K-théorie

Dans les mathématiques , la K-théorie est, premièrement, une théorie extraordinaire de cohomology de qui se compose de la K-théorie topologique . Elle inclut également la K-théorie algébrique . Elle enjambe les sujets de la topologie algébrique , l'algèbre abstraite et quelques domaines d'application comme les algèbres d'opérateur de et la géométrie algébrique . Elle mène à la construction des familles du K - le Functors qui contient utile mais dur-à-calculent souvent l'information.

Dans la physique , la K-théorie et en particulier la K-théorie tordue sont apparues dans le type la théorie de corde d'II où on l'a conjecturé qu'elles classifient le D-branes , les intensités de champ de Ramond-Ramond et également certains spineurs sur les tubulures complexes généralisées par . Pour des détails, voir également la K-théorie de (physique) .

Histoire des débuts

Le sujet a été à l'origine découvert par le Alexandre Grothendieck de sorte qu'il ait pu formuler son théorème de Grothendieck-Riemann-Roch de . Il prend son nom du " allemand ; Klasse" ; , signifiant le " ; class" ; . Grothendieck a dû convertir le monoîde commutatif des gerbes avec l'opération de la somme directe en groupe. Au lieu d'essayer de travailler avec les gerbes directement, il a pris des sommes formelles de certaines classes des gerbes et a formellement ajouté des inverses. (C'est une manière explicite d'obtenir un laissé l'adjoint à un certain functor.) Cette construction, maintenant appelée le groupe de Grothendieck de , a été prise par le Michael Atiyah et le Friedrich Hirzebruch pour définir le K ( X ) pour un X de l'espace topologique , au moyen de la construction analogue de somme pour les paquets de vecteur de ceci était la base de la première des théories extraordinaires de cohomology de de la topologie algébrique . Il a joué un grand rôle dans la deuxième preuve autour de 1962 du théorème d'index de . En outre cette approche a mené à un non commutatif K - théorie du pour le C*-algebras

Alternativement, le Jean-Pierre Serre a employé l'analogie des paquets de vecteur de avec les modules projectifs pour fonder dans 1959 ce qui est devenu la K-théorie algébrique de de . Il a formulé la conjecture de Serre de , qui déclare que les modules projectifs au-dessus de l'anneau des polynômes au-dessus d'un champ sont les modules libres ceci preuve résistée pendant 20 années.

Là a suivi une période l'où il y avait de diverses définitions partielles de plus haut K-functors ; jusqu'à une définition complète a été donné par le Daniel Quillen using la théorie de Homotopy de .

Les constructions correspondantes impliquant une forme quadratique auxiliaire reçoivent la L-théorie nommée générale . C'est un outil important de la théorie de chirurgie de .

Voir également le théorème du cygne de .

Dans la théorie de corde de Ruben Minasian et Gregory Moore dans la K-théorie et la charge ont proposé la première fois la classification de K-théorie des forces du champ de Ramond-Ramond de et des frais du stable D-branes en 1997 de Ramond-Ramond. Plus de détails peuvent être trouvés à la K-théorie de (physique) .

Voir également

Liste de des théories de cohomology
K-théorie de (physique)
L-théorie

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