Interpolation

Dans le sous-champ mathématique du de l'analyse numérique , l'interpolation est une méthode de construire de nouveaux points de repères d'un ensemble discret de points de repères connus.

Dans le la technologie et la Science un de a souvent un certain nombre de points de repères, comme obtenu par le prélèvement ou l'expérience , et essais pour construire une fonction qui adapte étroitement ces points de repères. Ceci s'appelle l'ajustement de courbe ou l'analyse de régression . L'interpolation est un cas spécifique de l'ajustement de courbe, dans lequel la fonction doit passer exactement par les points de repères.

Un problème différent qui est étroitement lié à l'interpolation est l'approximation d'une fonction compliquée par une fonction simple. Supposer que nous savons la fonction mais elle est trop complexe pour évaluer efficacement. Alors nous pourrions sélectionner quelques points de repères connus de la fonction compliquée, créant une table de consultation , et essayons d'interpoler ces points de repères pour construire une fonction plus simple. Naturellement, en employant la fonction simple pour calculer de nouveaux points de repères nous habituellement ne recevons pas le même résultat que quand l'utilisation de la fonction originale, mais selon le domaine de problème et la méthode d'interpolation a employé le gain dans la simplicité pourrait compenser l'erreur.

Il devrait mentionner qu'il y a un autre genre très différent d'interpolation dans les mathématiques, à savoir le " ; Interpolation de de " des opérateurs ;. Les résultats classiques au sujet de l'interpolation des opérateurs sont le théorème de Riesz-Thorin de et le théorème de Marcinkiewicz de . Il y a également beaucoup d'autres résultats suivants.

Définition

De la signification inter du entre et le poteau de , les points ou noeuds. Tous les moyens de calculer un nouveau point entre deux points de repères existants est donc interpolation.

Il y a beaucoup de méthodes pour faire ceci, beaucoup dont impliquer d'adapter une certaine sorte de fonction aux données et d'évaluer cette fonction au point désiré. Ceci n'exclut pas des autres moyens tels que des méthodes statistiques de calculer des données interpolées.

La forme la plus simple d'interpolation est de prendre la moyenne moyenne de $x$ et de $y$ de deux points adjacents pour trouver le mi point. Ceci donnera le même résultat que l'interpolation linéaire évaluée au point médian.

Donné un ordre du distinct k de _{du X de nombres du du n appelé les noeuds et pour chaque k} de _{du X un deuxième k} de _{du y de nombre, nous recherchons un f de fonction de sorte que $f\; de$}

(x_k) = y_k \ mbox {,} k=1, \ ldots, n

Un k , le k de _{du X de paires de du y s'appelle un point de repères de et le f s'appelle un interpolant pour les points de repères.}

Quand le k de _{du y de nombres sont donnés par un connu f de fonction, nous écrivons parfois le k} de _{du f .}

Exemple

Par exemple, supposer que nous avons une table comme ceci, qui donne quelques valeurs d'un f de fonction inconnue.

Interpolation par morceaux constante

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l'interpolation voisin le plus proche La méthode la plus simple d'interpolation est de localiser la valeur de données la plus proche, et assigne la même valeur. Dans une dimension, il y a rarement de bonnes raisons de choisir celui-ci au-dessus de l'interpolation linéaire, qui est presque en tant que bon marché, mais dans des dimensions plus élevées, dans l'interpolation multivariable , ceci peut être un choix favorable pour sa vitesse et simplicité. clear=" de

Interpolation linéaire

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linéaire de l'interpolation Une des méthodes les plus simples est interpolation linéaire du (parfois connue sous le nom de lerp). Considérer l'exemple ci-dessus de déterminer le f (2.5 est intermédiaire entre 2 et 3, il est raisonnable de prendre l'allée centrale du f (2.5) entre le f (2) = 0.1411, qui les rendements 0.

Généralement, l'interpolation linéaire prend deux points de repères, disent ( de _{de X un} , de _{de y un} ) et ( b de _{de b} , de y de _{de X ), et l'interpolant est donné par : $de\; +\; de\; y\; =\; de\; y\_a\; \backslash \; frac\; \{(x-x\_a)\; (y\_b-y\_a)\}\{(x\_b-x\_a)\}$ au point ( X , y ).}

L'interpolation linéaire est rapide et facile, mais elle n'est pas très précise. Un autre inconvénient est que l'interpolant n'est pas le différentiable au k de _{du X de point.}

L'évaluation d'erreur suivante prouve que l'interpolation linéaire n'est pas très précise. Dénoter la fonction que nous voulons interpoler par le g , et supposer que le X se trouve entre le de _{du X un} et le b de _{du X et que le g est deux fois sans interruption différentiable. Alors l'erreur linéaire d'interpolation est $de\; |f\; (x)\; -\; g\; (x)|\; \backslash \; le\; C\; (x\_b-x\_a)\; =\; de\; ^2\; \backslash quadruple\backslash \; mbox\; \{où\}\; \backslash \; quadruple\; C\; \backslash \; frac18\; \backslash \; max\_\; \{y\; \backslash \; dedans\}\; |\; de\; g\; (y)|.$ Dans les mots, l'erreur est proportionnelle à la place de la distance entre les points de repères. L'erreur de quelques autres méthodes, y compris l'interpolation polynôme et l'interpolation de cannelure (décrites ci-dessous), est proportionnelle à des puissances plus élevées de la distance entre les points de repères. Ces méthodes produisent également des interpolants plus doux. clear=" de}

Interpolation polynôme

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polynôme de l'interpolation L'interpolation polynôme est une généralisation d'interpolation linéaire. Noter que l'interpolant linéaire est une fonction linéaire . Nous remplaçons maintenant ceci interpolant par un polynôme d'un degré plus élevé .

Considérer encore le problème donné ci-dessus. Le sixième polynôme suivant de degré passe par tous les sept points : $f\; de\; (x)\; =\; -0.$ < ! -- Les coefficients sont 0, 0. --> Substituant le X = 2.5, nous trouvons ce f (2.

Généralement, si nous avons des points de repères du n , il y a exactement un polynôme de &minus du n de degré tout au plus ; 1 passant par tous les points de repères. L'erreur d'interpolation est proportionnelle à la distance entre les points de repères au n de puissance. En outre, l'interpolant est un polynôme et ainsi infiniment différentiable. Ainsi, nous voyons que l'interpolation polynôme résout tous les problèmes d'interpolation linéaire.

Cependant, l'interpolation polynôme a également quelques inconvénients. Le calcul du polynôme de interpolation est relativement très informatique cher (voir la complexité informatique ). En outre, l'interpolation polynôme ne peut pas être si exact après tous, particulièrement à l'extrémité se dirige (voir le phénomène de Runge de ). Ces inconvénients peuvent être évités en employant l'interpolation de cannelure. clear=" de

Interpolation de cannelure

voient également :

l'interpolation de cannelure de

Se rappeler que l'interpolation linéaire emploie une fonction linéaire pour chacun d'intervalles. Canneler les polynômes de bas-degré d'utilisations d'interpolation dans chacun des intervalles, et choisit les morceaux de polynôme tels qu'ils s'adaptent sans à-coup ensemble. La fonction en résultant s'appelle une cannelure .

Par exemple, la cannelure cubique normale est le par morceaux cubique et deux fois sans interruption différentiable. En outre, son deuxième dérivé est zéro aux points d'extrémité. La cannelure cubique normale interpolant les points dans la table ci-dessus est donnée par le $f\; de\; (x)\; =\; \backslash \; à\; gauche\; \backslash \; \{\backslash \; commencer\; \{matrice\}\; -0.9937\; x,\; et\; \backslash mbox\{si\}\; x\; \backslash \; dedans,\; \backslash \; \backslash \; -0.1396,\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; dedans,\; \backslash \; \backslash \; 0.3623,\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; dedans,\; \backslash \; \backslash \; 0.8381,\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; dedans,\; \backslash \; \backslash \; 0.8259,\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; dedans,\; \backslash \; \backslash \; -0.9282,\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; x\; \backslash \; dedans.\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droit.$

Dans ce cas-ci nous obtenons le f (2.

Comme l'interpolation polynôme, l'interpolation de cannelure encourt une plus petite erreur que l'interpolation linéaire et l'interpolant est plus lisse. Cependant, il est plus facile évaluer l'interpolant que les polynômes de haut-degré utilisés dans l'interpolation polynôme. Il également ne souffre pas du phénomène de Runge de . clear=" de

D'autres formes d'interpolation

D'autres formes d'interpolation peuvent être construites en sélectionnant une classe différente des interpolants. Par exemple, l'interpolation raisonnable est l'interpolation par les fonctions raisonnables et l'interpolation trigonométrique est interpolation par les polynômes trigonométriques le la transformée de Fourier que discrète est un cas spécial d'interpolation trigonométrique. Une autre possibilité est d'employer les ondelettes

La formule d'interpolation de Whittaker-Shannon peut être employée si le nombre de points de repères est infini.

L'interpolation multivariable est l'interpolation des fonctions de plus que celles variables. Les méthodes incluent l'interpolation bilinéaire et l'interpolation de Bicubic de dans deux dimensions, et l'interpolation trilinéaire dans trois dimensions.

Parfois, nous savons non seulement la valeur de la fonction que nous voulons interpoler, à quelques points, mais également de son dérivé. Ceci mène aux problèmes de l'interpolation de Hermite de .

Concepts relatifs

L'extrapolation de de limite est employée si nous voulons trouver des points de repères en dehors de la gamme des points de repères connus.

Dans des problèmes de l'ajustement de courbe , la contrainte que l'interpolant doit passer exactement par les points de repères est relaxed. On l'exige seulement pour approcher les points de repères aussi étroitement comme possible. Ceci exige paramétriser les interpolants potentiels et avoir une certaine manière de mesurer l'erreur. Dans le cas le plus simple ceci mène à l'approximation des moindres carrés du .

La théorie d'approximation de étudie comment trouver la meilleure approximation à une fonction donnée par une autre fonction d'une certaine classe prédéterminée, et combien bon cette approximation est. Ceci rapporte clairement une limite sur à quel point le bidon interpolant rapprochent la fonction inconnue.

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