Kriging

< ! -- POV --> Le Kriging est un groupe de les techniques que geostatistical de au interpolent la valeur d'un champ aléatoire (par exemple l'altitude Z de du paysage en fonction de l'endroit géographique) à un endroit inaperçu des observations de sa valeur aux endroits voisins. La théorie derrière l'interpolation et l'extrapolation par Kriging a été développée par le français Georges Matheron de mathématicien basé sur la thèse de maître du Daniel Gerhardus Krige , la table traçante pilote des catégories moyennes distance-pesées d'or au complexe de récif de Witwatersrand en Afrique du Sud. Le verbe anglais est au krige et l'adjectif le plus commun est kriging .

Interpolation de Kriging

Kriging appartient à la famille des algorithmes des moindres carrés d'évaluation du linéaire comme illustré sur le schéma 1, le but de kriging est d'estimer la valeur d'une vraie fonction inconnue $f$ à un point $x^*$, donnée les valeurs de la fonction à quelques autres points $x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n$. Un estimateur kriging serait le linéaire parce que le $de\; valeur\; \backslash \; chapeau\; prévus\; f\; (x^*)$ est une combinaison linéaire qui peut être écrite en tant que le $de\; \backslash \; chapeau\; f\; (x^*)\; =\; \backslash \; ^n\; du\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; lambda\_i\; f\; (x\_i)$.

Le $de\; poids\; \backslash \; lambda\_i$ sont des solutions d'un système des équations linéaires qui est obtenu en supposant que $f$ est un échantillon-chemin d'un $F\; du\; processus\; aléatoire\; de\; (x)$, et que l'erreur du $\backslash \; du\; varepsilon\; de\; de\; prévision\; (x)\; =\; F\; (x)\; -\; \backslash \; ^n\; de\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; lambda\_i\; F\; (x\_i)$ est être réduite au minimum dans un certain sens. Par exemple, la prétention kriging simple du soi-disant est que le moyen et la covariance du $F\; (x)$ est connu et puis, le facteur prédictif kriging est celui qui réduit au minimum le désaccord de l'erreur de prévision.

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Du point de vue géologique du , la pratique de kriging est basée sur assumer la minéralisation continue entre les valeurs mesurées. La connaissance antérieure arrogante encapsule comment les minerais Co-se produisent en fonction de l'espace. Puis, donné un ensemble commandé de catégories mesurées, l'interpolation par kriging prévoit des concentrations minérales aux points inaperçus.

Applications de kriging

L'application de kriging aux problèmes dans la géologie et l'exploitation aussi bien qu'à l'hydrologie a commencé au milieu des années 60 et particulièrement dans les années 70 avec le travail du Georges Matheron . Le raccordement entre kriging et Geostatistics règne toujours aujourd'hui.

Kriging est par exemple employé dedans
exploitation
hydrogéologie
Name=" de référence des ressources naturelles ; multiple" ; >Goovaerts (1997) Geostatistics pour l'évaluation de ressource naturelle,
la science environnementale
télédétection
boîte noire noire modelant dans les expériences ref> d'ordinateur de

Polémique dans l'exploration et l'exploitation minérales

La question de si la dépendance spatiale peut être assumée ou doit être vérifiée en s'appliquant le test F de Fisher au désaccord d'un ensemble de valeurs mesurées et de la première limite de désaccord de l'ensemble commandé avant l'interpolation par kriging est d'importance particulière dans l'exploration et le mien minéraux. Par exemple, les données en uranium hypothétiques de Clark dans le Geostatistics pratique ne montrent pas un degré significatif de la dépendance spatiale mais des rapports d'auteur une évaluation kriged pour quelques coordonnées choisies dans cet espace témoin de toute façon. La pratique de kriging se prête à l'abus, en particulier une fois appliquée au minerai une distribution modèle fondée sur l'hypothèse que les concentrations en minerai montrent un degré significatif de dépendance spatiale dans l'espace témoin à l'examen. La dépendance spatiale entre les catégories de forage a été assumée le propriété de s Busang de Bre-X à ', mine de crique de la grouse de Hecla et masse de d'autres où les catégories d'or se sont avérées être inférieures à prévoir. Un degré significatif de la dépendance spatiale est exigé pour justifier l'interpolation entre les valeurs mesurées dans les ensembles commandés. Ne pas passer un essai pour la dépendance spatiale indiquerait qu'un modèle constant ne peut pas être distingué d'un modèle kriging sans informations supplémentaires ou connaissance.

Détails mathématiques

Équations générales de kriging

Kriging est un groupe de les techniques que geostatistical de au interpolent le $Z\; de\; valeur\; (x\_0)$ d'un $Z\; aléatoire\; du\; champ\; (x)$ (par exemple l'altitude $Z$ du paysage en fonction de l'endroit géographique $x$) à un endroit inaperçu $x\_0$ de, de $z\_i=Z\; d\text{'}observations\; (x\_i)\; \backslash \; ;\; i=1,\; \backslash \; ldots,\; n$ du champ aléatoire aux endroits voisins $x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n$. Kriging calcule le $de\; l\text{'}estimateur\; impartial\; mieux\; \backslash \; chapeau\; linéaires\; \{Z\}\; (x\_0)$ du $Z\; (x\_0)$ basé sur un modèle stochastique du de la dépendance spatiale a mesuré ou par le $de\; Variogram\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)$ ou par $d\text{'}espérance\; \backslash \; MU\; (x)=E$ et le $c\; defonction\; de\; covariancede\; (x,\; y)$ du champ aléatoire.

L'estimateur kriging est donné par une combinaison linéaire $de$

\ chapeau {Z} (x_0) = \ w_i ^n du sum_ {i=1} (x_0) Z (x_i)

du $z\_i=Z\; de\; valeurs\; observées\; (x\_i)$ avec, du $w\_i\; de\; poids\; (x\_0)\; \backslash \; ;\; i=1,\; \backslash \; ldots,\; n$ choisi tels que le désaccord (également appelé désaccord kriging de ou l'erreur kriging de ) : $de$

\ sigma^2_k (x_0) : = \ mathrm {} de variété \ laissé (\ chapeau {Z} (x_0) - Z (x) \ droit) = \ ^n du sum_ {i=1} \ w_j du w_i ^n du sum_ {j=1} (x_0) (x_0) c (x_i, x_j) + \ mathrm {} de variété \ laissé ^nw_i (de Z (x) \ droit) - 2 \ sum_ {i=1} (x_0) c (x_i, x_0)

réduit au minimum sujet à l'état d'impartialité :

$\backslash \; mathrm\; \{E\}\; =\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^n\; w\_i\; (x\_0\; -)\; \backslash \; MU\; (x\_i)\; \backslash \; MU\; (x\_0)\; =0$ Selon les propriétés stochastiques des différents types de champ aléatoire de kriging appliquer. Pour les différents types de kriging l'état d'impartialité est récrit dans différentes contraintes linéaires pour les poids $w\_i$.

Le désaccord kriging de ne doit pas être confondu avec le $de\; de\; désaccord\; \backslash \; mathrm\; \{variété\}\; \backslash \; parti\; (\backslash \; chapeau\; \{Z\}\; (x\_0)\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; variété\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; w\_iZ\; ^n\; de\; sum\_\; \{i=1\}\; (x\_i)\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; ^n\; du\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; w\_j\; c\; (x\_i,\; x\_j)\; de\; w\_i\; ^n\; du\; sum\_\; \{j=1\}$ du $de\; facteur\; prédictif\; \backslash \; du\; chapeau\; kriging\; \{Z\}\; (x\_0)$ lui-même.

Les types de kriging

Les types classiques de kriging sont
kriging simple de

assumant une tendance constante connue : $\backslash \; MU\; (x)=0$.
kriging ordinaire assumant une tendance constante inconnue : $\backslash \; MU\; (x)=\; \backslash \; mu$.
kriging universel assumant un $linéaire\; général\; de\; modèle\; de\; tendance\; \backslash \; MU\; (^p\; de\; x)=\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; \backslash \; beta\_k\; f\; (x)$.
$arrogantd\text{'}IRFk-kriging\; de\; \backslash \; MU\; (x)$ à être un inconnu polynôme dans $x$.
Indicateur de kriging using les fonctions au lieu du processus lui-même d'indicateur de , afin d'estimer des probabilités de transition.
le Multiple-indicateur de kriging est une version d'indicatior kriging fonctionnant avec une famille des indicateurs. Cependant, MIK est tombé hors de la faveur comme technique d'interpolation ces dernières années. C'est dû à quelques difficultés inhérentes liées à l'opération et à la validation de modèle. La simulation conditionnelle est devenir rapide la technique admise de remplacement dans ce cas-ci.
Le kriging disjonctif est une généralisation non linéaire de kriging.
Le kriging log-normal interpole des données positives au moyen de logarithmes

Kriging simple

Kriging simple est le genre le plus simple de kriging. Il assume l'espérance du champ aléatoire à connaître, et se fonde sur une fonction de covariance de . Cependant, dans la plupart des applications ni l'espérance ni la covariance ne sont connues à l'avance.

Prétentions kriging simples

Les prétentions pratiques pour l'application du kriging simple sont :
stationarity large de sens de du champ.
L'espérance est zéro partout : $\backslash \; MU\; (x)=0$.
$c\; connu\; de\; la\; fonction\; de\; covariance\; de\; (x,\; y)=\; \backslash \; mathrm\; \{Cov\}\; (Z\; (x),\; Z\; (y))$

Équation kriging simple

Les poids kriging kriging simple n'ont aucun état d'impartialité et sont donnés par le système kriging simple d'équation de : le $de\; \backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; w\_1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; w\_n\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; =\; \backslash \; commencer\; \{pmatrix\}\; c\; (x\_1,\; x\_1)\; et\; \backslash \; cdots\; et\; \backslash \; de\; c\; (x\_1,\; x\_n)\; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; c\; (x\_n,\; x\_1)\; et\; \backslash \; cdots\; et\; c\; (x\_n,\; x\_n)\; \backslash \; ^\; d\text{'}extrémité\; \{pmatrix\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; c\; (x\_1,\; x\_0)\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \; \backslash \; c\; (x\_n,\; x\_0)\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

Interpolation kriging simple

L'interpolation par kriging simple est donnée par : le $de\; \backslash \; chapeau\; \{Z\}\; (x\_0)\; =\; \backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; z\_1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; z\_n\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \text{'}\; \backslash \; commencer\; \{pmatrix\}\; c\; (x\_1,\; x\_1)\; et\; \backslash \; cdots\; et\; \backslash \; de\; c\; (x\_1,\; x\_n)\; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; c\; (x\_n,\; x\_1)\; et\; \backslash \; cdots\; et\; c\; (x\_n,\; x\_n)\; \backslash \; ^\; d\text{'}extrémité\; \{pmatrix\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; c\; (x\_1,\; x\_0)\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \; \backslash \; c\; (x\_n,\; x\_0)\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

Erreur kriging simple

L'erreur kriging est donnée par : $de\; \backslash \; mathrm\; \{variété\}\; \backslash \; (\backslash \; chapeau\; \{Z\}\; (x\_0)\; -\; Z\; (x\_0)\; \backslash \; droit)\; =\; laissé\; \backslash \; underbrace\; \{c\; (x\_0,\; x\_0)\}\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{variété\}\; (Z\; (x\_0))\}-\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; c\; (x\_1,\; x\_0)\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \; \backslash \; c\; (x\_n,\; x\_0)\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \text{'}\; \backslash \; commencer\; \{le\; pmatrix\}\; c\; (x\_1,\; x\_1)\; et\; \backslash \; cdots\; et\; \backslash \; de\; c\; (x\_1,\; x\_n)\; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; c\; (x\_n,\; x\_1)\; et\; \backslash \; cdots\; et\; c\; (x\_n,\; x\_n)\; \backslash \; ^\; d\text{'}extrémité\; \{pmatrix\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; commencer\; \{pmatrix\}\; \backslash \; de\; c\; (x\_1,\; x\_0)\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; c\; (x\_n,\; x\_0)\; \backslash \; \_\; d\text{'}extrémité\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{variété\}\; (\backslash \; chapeau\; \{Z\}\; (x))\}$ le quel mène à la version des moindres carrés généralisée du théorème de Gauss-Markov de (Chiles et Delfiner 1999, P. 159) : $de\; \backslash \; mathrm\; \{variété\}\; (Z\; (x\_0))=\; \backslash \; mathrm\; \{variété\}\; (\backslash \; chapeau\; \{Z\}\; (x\_0))+\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; variété\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; chapeau\; \{Z\}\; (x\_0)\; -\; Z\; (x\_0)\; \backslash \; droit).$

Kriging ordinaire

Kriging ordinaire est le type le plus utilisé généralement de kriging. Il assume un moyen constant mais d'inconnu.

Prétentions kriging ordinaires typiques

Les prétentions typiques pour l'application pratique du kriging ordinaire sont :
Le stationarity intrinsèque de ou le sentent au loin le stationarity du champ
assez d'observations de pour estimer le Variogram . L'état mathématique pour l'applicabilité de kriging ordinaire sont :
Le $E=\; moyen\; \backslash \; mu$ est inconnu mais constante
Le $deVariogram\backslash \; gamma\; (x,\; y)=E$ de $Z\; (x)$ est connu.

Équation kriging ordinaire

Les poids kriging de kriging ordinaire remplissent la condition d'impartialité $de$

\ w_i ^n du sum_ {i=1} = 1

et sont donnés par le système kriging ordinaire d'équation de : le le $additionnel\; de\; paramètre\; \backslash \; lambda$ est un multiplicateur de Lagrange de utilisé dans le minization du $kriging\; d\text{'}erreur\; \backslash \; sigma\_k^2\; (x)$ pour honorer l'état d'impartialité.

Interpolation kriging ordinaire

L'interpolation par kriging ordinaire est donnée par : le

Erreur kriging ordinaire

L'erreur kriging est donnée par :

Propriétés de kriging

(Cressie 1993, Chiles&Delfiner 1999, Wackernagel 1995)
L'évaluation kriging est impartiale : $E=E$
L'évaluation kriging honore la valeur réellement observée : =Z de $\backslash \; chapeau\; \{Z\}\; (x\_i)\; (x\_i)$
Le $d\text{'}évaluation\; \backslash \; chapeau\; kriging\; \{Z\}\; (x)$ est l'estimateur impartial linéaire mieux du $Z\; (x)$ si les prétentions se tiennent. De quelque manière que (par exemple Cressie 1993) :
Comme avec toute méthode : Si les prétentions ne se tiennent pas, kriging pourrait être mauvais.
Il pourrait y avoir des méthodes mieux non linéaires et/ou décentrées.
Aucune propriété n'est garantie, quand le variogram faux est employé. Une « bonne » interpolation est de quelque manière que typique encore réalisée.
Le meilleur n'est pas nécessairement bon : par exemple en cas d'aucune dépendance spatiale l'interpolation kriging est seulement aussi bonne que la moyenne arithmétique.
Kriging fournit le $\backslash \; sigma\_k^2$ comme mesure de précision. Cependant cette mesure se fonde sur l'exactitude du variogram.

Limites relatives et techniques

Limites de Kriging

Une série de limites relatives a été également appelée après que Krige, y compris l'évaluation kriged, kriged l'estimateur, le désaccord kriging, la covariance kriging, le désaccord kriging zéro, la covariance kriging d'unité, la matrice kriging, la méthode kriging, le modèle kriging, le plan kriging, le processus kriging, le système kriging, le bloc kriging, le Co-kriging , kriging disjonctif, kriging linéaire, kriging ordinaire, le point kriging, kriging aléatoire, la grille régulière kriging, kriging simple et kriging universel.

Méthodes relatives

Kriging mathématiquement est étroitement lié à l'analyse de régression . Les deux théories dérivent un estimateur impartial linéaire mieux, fondé sur des hypothèses sur les covariances se servir du théorème de Gauss-Markov de pour prouver l'indépendance de l'évaluation et de l'erreur, et se servir des formules très semblables. Elles sont néanmoins utiles dans différents cadres : Kriging est fait pour l'interpolation d'une réalisation simple d'un champ aléatoire, alors que des modèles de régression sont basés sur des observations multiples d'un ensemble de données multivariable.

Dans la communauté statistique du la même technique est également connue en tant que la régression du processus gaussien , la prévision de saucisse de Kolmogorov de , ou prévision impartiale linéaire de mieux.

L'interpolation kriging peut également être vue comme cannelure dans un espace de Hilbert de reproduction de grain , avec le grain de reproduction donné par la fonction de covariance. La différence avec l'approche kriging classique est fournie par l'interprétation : tandis que la cannelure est motivée par une interpolation minimum de norme basée sur une structure d'espace de Hilbert, kriging est motivé par une erreur carrée prévue de prévision basée sur un modèle stochastique.

Kriging avec les surfaces polynômes de tendance de est mathématiquement identique à l'ajustement de courbe polynôme des moindres carrés généralisé par de .

Kriging peut également être compris comme forme de l'inférence bayésienne . Les débuts de Kriging avec une distribution antérieure du au-dessus des fonctions cet antérieur prend la forme d'un processus gaussien : les échantillons de $N$ provenant d'une fonction seront le normalement distribué, où la covariance entre deux échantillons quelconques est la fonction de covariance (ou grain ) du processus gaussien évalué à l'endroit spatial de deux points. On observe alors un réglé des valeurs, chaque valeur liée à un endroit spatial. Maintenant, une nouvelle valeur peut être prévue à n'importe quel nouvel endroit spatial, en combinant le gaussien antérieurement avec une fonction de probabilité gaussienne pour chacune des valeurs observées. La distribution postérieure en résultant du est également gaussienne, avec des moyennes et une covariance qui peuvent être simplement calculées des valeurs observées, de leur désaccord, et de la matrice de grain dérivée de l'antérieur.

Histoire

La théorie de Kriging a été développée par le français Georges Matheron de mathématicien basé sur la thèse de maître du Daniel Gerhardus Krige , la table traçante pilote des catégories moyennes distance-pesées d'or au complexe de récif de Witwatersrand. Le verbe anglais est au krige et l'adjectif le plus commun est kriging . La méthode s'est appelée le krigeage de pour la première fois dans le d de Matheron pair SA Périphérie de l'ONU Panneau Rectangulaire de Krigeage le 1960'. Matheron, dans cette note Géostatistique de aucuns 28 , dérive le k* , son estimateur » « de et un précurseur à l'évaluation kriged par ou à l'estimateur kriged par . Dans des statistiques classiques, le k* de du de Matheron est la catégorie moyenne longueur-pesée de chacun de son panneaux de dans son ensemble. Quel Matheron n'a pas dérivé était variété de (k*) , le désaccord de son estimateur . Au contraire, il a calculé la catégorie moyenne longueur-pesée de chaque panneau de mais n'a pas calculé le désaccord de sa valeur centrale. À temps, il a remplacé les catégories moyennes longueur-pesées pour les espaces tridimensionnels témoin tels que des blocs de Matheronian de minerai par des catégories moyennes distance-pesées plus abondantes pour les espaces zéro-dimensionnels témoin tels que des points de Matheronian.

Une doctrine centrale de geostatistics est qu'on peut supposer que la dépendance spatiale n'a pas besoin d'être vérifiée mais existe entre deux points ou plus de Matheronian, déterminé dans les échantillons choisis aux positions avec différentes coordonnées. Cette doctrine de la causalité assumée est la quintessence de la nouvelle science de Matheron du geostatistics. Les restes de question si la causalité assumée semble raisonnable dans n'importe quelle autre discipline scientifique. À plus forte raison parce que valeurs centrales telles que les moyennes de distance et longueur-pesée métamorphosées tellement sans à-coup dans des évaluations kriged ou des estimateurs kriged.

Kriging 1967 de Matheron, ou procédures polynômes d'interpolation de ? Une contribution à la polémique dans la géologie mathématique , les éloges le fond probabiliste précis de kriging et vouloir polynôme des moindres carrés d'interpolation de trouvailles. En fait, kriging preferred de Matheron parce qu'il donne les ensembles infinis d'évaluations kriged ou d'estimateurs kriged dans les espaces tridimensionnels finis témoin. Les ensembles infinis de points sur des polynômes étaient plutôt restrictifs pour la nouvelle science de Matheron du geostatistics.

Voir également

Variogram de prélèvement de
La dépendance spatiale
Variogram
Multiple-indicateur de kriging

.

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