L\'espace de Hilbert

cet article assume de la connaissance de la géométrie analytique et du concept d'une limite . L'article sur les espaces de vecteur contient le fond utile, et l'article sur l'analyse fonctionnelle est étroitement lié.

< ! -- Note aux rédacteurs Nous à plusieurs reprises et aigu avons été invités à maintenir le fil très non technique. Svp, envisager d'ajouter vos perspicacités d'une nature technique au texte principal, et à l'essai maintenant les phrases courtes et exempt du jargon. La dépendance à l'égard une multitude de définitions liées peut être intimidating, aussi ! --> Le concept mathématique du d'un espace de Hilbert de , baptisé du nom du allemand David Hilbert du mathématicien , généralise la notion de l'espace euclidien d'une manière dont prolonge des méthodes d'algèbre de vecteur de l'avion bidimensionnel et d'espace tridimensionnel aux espaces infini-dimensionnels. En termes plus formels, un espace de Hilbert est un espace - un espace de vecteur abstrait de produit intérieur de dans lequel des distances et les angles peuvent être mesurés - qui est " ; " complet du ; , la signification de cela si un ordre des vecteurs approche une limite , puis cette limite est aussi bien garantie pour être dans l'espace.

Les espaces de Hilbert surgissent naturellement et fréquemment dans les mathématiques , la physique , et la technologie , typiquement pendant qu'infini-dimensionnel les espaces de fonction qu'ils sont les outils indispensables dans les théories de la mécanique quantique de des équations différentielles partielles , et le traitement des signaux . L'identification d'une structure algébrique commune dans ces champs divers a produit d'un plus grand arrangement conceptuel, et du succès des méthodes de l'espace de Hilbert déclenchées une ère très fructueuse pour l'analyse fonctionnelle .

L'intuition géométrique joue un rôle important dans beaucoup d'aspects de théorie de l'espace de Hilbert. Un élément d'un espace de Hilbert peut être uniquement spécifié par ses coordonnées en ce qui concerne une base orthonormale , dans l'analogie avec des coordonnées cartésiennes dans l'avion. Ceci signifie que l'espace de Hilbert peut utilement être considéré également en termes de les ordres infinis qui sont le place-sommable. Les opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert sont de même les objets assez concrets : dans de bons cas, ils sont simplement des transformations qui étirent l'espace par différents facteurs dans des directions mutuellement perpendiculaires.

Motivation et signification intuitive

Le ordinaire R ³ de l'espace euclidien sert de modèle à la notion plus abstraite d'un espace de Hilbert. En espace euclidien, la distance entre les points et l'angle entre les vecteurs peut être exprimée par l'intermédiaire du produit scalaire , une opération bilinéaire de certain sur des vecteurs avec des valeurs dans les vrais nombres . Beaucoup de problèmes de la géométrie analytique peuvent être reformulés et résolus using le produit scalaire, par exemple, " ; Quand deux lignes sont-elles le orthogonal ? " ; ou " ; Quel point sur un avion indiqué est le plus proche de l'origine ? " ;

Dans un espace de Hilbert, les objets fondamentaux sont des abstractions des vecteurs, dont la nature est sans importance (ils peuvent être, par exemple, des ordres ou des fonctions d'une certaine sorte). Ces vecteurs abstraits peuvent être ajoutés et multipliés par une grandeur scalaire, et un analogue du produit scalaire est défini pour eux. Les opérations algébriques sur des vecteurs dans un espace de Hilbert ont les propriétés familières, comme le Commutativity et le Distributivity . En outre, l'impératif technique de la perfection s'assure que certaines limites existent. Cette dernière propriété est toujours vraie pour que les espaces fini-dimensionnels de produit intérieur de mais les besoins soient énoncés comme prétention additionnelle dans le cas plus général.

Tandis que la définition d'un espace de Hilbert donné ci-dessous peut sembler compliquée, en raison d'un grand nombre d'axiomes d'uniformité l'intuition de base derrière des espaces de Hilbert est étonnamment simple : le

dans une gamme étendue des situations physiques et mathématiques, un problème linéaire peut être énoncé dans un certain espace de Hilbert et être analysé en termes géométriques simples .

En particulier, ce principe s'applique à résoudre le différentiel linéaire et les équations intégrales du , et particulièrement aux problèmes de la valeur propre . Un des premiers exemples d'une telle analyse a été donné par le théorie de s de Fourier Joseph 'de la chaleur mathématique : une solution de l'équation de la chaleur de peut être décomposée en infiniment beaucoup de pièces indépendantes, qui est étroitement analogue à la manière de représenter un vecteur du R ³ comme combinaison linéaire de trois vecteurs orthogonaux. Les considérations semblables s'appliquent à d'autres équations de la physique mathématique, notamment, l'équation d'ondes et l'équation de Helmholtz de .

Le succès de la théorie d'espaces de Hilbert est dû en partie du fait saisissant cela le

bien qu'ils puissent différer d'origine et l'aspect, la plupart des espaces de Hilbert considérés dans la physique et les mathématiques sont juste des manifestations multiples d'un espace séparable du simple Hilbert.

L'one-way pour comprendre ceci procède en présentant un système des coordonnées dans un espace de Hilbert donné using la notion de la base orthonormale décrite ci-dessous. Par suite du principe d'unicité, un théorème indiqué en termes abstraits et valide dans un de ces espaces se tiendra dans tous.

Définition

Un le vrai espace de Hilbert complexe de de ou est un vrai ou complexe espace de produit intérieur de qui est un espace normed par complet de (l'espace de Banach ) sous la norme définie par le produit intérieur.

Remarques

le $de produit intérieur \, de langle \ cdot \ cdot \ rangle$ sur un vrai ou complexe H de l'espace de vecteur provoque une norme ||·|| comme suit :

\|X \| = \ racine carrée {\ langle X, X \ rangle}.

de La perfection est la clef à manipuler des exemples infini-dimensionnels, tels que les espaces de fonction. Par exemple, le théorème de représentation de Riesz de ne se tient pas sans cette prétention. Il est exprimé using une forme du critère de Cauchy pour des ordres en H :

: Un ordre { n de de _{de v } est un ordre de Cauchy si pour chaque ε positif de vrai nombre il y a un N de nombre normal tels que pour tout le m , le n > N , || n} - m de _{du v de _{du v || < ε. Le H de l'espace est le complet en ce qui concerne cette norme si chaque d'ordre de Cauchy converge à un élément dans l'espace.}}

Pendant que n'importe quel espace de vecteur normed, un espace de produit intérieur devient un espace de vecteur topologique si nous déclarons que les boules ouvertes constituent une base de la topologie . Un espace de Hilbert est également un espace de Banach dans lequel l'identité suivante de parallélogramme de se tient :

\|\ + du mathbf {u} \ mathbf {} de v \|^2+ \|\ - du mathbf {u} \ mathbf {} de v \|^2=2 (\|\ mathbf {} d'u \|^2+ \|\ mathbf {} de v \|

de ^2). Réciproquement, il peut montrer qu'un espace de Banach dans lequel l'identité de parallélogramme se tient est un espace de Hilbert, et le produit intérieur est uniquement déterminé par la norme.

Définitions légèrement différentes d'utilisation de quelques auteurs. Par exemple, définir un espace de Hilbert comme au-dessus de mais limiter la définition aux espaces infini-dimensionnels séparables du . Un espace de Hilbert séparable et infini-dimensionnel est unique jusqu'à l'isomorphisme ; il est dénoté par ℓ² ( N ), ou simplement ℓ². (Voir la prochaine section pour la définition.) En cet article, un espace de Hilbert est le pas assumé pour être infini-dimensionnel ou séparable.

Des livres plus anciens et des papiers appellent parfois un espace de Hilbert un l'espace unitaire ou un l'espace linéaire avec un produit intérieur , mais cette terminologie est tombée hors de l'utilisation.

Genèse des espaces de Hilbert

Les premiers théorèmes importants qui s'appliquent aux espaces de Hilbert ont été obtenus par le Joseph Fourier , le Friedrich Bessel et le Marc-Antoine Parseval au 19ème siècle dans le cadre des fonctions périodiques d'une vraie variable. La théorie de Fourier de la série trigonométrique fournit en particulier un calibre pour le dernier développement de la théorie des espaces de fonction dans un arrangement abstrait. Encore d'autres résultats de base ont été prouvés dans le début du 20ème siècle, par exemple, le théorème de représentation de Riesz de du Maurice Frechet et du Frigyes Riesz de 1907.

Des espaces de Hilbert sont baptisés du nom du David Hilbert , qui a développé des méthodes d'algèbre linéaire infini-dimensionnelle au cours de son travail sur le commencement des équations intégrales autour de 1909. L'approche axiomatique de Hilbert à l'étude des espaces et des opérateurs de fonction sur eux, qui peuvent se nommer le " ; algebraization d'analysis" ; , si les bases pour l'analyse fonctionnelle comme nouvelle discipline mathématique, et impact profond fait sur le dernier développement des mathématiques. La signification du concept de l'espace de Hilbert a été soulignée avec la réalisation qu'il offre à une des formulations mathématiques du meilleur de la mécanique quantique . En bref, les états d'un système mécanique de quantum sont décrits par des vecteurs dans un certain espace de Hilbert, les choses observables sont exprimées par les opérateurs linéaires , et le procédé de la mesure de Quantum de est lié à la projection orthogonale. D'ailleurs, les symétries d'un système mécanique de quantum peuvent être interprétées comme représentation unitaire d'un groupe approprié , fournissant une impulsion pour le développement de la théorie unitaire de représentation de . D'une part, autour du même temps il est apparu clairement que certaines propriétés des systèmes dynamiques classique peuvent être analysées using des techniques de l'espace de Hilbert dans le cadre de la théorie ergodique .

Le John Von Neumann a inventé l'espace de Hilbert d'abrégé sur de limite dans son travail célèbre sur les opérateurs hermitiens illimité . Von Neumann était peut-être le mathématicien qui le la plupart clairement identifié leur importance en raison de son travail séminal sur les bases de la mécanique quantique qui a commencé dedans, et continu dans son travail avec le Eugene Wigner . Le " nommé ; Space" de Hilbert ; a été bientôt adopté par d'autres, par exemple par Hermann Weyl dans son livre sur la mécanique quantique et la théorie de groupes.

Exemples

Dans ces exemples, le champ fondamental des grandeurs scalaires est le C , bien que les définitions semblables s'appliquent au cas dans lequel le champ fondamental des grandeurs scalaires est le R .

Les espaces euclidiens

n de ^{du C avec le produit intérieur défini par le $de \ langle X, y \ rangle = \ x_k ^n du sum_ {k=1} \ overline {y_k}$ là où la barre au-dessus d'un nombre complexe dénote son conjugé de complexe de .
Les espaces d'ordre
les espaces de Hilbert Infini-dimensionnels sont centraux au sujet. Si le B est n'importe quel réglé, l'espace ℓ² (" dit d'ordre de ; petit two" d'aune ;) au-dessus du B est le $\ {x : B \ xrightarrow {x} \ mathbb {C} \ texte {et} \ sum_ {b \ à B} \ est parti|X \ est parti (b \ droit) \ droit|^2 < \ infty \ grand \}.$ Cet espace devient un espace de Hilbert avec le $de de produit intérieur \ langle X, = de y \ rangle \ sum_ {b \ à B} x (b) \ overline {y (b)}$ pour tout le X et y dans ℓ² ( B ). Le B ne doit pas être un ensemble comptable dans cette définition, bien que si le B n'est pas comptable, l'espace de Hilbert en résultant soit le séparable du pas . Dans une certaine mesure ci-dessous plus précis fait, chaque espace de Hilbert est le isomorphe à un de la forme ℓ² ( B ) pour un approprié B d'ensemble. Si le B = N , les nombres normaux , cet espace est séparable et s'appelle simplement le ℓ².
Les espaces de Lebesgue
Ce sont les espaces de fonction associés aux espaces de mesure ( X , M , μ), où le M est une σ-algèbre des sous-ensembles de X et le μ est une mesure comptable additive sur le M . Laisser le L ²_μ ( X ) soit l'espace des fonctions mesurables place-intégrables complexe-évaluées sur le X , égalité de modulo presque partout. Le moyen intégrable carré l'intégrale de la place de sa valeur absolue est fini. Des fonctions de moyens de l'égalité de modulo de sont identifiées presque partout si et seulement si elles sont égal dehors d'un ensemble de la mesure 0 . Intérieur produit de fonction f et g est ici donné par

$\ langle f, g \ rangle= \ int_X f (t) \ overline {g (t)} \ d \ MU (t)$ On doit montrer :
Que cette intégrale semble en effet raisonnable ;
L'espace en résultant est complet.}

Il est facile dériver ces faits ; voir, par exemple. Noter que l'utilisation du Lebesgue intégral s'assure que l'espace sera complet. Voir l'espace de de L^{'' p '' de pour davantage d'examen de cet exemple.
Les espaces de Sobolev
Le Sobolev espace dénoté par le ^{du s} ou du W de ^{du H ; s , ; 2}, sont un autre exemple des espaces de Hilbert, et sont employés souvent dans le domaine des équations différentielles partielles
Nouveaux espaces de Hilbert de vieux
Deux (ou plus) espaces de Hilbert peuvent être combinés pour produire un autre espace de Hilbert en prenant à leur la somme directe ou à leur produit de tenseur .
Applications
Les espaces de Hilbert permettent des concepts géométriques simples comme la projection et le changement de de la base à étendre de dimensionnel fini aux espaces dimensionnels infinis, en premier lieu, les espaces de fonction < ! -- C'est un morceau désuet, mais pour maintenant l'a laissé rester Tous les espaces fini-dimensionnels de produit intérieur sont des espaces de Hilbert. Les espaces de Hilbert fournissent un cadre avec lequel pour formaliser et généraliser les concepts de la série de Fourier De en termes de polynômes orthogonaux arbitraire et de la transformée de Fourier , qui sont des concepts centraux de l'analyse fonctionnelle . Les éléments d'un espace de Hilbert d'abstrait s'appellent parfois les vecteurs . Dans les applications, les espaces de Hilbert sont typiquement les ordres des nombres complexes ou les fonctions en mécanique quantique par exemple, un système physique est décrites par un espace de Hilbert complexe qui contient le " ; Wavefunctions quot; ce stand pour les états possibles du système. Voir la formulation mathématique de de la mécanique quantique pour des détails. (L'espace des ondes planes et des états attachés utilisés généralement en mécanique quantique est connu plus formellement comme espace de Hilbert calé par .)
Le produit intérieur permet à on d'adopter un " ; geometrical" ; regarder et employer le familier géométrique de langue des espaces fini-dimensionnels. De tous les espaces de vecteur topologiques de infini-dimensionnel les espaces de Hilbert sont la plupart de " ; " poli du ; et le plus proche des espaces fini-dimensionnels. ---> D'autres applications incluent :
La théorie des représentations de groupe unitaires .
La théorie des procédés stochastiques intégrable carré
La théorie de l'espace de Hilbert de formulations des équations différentielles partielles en particulier du problème de Dirichlet de .
Analyse spectrale des fonctions, y compris des théories des ondelettes
Un but de l'analyse de Fourier est d'écrire une fonction donnée en tant que combinaison linéaire d'a (probablement infini) des fonctions de base données. Ce problème peut être étudié abstrait dans les espaces de Hilbert : chaque espace de Hilbert a une base orthonormale , et chaque élément de l'espace de Hilbert peut être écrit d'une manière unique comme somme de multiples de ces éléments de base. La transformée de Fourier correspond alors à un changement de base.

Bases orthonormales
Un rôle principal dans la théorie est joué par la notion de la base orthonormale de de d'un H de l'espace de Hilbert : un B de ∈ du k de _{de famille { k} de _{de e } du H remplissant les conditions : Orthogonalité : Chaque deux éléments différents du B sont orthogonaux : < k}, j de _{du e de _{du e}> = 0 pour tout le k , j dans le B avec le j de ≠ du k .}
Normalisation : Chaque élément du famille a la norme 1 : || k de _{du e || = 1 pour tout le k dans le}
du B Perfection : L'envergure linéaire du B est le dense dans le H . Un système des vecteurs satisfaisant base la de deux première conditions s'appelle un système orthonormal ou un ordre orthonormal (si le B est le comptable). Il peut montrer qu'un tel système est toujours le linéairement indépendant. La perfection d'un système orthonormal des vecteurs d'un espace de Hilbert peut être d'une manière equivalente redite comme :
si $\ langle v, e_k \ rangle=0$ pour tout le $k \ dans B$ et un certain $puis \ mathbf {0}.$
Les exemples des bases orthonormales incluent :
l'ensemble {(1.1)} forme une base orthonormale du R ³ avec le produit scalaire
l'ordre { n de _{de f : le de ∈ du n Z } avec le n} ( X ) de _{du f = le exp (inx de 2π) forme une base orthonormale de l'espace complexe L² ()
la famille { b} de _{de e : de ∈ du b B } avec le b} ( c ) = 1 de _{du e si le b = c et 0 forme autrement une base orthonormale du l ² ( B ).}
Noter que dans le cas infini-dimensionnel, une base orthonormale ne sera pas une base dans le sens de l'algèbre linéaire ; pour distinguer les deux, la dernière base s'appelle également une base de Hamel de . Que l'envergure des vecteurs de base est dense signifie que chaque vecteur dans l'espace peut être écrit comme limite d'une série infinie et l'orthogonalité implique que cette décomposition est unique.
Using le lemme de Zorn de , on peut prouver que le chaque espace de Hilbert admet une base orthonormale ; en outre, deux bases orthonormales quelconques du même espace ont la même cardinalité . Un espace de Hilbert est le séparable si et seulement s'il admet une base orthonormale comptable du .
Puisque tous les espaces de Hilbert séparables infini-dimensionnels sont isomorphes, et puisque presque tous les espaces de Hilbert utilisés dans la physique sont séparables, quand les physiciens parlent du l'espace de Hilbert ils veulent dire le séparable.
Si { k de _{de e } le B} de ∈ du k de _{est une base orthonormale du H , alors chaque X d'élément du H peut être écrit As = de $x de \ sum_ {k \ à B} \ e_k de langle, x \ e_k$ de rangle}
Même si le B est incomptable, seulement comptable beaucoup de limites dans cette somme seront différentes de zéro, et l'expression est donc bien défini. Cette somme s'appelle également l'expansion de Fourier de du X .
Si { k de _{de e } le B} de ∈ du k de _{est une base orthonormale du H , alors le H est le isomorphe au l ² ( B ) dans le sens suivant : là existe une carte linéaire Φ du bijectif du : Le l ² ( B ) de → du H tels que le $\ langle \ phi de \ sont partis (x \ droit), \ phi \ est parti (y \ droit) \ = de rangle \ langle X, y \ rangle$ pour tout le X et y dans le H .}

Compléments et projections orthogonaux
Si le S est un sous-ensemble d'un H de l'espace de Hilbert, l'ensemble de vecteurs orthogonaux au S est défini par = de $S^ \ perp de \ à gauche \ {x \ dans H : \ langle X, s \ rangle = 0 \ \ forall s \ dans S \ droit \}$ Le S ^⊥ est un sous-espace de clôturé par du H et se forme ainsi un espace de Hilbert. Si le V est un sous-espace fermé du H , alors le V ^⊥ s'appelle le complément orthogonal de du V . En fait, chaque X dans le H peut alors être écrit uniquement comme X = v + W , avec le v dans le V et le W dans le V ^⊥. Par conséquent, le H est la somme directe interne de Hilbert de V et de V ^⊥. Le V de P_{d'opérateur linéaire : Le H de → du H qui trace le X au v s'appelle la projection orthogonale de sur le V . Le V} de P_{de projection orthogonale est un opérateur linéaire d'individu-adjoint sur le H du ≤ 1 de norme avec le V de P_{de propriété}² = V} de P_{. D'ailleurs, tout E d'opérateur linéaire d'individu-adjoint tels que le E ² = E est du V} de P_{de forme, où le V est la gamme du E . Pour chaque X dans le H , le V} ( X ) de P_{est le unique v d'élément du V qui réduit au minimum la distance || X - v ||.}
Ceci fournit l'interprétation géométrique du V ( X ) de P_{: c'est la meilleure approximation au X par des éléments du V .}

Reflexivity
Une propriété importante de n'importe quel espace de Hilbert est son reflexivity . En fait, plus est vrai : on a une description complète et commode de son espace duel (l'espace de de toutes les fonctions linéaires continues du de l'espace H dans le champ bas), qui est lui-même un espace de Hilbert. En effet, le théorème de représentation de Riesz de déclare qu'à chaque φ d'élément du duel H là existe un et seulement un u dans le H tels que le $\ phi de \ sont partis (x \ droit) du = \ langle u, x \ rangle$ pour tout le X dans le H et le u de ↔ de φ d'association fournit un isomorphisme antilinear entre le H et le H . Cette correspondance est exploitée par la notation de Soutien-gorge-ket de populaire dans la physique .

Opérateurs liés
Pour un H , le continu A de l'espace de Hilbert des opérateurs linéaires du : Le H de → du H sont d'intérêt particulier. Un opérateur si continu est lié par dans le sens qu'il trace les ensembles liés par aux ensembles liés. Ceci laisse définir sa norme As le $de \ lVert A \ = de rVert \ sup \ sont partis \ {\, \ hache de lVert \ rVert : \ lVert X \ rVert \ leq 1 \, \ droit \}.$
La somme et la composition de deux opérateurs linéaires continus est encore continue et linéaire. Pour le y dans le H , la carte qui envoie le X au < y , la hache de > est linéaire et continu, et selon le théorème de représentation de Riesz peut donc être représenté sous la forme $de \ langle A^* y, = de x \ rangle \ langle y, hache \ rangle.$
Ceci définit un autre continu A ^* d'opérateur linéaire : H , l'adjoint de → du H de du A .
L'ensemble L ( H ) de tous les opérateurs linéaires continus sur le H , ainsi que les opérations d'addition et de composition, la norme et l'opération d'adjoint, formes un C^*-algebra ; en fait, c'est le prototype de motivation et la plupart d'exemple important de C. ^*-algebra.
Un A d'élément de L ( H ) s'appelle l'individu-adjoint de ou le hermitien si le A ^* = A . Ces opérateurs partagent beaucoup de dispositifs des vrais nombres et sont parfois vus comme généralisations de elles.
Un U d'élément de L ( H ) s'appelle le unitaire de si le U est inversible et le son inverse est donné par le U ^*. Ceci peut également être exprimé en exigeant que < Ux , le UY > = < X , le y > pour tout le X et y dans le H . Les opérateurs unitaires constituent un groupe sous la composition, qui peut être regardée comme groupe d'automorphisme de H .

Opérateurs illimités
Si un opérateur linéaire a un graphique fermé et est défini sur tout l'espace de Hilbert, alors, par le théorème de graphique clôturé par dans la théorie de l'espace de Banach , elle est nécessairement liée. Cependant, des opérateurs illimités peuvent être obtenus en définissant une carte linéaire sur un sous-espace approprié de l'espace de Hilbert.
En physique de quantum, plusieurs opérateurs illimités intéressants sont définis sur un sous-espace dense du de l'espace de Hilbert. Il est possible de définir les opérateurs illimités d'individu-adjoint de , et ceux-ci jouent le rôle des choses observables de dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.
Les exemples de l'opérateur illimité d'individu-adjoint sur le L ² ( R ) de l'espace de Hilbert sont :
Prolongation appropriée du
A de l'opérateur différentiel $f de de (x) = I \ frac {d} {dx} f (x), \ quadruple$ le
où le i est l'unité imaginaire et le f est une fonction différentiable d'appui compact.

multiplication-par l'opérateur du X : $de de f (x) = xf (x). \ quadruple$
Ceux-ci correspondent à l'élan et aux choses observables de la position , respectivement. Noter que ni le A ni le B n'est défini sur tout le H , puisque dans le cas du A les dérivés n'ont pas besoin d'exister, et dans le cas du B la fonction de produit n'a pas besoin d'être intégrable carré. Dans les deux cas, l'ensemble d'arguments possibles forment des sous-espaces denses du L ² ( R ).

Voir également

Analyse harmonique
Opérateurs hermitiens
Analyse mathématique
Algèbre d'opérateur de
Théorème de représentation de Riesz de
Le a calé l'espace de Hilbert
L'espace de Hilbert de reproduction de grain
Topologies de sur l'ensemble d'opérateurs sur un espace de Hilbert .
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