L\'espace de chantre

L'espace de chantre est la collection de tous les ordres infinis de 0s et de 1s.

Dans les mathématiques , l'espace de chantre de de limite est parfois employé pour dénoter l'abstraction topologique du chantre classique réglé de : Un espace topologique est a L'espace de chantre si c'est le homéomorphe au chantre réglé de .

Le chantre s'est placé est naturellement un espace de chantre. Mais l'exemple canonique d'un espace de chantre est le produit topologique comptable infini du de l'espace discret de 2 points {0, 1}. Ceci est habituellement écrit en tant que le N de ^{du 2 ou 2 ^ω (où le 2 dénote l'ensemble d'élément 2 {0.1} avec la topologie discrète). Un point dans le N} de ^{du 2 est l'ordre binaire infini, celui est un ordre qui assume seulement les valeurs 0 ou 1. Donné un tel a ordonnancer le un ₁, un ₂, un ₃,… on peut le tracer au vrai nombre}

$\ ^ du sum_ {n=1} \ infty \ frac {a_n 2} {3^n}.$

Il n'est pas difficile de voir que ce qui trace est a homéomorphie du N de ^{du 2 sur le chantre réglé de , et par conséquent celui le N} de ^{du 2 est en effet un espace de chantre.}

Une caractérisation topologique des espaces de chantre est donnée par théorème de s de Brouwer ': le de deux espaces de Hausdorff non vides quelconques de du contrat sans points d'isolement et avoir de les bases comptables se composer des ensembles de Clopen de sont entre eux homéomorphe. (La propriété topologique de avoir consister bas de clopen les ensembles est parfois connu comme " ; zero-dimensionality" ;.) Ce théorème peut être redit comme : l'espace topologique du A de est un espace de chantre si et seulement s'il est non vide, le parfait, le compact, le a totalement déconnecté , et Metrizable . C'est également équivalent (par l'intermédiaire du théorème de la représentation de la pierre de pour algèbres booléennes ) au fait qui tous deux sans atomes comptables Les algèbres booléennes sont isomorphes.

Comme peut être prévu du théorème de Brouwer, les espaces de chantre apparaître sous plusieurs formes. Mais il est habituellement le plus facile de traiter N de ^{du 2 , depuis en raison de sa forme spéciale de produit, beaucoup de topologiques et autre des propriétés sont mises en évidence très explicitement.}

Par exemple, il devient évident que la cardinalité de n'importe quel espace de chantre est $2^ {\ aleph_0}$ , c., la cardinalité de du continuum . Également clair est fait ce le produit de deux (ou même tout nombre fini ou comptable de) les espaces de chantre est un espace de chantre - un fait important sur les espaces de chantre.

Using ce dernier fait et la fonction de chantre de , il est facile pour construire les courbes servantes à blanc

Les espaces de chantre se produisent dans l'abondance dans la vraie analyse . Par exemple ils existent comme sous-espaces dans chaque parfait, l'espace métrique complet du . (Pour voir ceci, noter cela dedans un tel espace, ensemble parfait non vide contient deux disjoignent les sous-ensembles parfaits non vides d'arbitrairement le diamètre, et tellement un peuvent imiter la construction du chantre habituel réglés de .) En outre, chaque incomptable, le séparable, l'espace complètement metrizable contient Les espaces de chantre comme sous-espaces. Ceci inclut les la plupart de le type commun d'espaces dans la vraie analyse. < ! -- Comme corollaire, nous voyons cela séparable, complètement les espaces metrizable satisfont l'hypothèse de continuum de : Chaque un tel espace est comptable ou a cardinalité du continuum. --> < ! --Il est embrouillant à les dire " ; satisfy" ; Ch ; Le ch indique la cardinalité du continuum est aleph_1. Dans un certain sens ils " ; satisfy" ; le ZFC-équivalent formulation qu'il n'y a aucune cardinalité intermédiaire, mais exprimant mal les besoins retouchant pour faire clairement ce qui est affirmé. Commentaire dehors jusqu'à ce qu'I ou quelqu'un d'autre puisse être soulevé avec meilleur mots. -->

Les espaces métriques compacts sont également étroitement liés à Les espaces de chantre : Un espace topologique de Hausdorff est compact metrizable si et seulement si c'est une image continue d'un espace de chantre.

Voir également

Cube en chantre de
Chantre de Georg de

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