L\'espace de Hausdorff

axiome d'eparation Dans la topologie et les branches relatives des mathématiques , un espace de Hausdorff de , l'espace séparé par ou l'espace du T₂ est un espace topologique dans lequel les points peuvent être séparé par les voisinages . Des nombreux axiomes de séparation qui peuvent être imposés à un espace topologique, le " ; Condition" de Hausdorff ; est plus souvent employée et discuté. Il implique l'unicité des limites des filets des ordres et des filtres

Les espaces de Hausdorff sont appelés pour le Felix Hausdorff , un des fondateurs de la topologie. La définition originale de Hausdorff d'un espace topologique a inclus l'état de Hausdorff comme axiome.

Définitions

Supposer que le X est un espace topologique . Laisser le X et le y être les points dans le X . Nous disons que le X et le y peuvent être séparé par les voisinages si le là existe un U du voisinage du X et un V de voisinage du y tels que le U et le V sont disjoignent ( V de ∩ de U = ∅). Le X est un deux de l'espace de Hausdorff de le cas échéant des points que distincts de de X peuvent être séparés par des voisinages. C'est pourquoi les espaces de Hausdorff s'appellent également les espaces du T₂ ou les espaces séparés par .

Le X est un deux preregular de l'espace le cas échéant topologiquement des points que distinguables de peuvent être séparés par des voisinages. Les espaces de Preregular s'appellent également les espaces du R₁.

Le rapport entre ces deux conditions est comme suit. Un espace topologique est de Hausdorff si et seulement si il est preregular et Kolmogorov (c. les points distincts sont topologiquement distinguables). Un espace topologique est preregular si et seulement si son quotient de Kolmogorov de est Hausdorff.

Équivalences

Pour un X de l'espace topologique, ce qui suit est équivalent :
Le X est l'espace de Hausdorff.
Les limites dans le X sont uniques (c. le ordonnance , le prend au filet et les filtres convergent à tout au plus un point).
Chaque ensemble de singleton contenu dans le X est égal à l'intersection de tous les voisinages fermés la contenant.
Le diagonal Δ = {( X , X ) | le X de ∈ du X } est clôturé par comme sous-ensemble des × du X de l'espace de produit de ; X .

Exemples et contre-exemples

Presque tous les espaces produits dans l'analyse sont Hausdorff ; d'une manière plus importante, les vrais nombres sont un espace de Hausdorff. Plus généralement, tous les espaces métriques sont Hausdorff. En fait, beaucoup d'espaces d'utilisation dans l'analyse, telle que les groupes topologiques et les tubulures topologiques ont l'état de Hausdorff explicitement indiqué dans leurs définitions.

Un exemple simple d'une topologie qui est le T₁ mais n'est pas Hausdorff est la topologie de Cofinite de .

Les espaces de Pseudometric de ne sont pas typiquement Hausdorff, mais ils sont preregular, et leur utilisation dans l'analyse est habituellement seulement dans la construction des espaces de mesure de de Hausdorff en effet, quand les analystes courent à travers un espace de non-Hausdorff, il est toujours probablement au moins preregular, et alors ils le remplacent simplement par son quotient de Kolmogorov, qui est Hausdorff.

En revanche, les espaces non-preregular sont produits beaucoup plus fréquemment dans l'algèbre d'abrégé sur et la géométrie algébrique , en particulier comme topologie de Zariski de sur une variété algébrique ou spectre de d'un anneau . Ils surgissent également dans la théorie des modèles de la logique intuitionniste : chaque algèbre complète de Heyting de du est l'algèbre des ensembles ouverts d'un certain espace topologique, mais cet espace n'a pas besoin d'être preregular, beaucoup moins de Hausdorff.

Propriétés

Les sous-espaces et les produits des espaces de Hausdorff sont Hausdorff, mais les espaces de quotient des espaces de Hausdorff n'ont pas besoin d'être Hausdorff. En fait, le chaque espace topologique de peut être réalisé comme quotient d'un certain espace de Hausdorff.

Les espaces de Hausdorff sont le T₁ , signifiant que tous les singletons sont fermés. De même, les espaces preregular sont le R₀ .

Une autre propriété gentille des espaces de Hausdorff est que les ensembles de contrat de sont toujours fermés. Ceci peut échouer pour les espaces qui sont non-Hausdorff (il y a des exemples des espaces de T₁ où il échoue).

La définition d'un espace de Hausdorff indique que des points peuvent être séparés par des voisinages. Elle s'avère que ceci implique quelque chose qui est apparemment plus forte : dans un espace de Hausdorff que chaque paire de disjoindre les ensembles compacts peut être séparé par des voisinages. C'est un exemple de la règle générale qui rendent des ensembles compacts se comportent souvent comme des points.

Les conditions de compacité ainsi que le preregularity impliquent souvent des axiomes de séparation plus forts. Par exemple, n'importe quel localement rendent l'espace preregular compact de est le complètement régulier. Les espaces preregular compacts du sont le normal, signifiant qu'ils satisfont le lemme d'Urysohn de et le théorème de prolongation de Tietze de et ont des cloisons de de subalterne de l'unité aux couvertures ouvertes localement fini que les versions de Hausdorff de ces rapports sont : chaque espace de Hausdorff localement compact est Tychonoff , et chaque espace de Hausdorff de contrat est Hausdorff normal.

Les résultats suivants sont quelques propriétés techniques concernant des cartes ( continu et autrement) à et des espaces de Hausdorff.

Laisser le f : Le Y de → du X soit une fonction continue et suppose que le Y est Hausdorff. Puis le graphique du f , $\ {(x, f (x)) \ mi x \ dans X \}$ , est un sous-ensemble fermé de × du X ; Y .

Laisser le f : Le Y de → du X soit une fonction et laisser = de $\ mbox {ker} (f) \ {(x, x') \ mi f (x) = f (x') \}$ soit son grain considéré comme un sous-espace des × du X ; X .
Si le f est continu et le Y est ker de Hausdorff alors ( f ) est fermé.
Si le f est un ouvert Surjection du et le ker ( f ) est fermé alors le Y est Hausdorff.
Si le f est un continu, le ouvert Y de surjection (c. une carte ouverte de quotient) alors est de Hausdorff si et seulement si ker de (f) est fermé.

Si f, g : Le Y de → du X sont les cartes continues et le Y est Hausdorff puis le $\ mbox {eq} (f, g) = \ {x \ mi f (x) = g (x) \}$ est clôturé dans le X . Il suit que si le Y est Hausdorff et le f et le g conviennent sur un sous-ensemble dense du de f du X puis = g . En d'autres termes, des fonctions continues dans les espaces de Hausdorff sont déterminées par leurs valeurs sur les sous-ensembles denses.

Laisser le f : Le Y de → du X soit un surjection de clôturé par tels que ^{&minus du f ; 1} ( y ) est le compact pour tout le Y de ∈ du y . Alors si le X est Hausdorff ainsi est le Y .

Laisser le f : Le Y de → du X soit une carte de quotient de avec le X par espace de Hausdorff compact. Alors ce qui suit est

équivalent de

Preregularity contre la régularité

Tous les espaces réguliers sont preregular, de même que tous les espaces de Hausdorff. Il y a beaucoup de résultats pour les espaces topologiques qui se tiennent pour le militaire de carrière et les espaces de Hausdorff. Le plus souvent, ces résultats se tiennent pour tous les espaces preregular ; ils étaient énumérés pour le militaire de carrière et les espaces de Hausdorff séparément parce que l'idée des espaces preregular est venue plus tard. D'une part, ces résultats qui sont vraiment au sujet de régularité généralement ne s'appliquent pas également aux espaces de Hausdorff nonregular.

Il y a beaucoup de situations où un autre état des espaces topologiques (tels que Paracompactness ou compacité locale ) impliquera la régularité si le preregularity est satisfaisant. De telles conditions viennent souvent dans deux versions : une version régulière et une version de Hausdorff. Bien que les espaces de Hausdorff ne soient pas généralement réguliers, un espace de Hausdorff qui est également (dire) localement contrat sera régulier, parce que n'importe quel espace de Hausdorff est preregular. Ainsi d'un certain point de vue, c'est vraiment preregularity, plutôt que la régularité, cette des sujets dans ces situations. Cependant, des définitions habituellement sont encore exprimées en termes de régularité, puisque cette condition est plus bien connue que le preregularity.

Voir l'histoire de des axiomes de séparation pour plus sur cette question.

Variantes

Le " de limites ; Hausdorff" ; , " ; separated" ; , et " ; preregular" ; peut également être appliqué à de telles variantes sur les espaces topologiques que l'uniforme de espace les espaces de Cauchy de et les espaces de convergence de La caractéristique qui unit le concept en tout de ces exemples est que les limites des filets et des filtres (quand elles existent) sont uniques (pour les espaces séparés) ou uniques jusqu'à l'indistinguishability topologique (pour les espaces preregular).

Pendant qu'il s'avère, les espaces uniformes, et plus Général Cauchy espace, est toujours preregular, ainsi la condition de Hausdorff dans ces cas réduit à l'état de T₀. Ce sont également les espaces dans lesquels la perfection semble raisonnable, et Hausdorffness est un compagnon normal à la perfection dans ces cas. Spécifiquement, un espace est complet si et seulement si chaque filet de Cauchy a au moindre limite de un, alors qu'un espace est Hausdorff si et seulement si chaque filet de Cauchy a au la plupart de limite de un (puisque seulement les filets de Cauchy peuvent avoir des limites en premier lieu).

Plaisanterie

Il y a une plaisanterie des mathématiciens qui sert de rappel de la signification de cette limite : Dans un espace de Hausdorff, les points peuvent être " ; off" logé ; les uns des autres. Michael Atiyah employé pour dessiner les ensembles maison-shaped sur le tableau noir. (Dans un accent britannique démodé, le outre de pourrait être le cadre ouvert de lecture de , phonétiquement, que tout aide.

Random links:

W.P. Kinsella | Compte de médaille de 1968 Jeux Olympiques d'hiver | Jean de Broglie | Pat Morris Neff | Espacio_de_Hausdorff