espace métrique peut être discrète ; un exemple est le du X de l'espace métrique ; : = {1 de n ; : du n ; = 1.3,…} (le métrique hérité de la vraie ligne et étant donné par le de d ( X , y ) ; = | du X ; &minus ; y |). Évidemment, ce n'est pas le métrique discret ; aussi, cet espace n'est pas le et par conséquent non discret complets comme espace uniforme. Néanmoins, il est discret comme espace topologique. Nous disons que le X est le topologiquement discret mais pas le uniformément discret ou le métriquement discret.

En plus :
Un espace topologique est discret si et seulement si ses singletons sont ouverts, qui est le cas si et seulement s'il ne contient aucun point d'accumulation
Les singletons forment une base pour la topologie discrète.
Un uniforme X de l'espace est discret si et seulement si le diagonal {( X , X ) ; : le X est dans le X } est un entourage .
Chaque espace topologique discret satisfait chacun des axiomes de séparation ; en particulier, chaque espace discret est Hausdorff , c.
Un espace discret est compact du si et seulement si c'est le fini.
Chaque uniforme discret ou espace métrique est le complet.
Combinant les deux faits ci-dessus, chaque uniforme ou espace métrique discret est le totalement lié si et seulement s'il est fini.
Chaque espace métrique discret est lié par .
Chaque espace discret est le premier-comptable, et un espace discret est le deuxième-comptable si et seulement si c'est le comptable.
Chaque espace discret est le totalement débranché.
Chaque espace discret non vide est la catégorie deuxièmes.
Deux espaces discrets quelconques avec la même cardinalité sont le homéomorphe.

N'importe quelle fonction d'un espace topologique discret à un autre espace topologique est le continu, et n'importe quelle fonction d'un espace uniforme discret à un autre espace uniforme est le uniformément continu. C'est-à-dire, le X de l'espace discret est le libre sur le d'ensemble X dans la catégorie des espaces topologiques et des cartes continues ou dans la catégorie des espaces uniformes et des cartes uniformément continues. Ces faits sont des exemples d'un phénomène beaucoup plus large, dans lequel les structures discrètes sont habituellement libres sur des ensembles.

Avec les espaces métriques, les choses sont plus compliquées, parce qu'il y a plusieurs catégories des espaces métriques, selon ce qui est choisi pour le Morphisms Certainement l'espace métrique discret est libre quand les morphisms sont les cartes tout uniformément continues ou toutes les cartes continues, mais ceci n'indique rien intéressant au sujet de la structure métrique de structure , seulement uniforme ou topologique. Des catégories plus concernant la structure métrique peuvent être trouvées en limitant les morphisms aux cartes continues de Lipschitz ou aux cartes de short de cependant, ces catégories n'ont pas les objets libres (sur plus d'un élément). Cependant, l'espace métrique discret est libre dans la catégorie des espaces métriques liés par et des cartes continues de Lipschitz, et il est libre dans la catégorie des espaces métriques liés par 1 et cartes courtes. C'est-à-dire, n'importe quelle fonction d'un espace métrique discret à l'autre a bondi l'espace métrique est Lipschitz continu, et n'importe quelle fonction d'un espace métrique discret à un autre espace métrique lié par 1 est courte.

Va l'autre direction, un de fonction f d'un Y de l'espace topologique à un X de l'espace discret est continu si et seulement il si le localement constant dans le sens qui chaque le point dans le Y a un voisinage sur lequel le f est constant.

Utilisations

Une structure discrète est employée souvent comme " ; structure" de défaut ; sur un ensemble qui ne porte aucune autre topologie, uniformité, ou métrique normale. Par exemple, n'importe quel groupe peut être considéré comme groupe topologique en lui donnant la topologie discrète, impliquant que les théorèmes au sujet des groupes topologiques s'appliquent à tous les groupes. En effet, les analystes peuvent se référer aux groupes ordinaires et non-topologiques étudiés par des algebraists comme " ; Quot discret des groupes ; . Dans certains cas, ceci peut être utilement appliqué, par exemple combiné avec la dualité de Pontryagin de .

Des 0 tubulures dimensionnelles (ou la tubulure différentiable ou analytique) de ne sont rien mais un espace topologique discret. Dans l'esprit du paragraphe précédent, nous pouvons donc regarder n'importe quel groupe discret comme 0 groupes de Lie dimensionnels .

Tandis que les espaces discrets ne sont pas très passionnants d'un point de vue topologique, on peut facilement construire les espaces intéressants de eux. Par exemple, un produit du comptable infiniment beaucoup de copies de l'espace discret des nombres normaux est le homéomorphe à l'espace des nombres irrationnels avec l'homéomorphie donnée par l'expansion de la fraction continue . Un produit comptable infiniment de beaucoup de copies du de l'espace discret {0.1} est homéomorphe au chantre réglé de ; et en fait le uniformément homéomorphe au chantre a placé si nous employons l'uniformité de produit de sur le produit. Une telle homéomorphie est donnée par la notation ternaire des nombres. (Voir le chantre de espacer .)

Dans les bases de des mathématiques , l'étude des propriétés de la compacité des produits de {0.1} est centrale à l'approche topologique au principe d'ultrafiltre de , qui est une forme faible du choix .

Les espaces indiscrets

voient également :

insignifiant de la topologie

Par certains côtés, l'opposé de la topologie discrète est la topologie insignifiante (également appelé le la topologie indiscrète ), qui a le moindre nombre possible d'ensembles ouverts (juste l'ensemble vide et de l'espace lui-même). Là où la topologie discrète est initiale ou libre, la topologie indiscrète est finale ou Cofree : chaque de fonction de un de l'espace topologique à un espace indiscret est continu, etc.

Citation

Le Stanislaw Ulam a caractérisé le Los Angeles, la Californie comme " de ; un espace discret, dans lequel il y a le lecteur de s d'heure des le 'entre le points" ;.

Voir également

Cylindre réglé de

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