L\'espace de cycle

L'espace binaire de cycle

Dans la théorie de graphique , certains espaces de vecteur au-dessus du Z ₂ du champ de deux-élément sont associés à un graphique non dirigé ; ceci permet à on d'utiliser les outils de l'algèbre linéaire pour étudier des graphiques.

Laisser le G être un graphique non dirigé simple fini avec le réglé par bord E . La puissance réglé de du E devient un espace du Z ₂-vector si nous prenons au la différence symétrique comme addition. Chaque élément de cet espace de vecteur peut être considéré comme combinaison linéaire des bords avec le coefficient du Z ₂. Dans encore une autre interprétation, les éléments de cet espace sont le E de fonctions - > le Z ₂. C'est l'espace (binaire) de bord de du G . Son zéro est l'ensemble vide , et les ensembles d'un élément forment une base , ainsi sa dimension est égale au nombre de bords du G .

Un sous-espace important de l'espace de bord est l'espace (binaire) de cycle de . C'est par définition le sous-espace produit par (les ensembles de bord de) tous les cycles simples du graphique. L'addition de deux des cycles (montrés à tiret) est illustrés dans la figure. Noter que le résultat ici (également montré à tiret) n'est pas un cycle simple mais une union de bord-disjonction de deux cycles simples.

Il y a un certain nombre de résultats de base au sujet de l'espace de cycle. La différence symétrique de deux cycles simples est ou un cycle simple ou une union de bord-disjoignent les cycles simples. Using cette observation, on peut prouver qu'un ensemble de bord est dans l'espace de cycle si et seulement si c'est une union de disjonction des cycles simples. A exprimé une autre manière : le F d'ensemble des bords est dans l'espace de cycle si et seulement si chaque sommet dans le sous-graphe enjambé par le F a même le degré.

Il n'est pas nécessaire d'employer le tous les cycles de pour produire de l'espace de cycle : si le G est relié et n'importe quel enjambant - le T de l'arbre du G est donné, puis les cycles fondamentaux de la forme du T qu'une base du cycle espacent. La dimension de l'espace de cycle d'un graphe connexe est ainsi liée au nombre de sommets et de bords du graphique. Si le graphique a les sommets et le m du n affile alors la dimension est le m - le n +1.

Une application importante de l'espace de cycle sont critère du planarity de Whitney de et critère du planarity de la ruelle de Mac de , qui donnent une caractérisation algébrique des graphiques planaires

L'espace intégral de cycle

Le développement antérieur peut être effectué au-dessus des nombres entiers, le Z . L'espace intégral de bord de est le E de ^{du Z du groupe abélien des fonctions du réglé E de bord aux nombres entiers. Il est nécessaire (pour la notation) de choisir une orientation arbitraire du graphique afin de définir l'espace de cycle, mais la définition ne dépend pas de ce choix. Un cycle intégral est une fonction tels que la somme de valeurs sur des bords orientés dans un X de sommet égale la somme de valeurs sur des bords orientés hors du X , pour chaque X de sommet. L'ensemble de cycles intégraux est un sous-groupe de l'espace intégral de bord. Un cycle qui ne prend jamais la valeur zéro s'appelle le nulle part mettent à zéro.}

Renverser l'orientation d'un bord nie la valeur d'un cycle sur ce bord. C'est dans ce sens que la théorie est indépendant de l'orientation arbitraire. Donné n'importe quel un cycle, l'orientation peut être choisie de sorte que le cycle prenne seulement des valeurs non négatives.

Un cycle intégral dont la valeur absolue maximum sur n'importe quel bord est moins que le k , un nombre entier positif, s'appelle parfois un k - circuler sur le G . Tutte a développé une théorie étendue du k - écoulements de nowhere-zero qui est par certains côtés duel à celui de la coloration de graphique de .

L'espace de cycle au-dessus d'un champ ou d'un anneau commutatif

La construction de l'espace intégral de cycle peut être effectuée pour n'importe quel champ , groupe abélien , ou (le plus généralement) R de l'anneau commutatif (avec l'unité) remplaçant les nombres entiers. Si le R est un champ, l'espace de cycle est un espace de vecteur au-dessus du R avec le m - le n de dimension + c , où le c est le nombre de composants reliés du G . Si le R est n'importe quel anneau commutatif, l'espace de cycle est un libre R - le module avec le luxuriant m - le n + c .

Quand le R est un groupe abélien tel un cycle peut également s'appeler un R - l'écoulement sur le G . R - écoulements de Nowhere-zero pour un fini R de groupe abélien des éléments du k sont liés au intégral k de nowhere-zero - écoulements dans la théorie de Tutte. Le nombre du R de nowhere-zero - les cycles est une évaluation du Tutte polynôme, conjuguent au nombre de colorations appropriées du graphique (Tutte, 1984, section IX.

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