Jeune tableau

Dans les mathématiques , un jeune tableau est un objet combinatoire du utile dans la théorie de représentation de . Il fournit une manière commode de décrire les représentations de groupe du groupe symétrique et d'étudier leurs propriétés.

De jeunes tableaux ont été présentés par le Alfred jeune , un mathématicien à l'Université de Cambridge , en 1900. Ils ont été alors appliqués à l'étude du groupe symétrique par le Georg Frobenius en 1903. La théorie a été encore développée par Alfred Young, et par d'autres mathématiciens comprenant le Alain Lascoux , le Percy MacMahon , le G. Robinson , le Giancarlo Rota , le Marcel-Paul Schützenberger et le Richard P.

Définitions

Jeune diagramme

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Un jeune diagramme (également appelé le diagramme de Ferrers de ) est une manière de représenter des cloisons de d'un n du nombre . Laisser le n être un nombre normal. Une cloison est une manière d'exprimer le n comme somme de nombres normaux : n = k ₁ + k ₂ +… + m de _{du k , où ≥ du k 2 de ≥ du k 1…. Une cloison peut être décrite par un jeune diagramme qui se compose des rangées du m , avec la première rangée contenant des boîtes du k 1, la deuxième rangée contenant des boîtes du k 2, etc. Chaque rangée gauche-est justifiée.}

Appelons ce k de cloison (laissant tomber l'indice inférieur, mais se rappelant que c'est là). Alors le conjugé de cloison de à k est la cloison du n comprenant le compte de boîtes dans chaque colonne. C'est-à-dire, pour chaque jeune diagramme, il y a un diagramme conjugué qui a l'horizontal et la verticale reflétés à travers la diagonale.

La figure du côté droit montre le jeune diagramme correspondant à la cloison 10 = 5 + 4 + 1. La cloison conjuguée est 10 = 3 + 2 + 2 + 2 + 1.

Jeune tableau

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Un jeune tableau est obtenu en prenant un jeune diagramme et en écrivant les numéros 1, 2,…, le n dans des boîtes du n de ce diagramme, sujet aux contraintes suivantes :
dans chaque rangée, les nombres doivent augmenter de gauche à droite ;
dans chaque colonne, les nombres doivent augmenter de haut en bas. Si chaque nombre apparaît dans exactement une place, le tableau s'appelle un tableau standard de . La figure du côté droit montre un des jeunes tableaux standard pour la cloison 10 = 5 + 4 + 1.

les tableaux Semi-standard de sont une variante de cet objet dans laquelle un nombre peut apparaître dans plus d'un carré (avec multiplicité plus considérablement qu'un de ). Pour les tableaux semi-standard, la première contrainte ci-dessus est affaiblie :
dans chaque rangée, les nombres doivent être non décroissants de gauche à droite. Un tableau semi-standard peut avoir toutes les entrées 1, 2,…, le t , où le t habituellement est explicitement spécifié. Non tous les nombres de l'ensemble 1, 2,…, besoin du t sembler dans de jeunes tableaux semi-standard, et certains peuvent apparaître plus d'une fois. Puisque les nombres doivent augmenter dans les colonnes, nous devons avoir le $t\; \backslash \; GE\; m$ pour que les jeunes tableaux semi-standard existent.

Applications dans la théorie de représentation

Les jeunes diagrammes sont dans la correspondance linéaire avec les représentations irréductibles du groupe symétrique au-dessus des nombres complexes qu'ils fournissent une manière commode de spécifier les jeunes symmetrizers dont les représentations irréductibles sont établies. Beaucoup de faits sur une représentation peuvent être déduits du diagramme correspondant. Au-dessous de, nous décrivons deux exemples : détermination de la dimension d'une représentation et des représentations restreintes. Dans les deux cas, nous verrons que quelques propriétés d'une représentation peuvent être déterminées en employant juste son diagramme.

Dimension d'une représentation

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de crochet de de

La dimension du $de\; représentation\; irréductible\; \backslash \; du\; pi\_\; \backslash \; lambda$ correspondant à un $de\; cloison\; \backslash \; lambda$ est égale au nombre de différents jeunes tableaux qui peuvent être obtenus à partir du diagramme de la représentation. Ce nombre peut être calculé par la formule de crochet-longueur de .

Un $de\; longueur\; de\; crochet\; \backslash \; operatorname\; \{crochet\}\; (x)$ d'une boîte $x$ dans le jeune $de\; diagramme\; \backslash \; lambda$ est le nombre de boîtes qui sont dans la même rangée à la droite de lui plus ces boîtes dans la même colonne au-dessous de lui, plus une (pour la boîte elle-même). Par la formule de crochet-longueur, la dimension d'une représentation irréductible est le n ! divisé par le produit des longueurs de crochet de toutes les boîtes dans le diagramme de la représentation :

$\{\backslash \}\; de\; rm\; faible\; \backslash ,\; \backslash \; pi\_\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; frac\; \{n\; !\}\{\backslash \; prod\_\; \{x\; \backslash \; dans\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; crochet\; de\; rm\}\; (x)\}.$

La figure du côté droit montre des crochet-longueurs pour toutes les boîtes dans le diagramme de la cloison 10 = 5 + 4 + 1. Ainsi $\{\backslash \}\; de\; rmfaible\backslash ,\; \backslash \; pi\_\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; frac\; \{10\; !\}\{1\; \backslash \; cdot1\; \backslash \; cdot\; 1\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 4\; \backslash \; cdot\; 5\; \backslash \; cdot\; 5\; \backslash \; cdot7\}\; =\; 288$.

Représentations restreintes

Une représentation du groupe symétrique sur des éléments du n , le S_n est également une représentation du groupe symétrique sur le &minus du n ; 1 éléments, &minus du n de _{du S ; 1}. Cependant, une représentation irréductible du S_n peut ne pas être irréductible pour le &minus du n de _{du S ; 1}. Au lieu de cela, ce peut être une somme directe de plusieurs représentations qui sont irréductibles pour le &minus du n de _{du S ; 1}. Ces représentations s'appellent alors les représentations limitées par (voir également les représentations induites par . Le problème est de déterminer les représentations restreintes, données un jeune diagramme pour la représentation du S_n .

La réponse est que les représentations restreintes sont exactement celles avec les jeunes diagrammes qui peuvent être obtenus en supprimant une place du jeune diagramme de la représentation du S_n de sorte que le résultat soit toujours un diagramme valide.

Jeunes tableaux pour le SU (N) avec des exemples

Raccordement entre de jeunes nombres de tableaux et de Dynkin

class=" de Donné une représentation R de G=SU (N) avec index de Dynkin (q₁…, q_k. ses jeunes tableaux de q_N-1) se compose N-1 des blocs chacun de rangées de k et de colonnes de q_k. Par conséquent au SU (3) l'adjoint a les nombres de Dynkin (1.1) et son tableeaux est fait en un bloc d'une colonne et d'une rangée (depuis q₁=1) et un bloc de deux rangées et d'une colonne (depuis q₂=1). Sur la même pose vous pouvez trouver le résultat pour (2.1), cela s'appellent habituellement les 6 et les représentations 3* du SU (3).

Structure de symétrie d'un tenseur de n-index (représentation) du SU (N)

Un tableau est une manière de coder la structure de symétrie d'une représentation. Nous affectant à un index dans chaque boîte pouvons lier un tableau de n-boîte à un tenseur de n-index. Ce tenseur sera antisymmétrique sous l'échange des index appartenant à la même colonne du tableau et symétriques sous l'échange de deux index appartenant à la même rangée du tableau.

Règle de multiplication des tableaux

class=" de La multiplication des tableaux A et B, AxB, se produisent sur la même pose de ce qui montré avant. Vous marquez chaque boîte dans la première rangée une des tableaux avec une lettre, laquelle le représentant d'un index du tenseur le tableau représente. Dire que vous marquez la première rangée du tableau B avec la lettre A. Vous marquez la deuxième rangée avec le " de lettre ; b" ; et ainsi de suite. Une fois que vous avez marqué toute la rangée le tableau B, vous commencez le bâtiment sur le tableau A. Vous établissez d'abord le placement comme de la première rangée puis les b puis les c. La seule règle que vous devez suivre est que les tableaux en résultant, à chaque étape, doivent avoir un certain nombre de boîtes dans chaque rangée qui est plus grande ou égale car vous allez de la dernière rangée à la première. L'autre règle est celle dans chaque rangée que le nombre de doit être plus grand du nombre de B.

Conservation du n-ality

Pour le SU (N) une colonne des boîtes de N représentent une antisymétrisation des index de N, donc elle correspond au tenseur de ε. Ce tenseur est un invriant, donc ne change pas la structure du tenseur que le tableau représentent. Ainsi vous pouvez supprimer toutes les colonnes avec les boîtes de N qui apparaissent dans le tableau. Pour cette raison dans le produit des tableaux A et B, avec A a fait des boîtes d'I et de B faits de boîtes de k, mod de

i+k (N)

est le même dans chaque limite du produit. C'est le consevation du N-ality (c. triality pour le SU (3) et tellement et ainsi de suite).

Dimension de la représentation

class=" de Le calcul de la dimension de la représentation que le tableau représente est fait en remplissant boîtes de nombres. Pour le SU (N) vous placez N dans la boîte upper-left. Alors vous remplissez la première rangée de N+1, N+2… et la première colonne avec N-1, N2,… ceci aura comme conséquence quelque chose comme l'image. Alors vous calculez le facteur H de crochet et le facteur F. Un crochet est un chemin dans le tableau qui est directement et tourne alors à droite. Une croix de crochet chaque boîte fois nulle ou une. Chaque crochet a un crochet-facteur qui s'élève au nombre de boîtes il croix. H est le produit de tous les facteurs possibles de crochet. F est juste la multiplication de tous les nombres que vous aviez l'habitude de remplir tableaux. La dimension de la représentation est

dim=F/H

Conjugaison complexe de tableaux

class=" de Pour le SU (N) la représentation R et R* ont de jeunes tableaux qui peuvent être assemblés dans un rectangle de la taille N par moyen d'une rotation rigide d'un des deux tableaux. Un certain exemple pour le SU (5) est fourni dans l'image. Noter par exemple que le 24, qui est l'adjoint et donc vrai, a le même tableau du 24*.

Règles de embranchement avec de jeunes tableaux

De jeunes tableaux peuvent également être employés pour trouver comment une représentation R du SU (N) transforment comme représentation du sous-groupe H. Voir le Georgi pour des détails.

Exaples intensivement augmenté

De jeunes tableaux peuvent être employés pour calculer le multiplications
=u^k du 3* de x du 3 de v_i = de 8 + with
de de 1 =v_iu^k-1/3 δ_k^mv_mu^k
de 8 =1/3 u_kv^k
de 1 du X 3 de 6 = de 10 +
de de 8 Rules
de embranchement de 3 - > de 2 +
de de 1 de 8 - > de 3 + de 2 + de 2 +
de de 1

Voir également

Algorithme de Robinson-Schensted de
Cloison de (théorie des nombres)

.

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