L\'espace de Thom

Dans les mathématiques , l'espace de Thom de ou le Thom complexe (baptisé du nom de René Thom ) de la topologie algébrique et de la topologie différentielle est un espace topologique associé à un paquet de vecteur de , au-dessus de n'importe quel espace de Paracompact . L'one-way pour construire cet espace est comme suit. Laissé p de

: B DE → DU E

être un vrai paquet de vecteur du k du luxuriant au-dessus du B de l'espace de paracompact. Alors pour chaque de point b dans le B , le b de _{du F de fibre est un k - le vrai espace de vecteur dimensionnel . Nous pouvons former un associé B de → du paquet Sph ( E ) de sphère de en prenant le compactification d'Un-point de de chaque fibre séparément. En conclusion, à partir de tout le espace Sph ( E ) nous obtenons le complexe T ( E ) de Thom en identifiant tous les nouveaux points à un $unique \ infty$ , que nous prenons comme Basepoint du T ( E ).}

La signification de cette construction commence par le résultat suivant, qui appartient au sujet du Cohomology des faisceaux de fibres. (Nous avons énoncé le résultat en termes de coefficients du Z ₂ pour éviter des complications résultant du Orientability .)

Laisser le B , le E , et le p soit comme ci-dessus. Il y a alors un isomorphisme, maintenant appelé un $\ phi \ deux points H^i (B de de l'isomorphisme de Thom de ; \) _2 \ du mathbf {Z} \ ^ du tilde {H} {i+k} (T (E) ; \ mathbf {Z} _2)$ , pour tout le i supérieur ou égal à 0, où le côté droit est le cohomology réduit .

Nous pouvons lâchement interpréter le théorème dans le sens géométrique suivant. Puisque le E est un paquet de vecteur il le rétracte sur le bas B . Ainsi nous pourrions supposer que le E serait cohomologically équivalent au B . D'une certaine manière, le théorème confirme cette espérance.

Ce théorème a été formulé et prouvé par le René Thom dans sa thèse 1952. L'isomorphisme du théorème est explicitement connu : il y a une certaine classe de cohomology, la classe de Thom de , dans le groupe de cohomology de Th du k de l'espace de Thom. Dénoter cette classe de Thom par le U . Alors pour un de classe b dans le cohomology de la base, nous pouvons calculer l'isomorphisme de Thom par l'intermédiaire du retrait de la projection et du produit de tasse de de cohomology de paquet : $\ phi de (b) = p^*(b) \ sourire U.$ En particulier, l'isomorphisme de Thom envoie l'élément de l'identité du H * ( B ) au U .

En son papier 1952, Thom a prouvé que la classe de Thom, les classes de Stiefel-Whitney de et les opérations tout de Steenrod de ont été rapportées. Il a employé ces idées de s'avérer dans les 1954 differentiables de papier de variétés de DES de globales de propriétés de Quelques de que les groupes de Cobordism pourraient être calculés pendant que le Homotopy groupe de certain MSO ( n ) des espaces. Le MSO des espaces (n) eux-mêmes surgissent comme espaces de Thom et comportent un MSO du spectre qui s'appelle maintenant un spectre de Thom de (avec d'autres spectres relatifs). C'était une étape importante vers la théorie homotopy stable moderne.

Si les opérations de Steenrod sont disponibles, nous pouvons employer elles et l'isomorphisme du théorème pour construire les classes de Stiefel-Whitney. Se rappeler que les opérations de Steenrod (mod 2) sont les transformations normales : $Sq^i \ deux points H^m (- ; \) _2 \ du mathbf {Z} à H^ {m+i} (- ; \ mathbf {Z} _2)$ , défini pour tout le m de nombres entiers non négatifs. Si le i = m , alors le Sqⁱ coïncide avec la place de tasse. Nous pouvons définir le i ( p ) de _{du W de classe de Stiefel-Whitney de Th du i du p de paquet de vecteur : B de → du E par : $w_i de (p) = \ Phi^ {- 1} (Sq^i (\ phi (1))) = \ Phi^ {- 1} (Sq^i (U)). \,$}

Voir également

Faisceau de fibres
La caractéristique de classe
Cobordism
Opération de Cohomology de

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