Intégrale exponentielle

Dans les mathématiques , l'intégrale exponentielle E-I ( X ) est définie As

$\ mbox {E-I} (x)=- \ int_ {-} ^ x {\ infty} \ frac {e^ {-} de t}} {t \, ^x de dt= \ int_ {- \ infty} \ frac {e^t} t \, décollement \.$ Puisque 1 t divergent au t = 0, les intégrales ci-dessus doit être comprises en termes de valeur principale de Cauchy de .

L'intégrale exponentielle a la représentation de série : = de $\ mbox de {E-I} (x) \ gamma+ \ ln x+ \ sum_ {k=1} ^ {\} infty \ frac {x^k} {k \ ; k !} \,$

là où &gamma ; est le gamma constant d'Euler de .

L'intégrale exponentielle est étroitement liée au Li logarithmique de la fonction intégrale ( X ), Li de

( X ) = E-I (ln ( X )) ; ; pour tout le vrai &ne positif du X ; 1.

Étroitement liée également est une fonction qui intègre sur une gamme différente :

$= \ int_x^ \ infty \ frac {e^ {- t}} {t} dt.$

Cette fonction peut être considérée comme prolonger l'intégrale exponentielle au reals négatifs près $de {\ rm} (- x) = - {\ rm E} _1 E-I (x). \,$

Nous pouvons exprimer les deux en termes de fonction entière ,

${\ rm Ein} (x) = \ int_0^x ({- t}) 1-e^ \ frac {décollement} {t}$

\ ^ du sum_ {k1} \ infty \ frac {(- x^k de ^ de 1) {k+1}} {k \ ; k !}.

Using cette fonction, nous alors pouvons définir, using le logarithme, $\ ln X + {\ rm Ein} (x)$

et $de {\ rm E-I} (x) \, = \, \ gamma+ \ ln X - {\ rm Ein} (- x).$ L'intégrale exponentielle peut être écrite comme cas spécial de la fonction gamma inachevée :

${\ rm E} _n (x) =x^ {n-1} \ gamma (1-n, x). \,$

L'intégrale exponentielle peut également être généralisée à

$E_n (x) = \ int_1^ \ infty \ frac {e^ {- xt}} {} de t^n \, dt$

ce qui s'appelle parfois $de fonction de Misra \ varphi_m (x)$ , défini As $de \ varphi_m (x)=E_ {- m} (x) \.$

Applications

Transfert de chaleur dépendant du temps
Les eaux souterraines de non-équilibre entrent dans la solution de Theis de (appelée une fonction de puits de )
Transfert radiatif en atmosphères stellaires

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