Isomorphisme

Dans les mathématiques , un isomorphisme ( grec de : ison "equal" ; , et " du morphe de ; shape" ;) est un bijectif f de carte du tels que le f et son ^{inverse du f du ; &minus ; 1} sont les tracés de structure-préservation du de Homomorphisms c.

Officieusement, un isomorphisme est un genre de traçant entre les objets, qui montre un rapport entre deux propriétés ou opérations. Si là existe un isomorphisme entre deux structures, nous appelons le de deux structures isomorphe. Dans un certain sens, les structures isomorphes sont le structurellement identique, si vous choisissez d'ignorer les différences fin-granuleuses qui peuvent résulter de la façon dont elles sont définies.

Selon le Douglas Hofstadter : " de ; que le mot « isomorphisme » applique quand deux structures complexes peuvent être tracées sur l'un l'autre, de telle manière qu'à chaque partie d'une structure il y ait une partie correspondante dans l'autre structure, où la « correspondance » signifie que les deux pièces jouent les rôles semblables en leurs structures respectives. " de ; ( Gödel, Escher, Bach , P. 49)

But

Isomorphisms sont étudiés dans les mathématiques afin de prolonger des perspicacités d'un phénomène à d'autres : si deux objets sont isomorphes, alors n'importe quelle propriété qui est préservée par un isomorphisme et qui est vraie d'un des objets est également vraie de l'autre. Si un isomorphisme peut être trouvé d'une partie de mathématiques relativement inconnue dans certains division bien étudiée des mathématiques, où beaucoup de théorèmes sont déjà prouvés, et beaucoup de méthodes sont déjà disponibles pour trouver des réponses, alors la fonction peut être employée pour tracer des problèmes entiers hors du territoire peu familier plus d'au " ; ground" plein ; avec là où il est plus facile comprendre et travailler le problème.

Analogies physiques

Voici quelques exemples journaliers des structures isomorphes :
Plate-forme standard du

A de 52 cartes de jeu avec les quatre coeurs de costumes, diamants, cosses, et clubs et une plate-forme standard de 52 cartes de jeu avec quatre costumes des triangles, des cercles, des places, et des pentagones ; bien que les costumes de chaque plate-forme diffèrent, les plate-formes sont structurellement &mdash isomorphe ; si nous souhaitons jouer aux cartes, il n'importe pas que la plate-forme nous choisissent d'employer.
La tour d'horloge à Londres (qui contient le grand Ben ) et une montre-bracelet ; bien que les horloges varient considérablement dans la taille, leurs mécanismes de compter le temps sont isomorphes.
Un hexagone meurt et un sac dont un numéro 1 à 6 est choisi ; bien que la méthode d'obtenir un nombre soit différente, leurs capacités se produisantes à nombre aléatoire sont isomorphes. C'est un exemple de l'isomorphisme fonctionnel, sans présomption de l'isomorphisme géométrique.
Il y a un jeu qui est isomorphe au Tic-tac-orteil , mais sur la surface semble complètement différent. Les joueurs le prennent à leur tour pour dire un nombre entre un et neuf. Des nombres ne peuvent être répétés. Les deux joueurs visent à dire trois nombres qui ajoutent à 15. La traçage de ces nombres sur une place magique du 3×3 indiquera la correspondance exacte avec le jeu du tic-tac-orteil, étant donné que trois nombres seront arrangés dans une ligne droite si et seulement s'ils ajoutent vers le haut à 15.

Example< pratique ! -- Cette section est liée de la liste de des petits groupes -->

Ce qui suit sont des exemples des isomorphisms de l'algèbre ordinaire .

Considérer la fonction du logarithme : Pour n'importe quel bas fixe b , le b de log_{de fonction du logarithme trace du $des vrais nombres \ du mathbb positifs {R} ^+$ sur le $de vrais nombres \ mathbb {R}$ ; formellement : $\ log_b de : \ mathbb {R} ^+ \ \ mathbb {} de R \ !$ Ce qui trace est le linéaire et sur , c., c'est un Bijection du domaine au Codomain de la fonction logarithmique.
En plus d'être un isomorphisme des ensembles, la fonction logarithmique préserve également certaines opérations. Spécifiquement, considérer le $(\ mathbb {R} ^+, \ périodes)$ de vrais nombres positifs sous la multiplication ordinaire. La fonction logarithmique obéit l'identité suivante : $de \ log_b (= de x \ périodes y) \ log_b (x) + \ log_b (y) \ !$
Mais les vrais nombres sous l'addition constituent également un groupe. Ainsi la fonction logarithmique est en fait un isomorphisme de groupe du $de groupe (\ mathbb {R} ^+, \ périodes)$ au $de groupe (\ mathbb {R}, +)$ .
Des logarithmes peuvent donc être employés pour simplifier la multiplication de vrais nombres. Par le travail avec des logarithmes, la multiplication de vrais nombres positifs est remplacée par l'addition des notations. De cette façon il est possible de multiplier de vrais nombres using une règle et un Tableau de des logarithmes , ou utilisation d'une règle à calcul avec une balance logarithmique.}

considèrent le Z ₆, les nombres de groupe de 0 à 5 avec le modulo 6. Considérer également les × du Z ₂ de groupe ; Le Z ₃, les paires commandées où les coordonnées du X peuvent être 0 ou 1, et les y peut être 0, 1, ou 2, où l'addition dans le X - coordonnée est le modulo 2 et l'addition dans le y - coordonnée est le modulo 3.
Ces structures sont isomorphes sous l'addition, si vous les identifiez using l'arrangement suivant :
de
(0.1) - > 1
2 du
(0.0) - > 3
du
(0.2) - > 5
ou en général ( un , b ) - > ( 3 + 4 b ) mod 6.
Par exemple noter cela (1.1) qui traduisent dans l'autre système en tant que 1 + 3 = 4.
Quoique ces deux groupes de " ; look" ; différent parce que les ensembles contiennent différents éléments, ils sont en effet le isomorphe : leurs structures sont exactement identiques. Plus généralement, le produit direct deux du cyclique n de _{du Z des groupes et du m} de _{du Z est cyclique si et seulement si le n et le m sont le copremier.}

Exemples abstraits

Un isomorphisme de relation-préservation

Si un objet se compose d'un d'ensemble X avec une relation binaire R de et l'autre objet se compose d'un d'ensemble Y avec une relation binaire S alors qu'un isomorphisme du X au Y est un du f de fonction bijective ; : ; du X ; → ; Y tels que f (u) f (v) de de S de si et seulement si v de u R de .

S est le réfléchi, le irreflexive, le symétrique, le antisymmétrique, le asymétrique, le transitif, le total, un ordre partiel , l'ordre total , l'ordre faible strict , (ordre faible), une relation d'équivalence , ou une relation avec toutes les autres propriétés spéciales, si et seulement si R est.

Par exemple, R est un commandant le ≤ de et le S un $de commande \ sqsubseteq$ , puis un isomorphisme du X au Y est un du f de fonction bijective ; : ; du X ; → ; Y tels que $f de (u) \ sqsubseteq f (v)$ si et seulement si v de ≤ de u . Un tel isomorphisme s'appelle un isomorphisme d'ordre de ou (moins généralement) un isomorphisme isotone de .

Si le X = Y nous ont un automorphisme de relation-préservation .

Un isomorphisme de opération-préservation

Supposer cela sur le X de ces ensembles et le Y , là être deux le $des opérations binaires \ star$ et le $\ Diamond$ qui s'avèrent justement constituer les groupes ( X , $\ star$ ) de et ( Y , $\ Diamond$ ). Noter que les opérateurs opèrent des éléments à partir du domaine et de la gamme , respectivement, du " ; un-à-one" ; et " ; onto" ; f de fonction. Il y a un isomorphisme du X au Y si le bijectif f de fonction du : du X ; → ; Le Y s'avère justement produire des résultats, cela a installé une correspondance entre le $d'opérateur \ star$ et le $d'opérateur \ Diamond$ . $f (v) = f (u \ étoile v)$ pour tout le u , v dans le X .

Applications

Dans l'algèbre d'abrégé sur , deux isomorphisms de base sont définis :
L'isomorphisme de groupe de , un isomorphisme entre le groupe
L'isomorphisme d'anneau de , un isomorphisme entre le sonne . (Note que les isomorphisms entre les champs sont réellement des isomorphisms d'anneau)

Dans l'analyse mathématique , le Legendre transforment les équations dur de cartes de en équations algébriques du plus facile .

Dans l'algèbre universelle , où un C de la catégorie est donné par une classe des objets de et une classe de Morphisms , la définition générale de l'isomorphisme qui couvre le précédent et beaucoup d'autres cas est : un isomorphisme est un f de morphism : le un b de → de qui a un inverse, c. existe là un g de morphism : de → du b un avec le fg de = 1_b et gf de = 1_un. Par exemple, une carte linéaire bijectif est un isomorphisme entre les espaces de vecteur et une fonction continue bijectif dont l'inverse est également continu est un isomorphisme entre les espaces topologiques appelés une homéomorphie .

Dans la théorie de graphique , un isomorphisme entre le G de deux graphiques et le H est un bijectif de carte du f des sommets du G aux sommets du H qui préserve le " ; structure" de bord ; dans le sens qu'il y a un bord du u du sommet au de sommet v dans le du G si et seulement si il y a un bord du f ( u ) au f ( v ) dans le H . Voir le représenter graphiquement l'isomorphisme .

Dans des théories tôt de l'atomism logique , le rapport formel entre les faits et les propositions vraies a été théorisé par le Bertrand Russell et le Ludwig Wittgenstein pour être isomorphe.

En cybernétique le bon théorème du régulateur ou du Conant-Ashby de est " indiqué ; Chaque bon régulateur d'un système doit être un modèle de ce system" ;. Si réglé ou autorégulateur un isomorphisme est exigé entre la pièce de régulateur et la partie de traitement du système.

Voir également

automorphisme
Homéomorphie
Epimorphism
Classe d'isomorphisme de
Monomorphisme
Morphism
Isometry

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