L\'espace de modules
Dans la géométrie algébrique , un espace de modules de est un espace du paramètre pour des familles des objets algébriques (tels que des variétés, des morphisms, des paquets algébriques de vecteur). L'utilisation du module limite ici pour un tel espace de paramètre retourne à la même source que sous la forme modulaire : une forme modulaire est en général un certain genre de forme différentielle (ou de densité de tenseur de , puisque les formes viennent avec un « poids ") sur un espace de modules de , c., un espace dont coordonne sont les modules.
Modules des courbes
voient également : L'espace de modules de Deligne-Mumford de du
s courbes
Dans le cas des courbes elliptiques il y a un module, ainsi les espaces de modules sont les courbes algébriques que c'est la quantité appelée le k dans la théorie de la fonction elliptique du de Jacobi, qui ramène des intégrales elliptiques à impliquer de forme
Ce module de de l'intégrale elliptique était donc probablement le premier module à reconnaître.
La caisse des courbes elliptiques a été complètement étudiée, en raison du grand intérêt pour les équations modulaires de ce cas. Le J-invariable est une fonction modulaire elliptique fondamental. Le problème de modules ici est le prototype pour des problèmes de modules avec la structure de niveau de , signifiant dans ce cas-ci une certaine « inscription » des groupes de torsion de de points sur la courbe. Chaque structure de niveau provoque un sous-groupe du groupe modulaire , et puis sa propre courbe modulaire . Le j-invariable s'appelle un Hauptmodul , traditionnellement, signifiant que la courbe modulaire a le genre 0 de . Il y a d'autres cas du genre 0, et tout autre Hauptmodul s, qui écrivent la théorie monstrueuse d'alcool illégal remarquable.
En général une courbe de genre le g de a &minus du g du
3 de ; 3
modules, pour le g > 1. Ce nombre a été connu classiquement comme nombre de paramètres desquels un contrat Riemann extérieur dépend.
Une approche directe aux modules des courbes complexes est par l'espace de Teichmüller de . Car les courbes d'un genre plus élevé admettent des automorphismes, l'espace de paramètre du genre doux courbes du g est la pile algébrique d'a (type de Deligne-Mumford) admettant l'arrangement brut (quasiprojective) de modules d'a. Un espace approprié de modules peut être réalisé en ajoutant les courbes nodales remplissant une condition technique de stabilité. Un espace étroitement lié de modules parametrizes des morphisms stables à une variété projective douce.
Modules des variétés
Dans des dimensions plus élevées, il est plus difficile construire et étudier des modules des variétés algébriques. Par exemple, l'analogue dimensionnel plus élevé de l'espace de modules des courbes elliptiques discutées ci-dessus est l'espace de modules des variétés abéliennes. C'est la théorie modulaire de la forme de Siegel de fondamental de problème. Voir également la variété de Shimura de .
Modules des paquets de vecteur
Il y a également une autre question principale, de déterminer des modules pour les paquets de vecteur V sur une variété algébrique X. Quand X a la dimension 1 et V est une ligne le paquet , c'est la théorie de la variété de Jacobian d'une courbe.
Commençant par un papier de André Weil (qui les ont appelés des « diviseurs de matrice "), le vecteur empaquette sur X ont été étudiés par rapport à leurs modules. Dans les applications à la physique , le nombre de modules des paquets de vecteur et le problème étroitement lié du nombre de modules des G-paquets de principal de s'est avéré significatifs dans la théorie de mesure de .
Constructions
Deux techniques générales de construction pour les espaces de modules ont été particulièrement réussies. Le premier est la méthode de théorie invariable géométrique , frayée par le David Mumford . La stratégie de base est de simplifier le problème de classification en ajoutant des données additionnelles de telle manière que l'espace original de modules soit le quotient du neuf par une action de groupe réductrice de du . Pour voir comment ceci pourrait fonctionner, considérer le problème de parametrizing des courbes du genre 2. Chaque une telle courbe est hyperelliptic et admet donc une couverture unique du degré 2 de &mdash du P 1 ; unique, c., jusqu'à la composition avec un élément du groupe PGL d'automorphisme de (2) de P 1. Ainsi nous commençons en classifiant de doubles couvertures &rarr du X de
; P 1
avec le X du genre 2. Par théorème de Hurwitz, une si double couverture est déterminée par ses points de la ramification de six . Tellement maintenant nous classifions les sous-ensembles à six éléments de P 1 (un problème comparativement facile). Nous devons payer un prix, bien que, en se divisant dehors par l'action du PGL (2) à l'extrémité. Par exemple, l'espace de modules des paquets de vecteur (dire au-dessus d'une courbe, parce que de la simplicité) peut être construit using G.
L'autre approche générale est principalement associée au Michael Artin . Ici l'idée est de commencer par n'importe quel objet de la sorte à classifier et d'étudier sa théorie de déformation de . Ceci signifie construire d'abord des déformations infinitésimales du , puis faire appel aux théorèmes du prorepresentability pour remonter ces derniers dans un objet au-dessus d'une base formelle du . Après un appel au théorème formel d'existence du de Grothendieck de fournit un objet de la sorte désirée au-dessus d'une base qui est un anneau local complet. Cet objet peut être rapproché par l'intermédiaire du théorème de l'approximation d'Artin de par un objet défini au-dessus d'un anneau de façon finie produit. Le spectre de ce dernier anneau peut alors être regardé en tant que donner un genre de diagramme du même rang sur l'espace désiré de modules. Par le collage assez ensemble de ces diagrammes, nous pouvons couvrir l'espace, mais la carte de notre union des spectres à l'espace de modules sera en général beaucoup à un. Nous définissons donc une relation d'équivalence sur l'ancien ; essentiellement, deux points sont équivalents si les objets au-dessus de chacun sont isomorphes. Ceci donne un arrangement et une relation d'équivalence, qui est assez pour définir un espace algébrique (réellement une pile algébrique de si nous faisons attention) sinon toujours un arrangement.
Fin contre les espaces bruts de modules
Souvent, la distinction est faite entre un espace de modules d'amende de et les modules bruts d'un espacent . La différence entre ces deux concepts est subtile et démontre une ambiguïté inhérente dans l'essai de définir un « espace de paramètre pour des familles des objets ». Dans le suivant, les mots « objectent » et le « famille » sont habitués pour vouloir dire le type de l'objet algébrique et de famille étant considérés.
Un espace de modules d'amende de est un X d'objet, ainsi qu'un a appelé le le famille universel , avec le ce de propriété indiqué n'importe quel famille g : B de → du A , il y a un φ unique de carte (g) : X de → du B tels que le retrait de f le long de φ (g) est G. conceptuellement, ceci signifie qu'il est possible de mettre un famille au-dessus de l'espace de modules avec la propriété que n'importe quel autre famille peut être obtenu comme retrait de lui dans exactement l'one-way ; par conséquent, « la famille universelle ».
Une autre manière de dire ceci : Laisser le F de être le functor de Contravariant de des objets à réglé par qui prend un A d'objet à l'ensemble de familles avec le A comme base. Alors le X est un espace fin de modules si et seulement si le F de est un functor représentable qui est représenté par le X .
Malheureusement, la plupart des espaces pratiques de modules ne sont pas bons, et on doit arranger pour la notion d'un espace brut de modules de . D'abord, voici deux ou trois propriétés l'on ont pourrait espérer dedans un X d'objet prétendant être n'importe quelle sorte de l'espace de modules :
1) Donné un famille, g : B de → du A , il y a un φ unique de carte (g) : X , tels de → du B que le φ est le normal.
2) Laissé {p} être un point (selon les objets actuels, ce pourrait être Spéc. (), Spéc. () ou un point réel), et laisser f : → du C {p} et g : Le → du D {p} soit des familles. Puis φ (f) et φ (g) prise {p} au même point dans X si et seulement si le C et le D sont les objets isomorphes.
En général, 2) indique qu'il y a exactement un point dans le X pour chaque fibre permise d'une famille, et 1) indique que la base de n'importe quelle famille peut être tracée dans le X tels que les fibres au-dessus de chaque point correspondent au point dans le X qu'elles sont prises à.
Le ceci étant établi, un espace brut de modules de est défini comme objet qui est le universel en ce qui concerne tous les objets qui satisfont 1) et 2). C'est un peu d'une définition malpropre, mais au moins il a un point pour chaque fibre possible, une topologie qui saisit certaines d'informations sur la façon dont ces fibres peuvent varier dans les familles, et est aussi simple que possible (par l'universalité).
Il est plus facile définir les espaces bruts de modules using la langue de la théorie de catégorie. Comme précédemment, on considère le F de de Functor des bases aux ensembles de familles. Cependant, au lieu d'exiger que le F de soit naturellement isomorphe à Hom (-, le X ), comme dans le cas du representability, on exige seulement qu'il y a une transformation normale du F de à Hom (-, le X ), et que le X soit universel parmi les objets qui remplissent cette condition.
Pourquoi la plupart des espaces de modules ne sont-ils pas bons ?
La réponse simple est qu'un famille peut avoir seulement un genre de fibre mais ne pas être toujours insignifiante, qui peut se produire n'importe quand une fibre a un automorphisme non trivial. Par exemple, considérer les familles des courbes elliptiques , et prendre un elliptique arbitraire E de courbe. Il a un hyperelliptic h d'involution, qui est un automorphisme non trivial de l'ordre 2. Par conséquent, on peut créer une famille au-dessus du de cercle, où chaque fibre est isomorphe au E , mais le déplacement autour du cercle induit le de carte h dans la fibre. La carte du cercle dans l'espace de modules doit alors aller à un unique, puisque toutes les fibres sont identiques. Ceci empêche immédiatement un famille universel d'exister, puisqu'il est impossible de retirer un famille non trivial d'un point. Un famille avec toutes les fibres identiques s'appelle une famille isotrivial du .
Modules bruts de rotation dans les modules fins
Dans beaucoup de cas, les espaces bruts de modules ne sont juste pas suffisants. Par conséquent, un certain nombre de techniques ont été développées pour tourner le problème de modules actuel dans un avec un espace fin de modules.
La technique la plus simple est d'ajouter la structure aux types de familles étant considérés. Par exemple, au lieu des familles des courbes elliptiques, on peut considérer des familles des courbes elliptiques avec les points marqués par du n, qui rapportent un espace fin de modules si le n est assez grand.
Une autre technique qui est très commune est d'agrandir la catégorie des objets étant considérés, jusqu'à ce que le F de de functor soit représentable. C'est la motivation primaire derrière la théorie des piles algébriques
Voir également
Pour une physique - la description orientée des espaces de modules, voient les modules .
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