Intégrale directe

Dans les mathématiques et l'analyse fonctionnelle une intégrale directe de est une généralisation du concept de la somme directe . La théorie est plus développée pour des intégrales directes des espaces de Hilbert et des intégrales directes des algèbres de Von Neumann de le concept ont été présentées dans le 1949 par le John Von Neumann dans un les papiers dans le de série sur des anneaux des opérateurs . Un de buts de von Neumann's en ce document était de ramener la classification (ce qui s'appellent maintenant) des algèbres de von Neumann sur des espaces de Hilbert séparables à la classification de soi-disant facteurs. Les facteurs sont analogues à de pleines algèbres de matrice au-dessus d'un champ, et von Neumann a voulu prouver un analogue continu du théorème d'Artin-Wedderburn de classifiant les anneaux semi-simples.

Des résultats sur des intégrales directes peuvent être regardés comme généralisations des résultats au sujet du dimensionnel fini C*-algebras des matrices ; dans ce cas-ci il est facile s'avérer les résultats directement. Le cas infini-dimensionnel est compliqué par des technicités mesure-théorétiques.

La théorie intégrale directe a été également employée par le George Mackey dans son analyse des systèmes de de l'imprimitivity et sa théorie générale de a induit les représentations des groupes séparables localement compacts.

Intégrales directes des espaces de Hilbert

L'exemple le plus simple d'une intégrale directe sont le L les espaces de ² associés au μ de mesure d'a comptable additif (σ-fini) sur un X de l'espace mesurable . Légèrement plus généralement nous pouvons considérer un séparable H de l'espace de Hilbert et l'espace du place-intégrable H - fonctions évaluées $de$

L^2_ \ MU (X, H).

Note terminologique : Nous suivons la terminologie adoptée par la littérature sur le sujet, selon lequel un X de l'espace mesurable désigné sous le nom d'un espace de Borel de et des éléments de la σ-algèbre distinguée du X pendant que des ensembles de Borel, indépendamment de si la σ-algèbre fondamentale vient d'un espace topologique (dans la plupart des exemples elle fait). Un espace de Borel est standard du si et seulement si il est isomorphe à l'espace fondamental de Borel d'un espace de polonais de . Donné un μ comptable additif de mesure sur le X , un ensemble mesurable est un qui diffère d'un Borel réglé par un ensemble nul. Le μ de mesure sur le X est une mesure standard du si et seulement s'il y a un E d'ensemble nul tels que son &minus du X de complément ; Le E est un espace standard de Borel de . Toutes les mesures considérées ici sont σ-finies. Laisser le X être un espace de Borel équipé d'un μ comptable additif de mesure. Une famille mesurable de des espaces de Hilbert ( X , μ) est allumée un X de ∈ du X de _{de famille { X} de _{de H } qui est localement équivalent à une famille insignifiante dans le sens suivant : Il y a une cloison comptable $de$}

\ {X_n \} _ {1 \ leq n \ leq \ Omega}

par les sous-ensembles mesurables de X tels que $H\_x\; de$

= \ _n du mathbf {H} \ quadruple X \ dans X_n

là où le n de _{du H est le canonique n - l'espace de Hilbert dimensionnel, celui est le $de$}

\ _n du mathbf {H} = \ sont partis \ {\ commencer {matrice} \ ^n du mathbb {C} et \ < de mbox {si} n \ Omega \ \ \ ell^2 et \ = de mbox {si} n \ Omega \ extrémité {matrice} \ droit.

Un en coupe { X de _{de H } du X} de ∈ du X de _{est un X} de ∈ du X de _{de famille { X} de _{de s } tels que le X} de _{du H de ∈ du X} de _{du s pour tout le X de ∈ du X . Une section transversale est mesurable si et seulement si sa restriction à chaque n} de _{du X d'élément de cloison est mesurable. Nous identifierons le mesurable s , le t de sections transversales qui sont le égal presque partout . Donné une famille mesurable des espaces de Hilbert $\backslash \; int^\; \backslash \; oplus\_X\; H\_x\; \backslash \; d\; \backslash \; MU\; de$}

(x)

se compose des classes d'équivalence (en ce qui concerne presque partout l'égalité) des sections transversales intégrables carrées mesurables { X de _{de H } du X} de ∈ du X de _{. C'est un espace de Hilbert sous le produit intérieur $de$}

\ langle s \ mi = de t \ rangle \ int_X \ langle s (x) \ mi t (x) \ rangle d \ MU (x)

Etant donné la nature locale de notre définition, beaucoup de définitions applicables aux espaces de Hilbert simples s'appliquent aux familles mesurables des espaces de Hilbert aussi bien. Cette définition est apparemment plus restrictive que celle donnée par von Neumann et discutée en traité classique de Dixmier sur des algèbres de von Neumann. Dans cette définition on permet au le X de _{du H des fibres l'espace de Hilbert} de varier de point par point sans avoir une condition locale de trivialité (locale dans un sens mesure-théorétique). Un des théorèmes principaux de la théorie de Neumann de von est de prouver qu'en fait la définition plus générale peut être réduite à la plus simple donnée ici.

Noter que l'intégrale directe d'une famille mesurable des espaces de Hilbert dépend seulement de la classe de mesure du μ de mesure ; plus avec précision :

Théorème . Supposer le μ, ν sont des mesures comptable additives σ-finies sur le X qui ont les mêmes ensembles de la mesure 0. Puis la cartographie $s\; de$

\ ^ de mapsto \ orge à quatre rangs (\ frac {d \ MU} {d \} du NU \ orge à quatre rangs) {1/2} s

est un opérateur unitaire $\backslash \; int^\; \backslash \; oplus\_X\; H\_x\; \backslash \; d\; \backslash \; NU\; de$

(x) \ rightarrow \ int^ \ oplus_X H_x \ d \ MU (x).

Exemple

Techniquement les exemples les plus simples sont quand le X est un ensemble comptable et le μ est une mesure discrète. Dans tout l'article, nous considérerons l'exemple courant suivant dans lequel le X = N et μ est mesure de compte sur le N . Dans ce cas-ci n'importe quel ordre { k de _{de H } des espaces de Hilbert séparables peut être considéré en tant que famille mesurable. D'ailleurs $\backslash \; int^\; \backslash \; oplus\_X\; H\_x\; \backslash \; d\; \backslash \; MU\; (x)\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\_\; \{k\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; H\_k$ de}

Opérateurs décomposables

Dans notre exemple courant, tout T linéaire lié d'opérateur dessus = de $de$

H \ bigoplus_ {k \ dans \ mathbb {N}} H_k

est donné par une matrice infinie le $de$

\ commencent {bmatrix} T_ {1 1} et T_ {1 2} et \ cdots et T_ {1 n} et \ \ de cdots \ T_ {2 1} et T_ {2 2} et \ cdots et T_ {2 n} et \ \ de cdots \ \ vdots et \ vdots et \ ddots et \ vdots et \ \ de cdots \ T_ {n 1} et T_ {N2} et \ cdots et T_ {n n} et \ \ de cdots \ \ vdots et \ vdots et \ cdots et \ vdots et \ ddots \ extrémité {bmatrix}.

Considérons ces opérateurs qui sont bloc de diagonal, celui est toutes les entrées outre de la diagonale sont zéro. Nous appelons ces derniers des opérateurs décomposable. Ces opérateurs peuvent être caractérisés en tant que ceux qui permutent avec les matrices diagonales :

$\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; lambda\_\; \{1\}\; et\; 0\; et\; \backslash \; cdots\; et\; 0\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; cdots\; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; lambda\_\; \{2\}\; et\; \backslash \; cdots\; et\; 0\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; cdots\; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; cdots\; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; \backslash \; et\; de\; cdots\; \backslash \; lambda\_\; \{n\}\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; cdots\; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; cdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

Nous procédons maintenant à la définition générale : Une famille du X de ∈ du X de _{d'opérateurs liés { X} de _{de T } avec le ∈ L ( X} du X de _{du T de de H ) serait le fortement mesurable si et seulement si sa restriction à chaque n de du X est fortement mesurable. Ceci semble raisonnable parce que le X de du H est constant sur le n de du X .}

Les familles mesurables des opérateurs avec une norme essentiellement liée, celle est $de$

\ _ d'operatorname {ess-sup} {x \ dans} de X \|T_x \| < \ infty

définir les opérateurs linéaires liés

$\backslash \; int^\; \backslash \; oplus\_X\; \backslash \; T\_x\; d\; \backslash \; MU\; (x)\; \backslash \; dans\; \backslash \; operatorname\; \{L\}\; \backslash \; orge\; à\; quatre\; rangs\; (\backslash \; int^\; \backslash \; oplus\_X\; H\_x\; \backslash \; d\; \backslash \; MU\; (x)\; \backslash \; orge\; à\; quatre\; rangs)$

agissant d'une mode de pointwise, c'est $\backslash \; orge\; à\; quatre\; rangs\; \backslash \; T\_x\; de$

d \ MU (x) \ orge à quatre rangs \ orge à quatre rangs (\ int^ \ oplus_X \ s_x d \ = de la MU (x) \ orge à quatre rangs) \ int^ \ oplus_X \ T_x (s_x) d \ MU (x).

De tels opérateurs serait le décomposable.

Les exemples des opérateurs décomposables sont ceux définis par (c. C - évalué) le λ scalaire-évalué de fonctions mesurables sur le X . En fait,

Théorème . La cartographie $\backslash \; phi\; de$

: L^ \ infty_ \ MU (X) \ rightarrow \ operatorname {L} \ orge à quatre rangs (\ int^ \ oplus_X H_x \ d \ MU (x) \ orge à quatre rangs)

donné près $de$

\ \ de lambda \ mapsto \ int^ \ oplus_X \ lambda_x d \ MU (x)

est un isomorphisme algébrique involutif sur son image.

Pour cette raison nous identifierons le L ^∞_μ ( X ) avec l'image du φ.

Les opérateurs décomposables du théorème sont avec précision ceux qui sont dans l'opérateur commutant du abélien L ^∞_μ ( X ) d'algèbre.

Décomposition des algèbres d'Abelian von Neumann

Le théorème spectral a beaucoup de variantes. Une version particulièrement puissante est comme suit :

Théorème . Pour tout d'algèbre d'Abelian von Neumann A sur un séparable H de l'espace de Hilbert, il y a un standard X de l'espace de Borel et un μ de mesure sur le X tels que c'est séparément équivalent comme algèbre d'opérateur au L ^∞_μ ( X ) agissant sur une intégrale directe des espaces de Hilbert $\backslash \; int\_X^\; \backslash \; oplus\; de$

H_x d \ MU (x). \ quad

Pour affirmer le A est séparément équivalent au L ^∞_μ ( X ) car une algèbre d'opérateur signifie qu'il y a un unitaire $U\; de$

: H \ rightarrow \ int_X^ \ oplus H_x d \ MU (x)

tels que le U du A du U * est l'algèbre du diagonal L ^∞_μ ( X ) d'opérateurs. Noter que ceci affirme plus que juste l'équivalence algébrique du A avec l'algèbre des opérateurs diagonaux.

Cette version cependant n'énonce pas explicitement comment le standard fondamental X de l'espace de Borel est obtenu. Il y a un résultat d'unicité pour la décomposition ci-dessus. Si le A d'algèbre d'Abelian von Neumann est séparément équivalent au L ^∞_μ ( X ) et au L ^∞_ν ( Y ) agissant sur les espaces intégraux directs $\backslash \; int\_X^\; \backslash \; oplus\; H\_x\; d\; \backslash \; MU\; de$

(x), \ quadruple \ int_Y^ \ oplus K_y d \ NU (y)

et le μ, ν sont des mesures standard, puis il y a un isomorphisme de Borel $\backslash \; phi\; de$

: X - E \ rightarrow Y - F

là où le E , le F sont les ensembles nuls tels que $K\_\; de$

{\ phi (x)} = H_x \ quadruple \ mbox {presque partout}

le φ est un isomorphisme de classe de mesure, c'est φ et ses ensembles inverses de conserve de la mesure 0.

Ce les deux théorèmes précédents fournissent la classification complète des algèbres d'Abelian von Neumann sur des espaces de Hilbert séparables. Noter que cette classification tient compte réellement de la réalisation de l'algèbre de Neumann de von comme algèbre des opérateurs. Si nous considérons seulement l'algèbre fondamentale de von Neumann indépendamment de sa réalisation comme algèbre de Neumann de von, alors sa structure est déterminée par les invariants mesure-théorétiques très simples.

Intégrales directes des algèbres de von Neumann

{ X de _{de H } le laissé X} de ∈ du X de _{soit une famille mesurable des espaces de Hilbert. Une famille du X} de ∈ du X de _{d'algèbres de von Neumann { X} de _{de A } avec $de$}

A_x \ subseteq \ operatorname {L} (H_x)

est le mesurable si et seulement si il y a un comptable D d'ensemble des familles mesurables d'opérateur que le pointwise produisent { X de _{de A } du X} as de ∈ du X de _{une algèbre de Neumann de von dans le sens suivant : Pour presque tout le X de ∈ du X , $de$}

\ operatorname {W^*} (\ {S_x : S \ dans D \}) = A_x

là où W* ( S ) dénote l'algèbre de Neumann de von produite par le S d'ensemble. Si { X de _{de A } le X} de ∈ du X de _{est une famille mesurable des algèbres de von Neumann, l'intégrale directe des algèbres de von Neumann $\backslash \; int\_X^\; \backslash \; oplus\; A\_x\; d\; \backslash \; MU\; de$}

(x)

se compose de tous les opérateurs de la forme $\backslash \; int\_X^\; \backslash \; oplus\; T\_x\; d\; \backslash \; MU\; de$

(x)

pour le X de _{du A de ∈ du X} de _{du T .}

Un des théorèmes principaux de von Neumann et de Murray de leur série originale de papiers est une preuve du théorème de décomposition : N'importe quelle algèbre de von Neumann est une intégrale directe des facteurs. Nous énonçons ceci avec précision ci-dessous. Si { X de _{de A } le X} de ∈ du X de _{est une famille mesurable des algèbres de von Neumann et le μ est standard, alors la famille des commutants d'opérateur est également mesurable et $de$}

\ orge à quatre rangs A_x d \ MU (x) \ = de bigg \ A'_ d'int_X^ \ oplus X d \ MU (x).

Décomposition centrale

Supposer que le A est une algèbre de Neumann de von. laisser le Z ( A ) soit le centre du A , celui est l'ensemble d'opérateurs dans le A qui permutent avec tout le A d'opérateurs, qui est $de$

\ mathbf {Z} (a) = A \ chapeau A

Le Z ( A ) est une algèbre d'Abelian von Neumann. Le centre de L ( H ) est à une dimension. Généralement si le A est une algèbre de Neumann de von, si le centre est 1 dimensionnel nous disons que le A est un facteur .

Supposer maintenant que le A est une algèbre de Neumann de von dont le centre contient un ordre du différent de zéro par paires orthogonal minimal N de ∈ du i de _{de projections { i} de _{de E } tels que = de $de$}

1 \ sum_ {I \ dans \ mathbb {N}} E_i

Alors le i de _{du E du A est une algèbre de Neumann de von sur le i} de _{du H de gamme du i} de _{du E . Il est facile de voir que le i} de _{du E du A est un facteur. Ainsi dans ce cas spécial = de $de$}

A \ bigoplus_ {I \ dans \ mathbb {N}} un E_i

représente le A comme somme directe de facteurs. C'est un cas spécial du théorème central de décomposition de von Neumann.

Généralement nous pouvons appliquer le théorème de structure des algèbres d'Abelian von Neumann qui représente Z ( A ) comme algèbre des opérateurs diagonaux scalaires. Dans une telle représentation, tous les opérateurs dans le A sont les opérateurs décomposables. En fait, nous pouvons employer ceci pour prouver le résultat de base de von Neumann que n'importe quelle algèbre de von Neumann admet une décomposition dans des facteurs. Supposer = de $de$

H \ int_X^ \ oplus H_x d \ MU (x)

est une décomposition intégrale directe du H et le A est une algèbre de Neumann de von sur le H de sorte que Z ( A ) soit représenté par l'algèbre du diagonal scalaire L ^∞_μ ( X ) d'opérateurs où le X est un espace standard de Borel. Puis = de $\backslash \; mathbf\; de$

{A} \ int^ \ oplus_X A_x d \ MU (x)

là où pour presque tout le X , le X de ∈ du X de _{du A est une algèbre de Neumann de von qui est un facteur de .}

Familles mesurables des représentations

Si le A est un C*-algebra séparable, nous pouvons considérer les familles mesurables des *-representations non-degenerate du A ; se rappeler qu'au cas où le A aurait une unité, la non-dégénérescence est équivalente à l'unité-préservation. Par la correspondance générale qui existe entre les représentations unitaires fortement continues d'un localement compact G de groupe et des *-representations non-degenerate des groupes C*-algebra C* ( G ), la théorie pour C*-algebras fournit immédiatement une théorie de décomposition pour des représentations localement des groupes compacts séparables. Laisser le A être un C*-algebra et un π séparables une représentation involutive non-degenerate du A sur un séparable H de l'espace de Hilbert. Laisser W* (π) soit l'algèbre de Neumann de von produite par le π d'opérateurs ( un ) pour le un A de ∈ de . Alors correspondant à toute décomposition centrale de W* (π) au-dessus d'un espace de mesure standard ( X , μ) (qui car indiqué est unique dans un sens théorétique de mesure), il y a une famille mesurable des représentations de facteur $de$

\ {\ pi_x \} _ {x \ dans X}

du A tels que $de$

\ pi (a) = \ int_X^ \ oplus \ pi_x (a) d \ MU (x), \ quadruple \ forall a \ dans A.

D'ailleurs, il y a un N de sous-ensemble du X avec la mesure zéro, tel de μ que le X , le y de π _{de π sont disjoignent toutes les fois que le X , &minus du X de ∈ du y ; Le N , où les représentations serait le disjoignent si et seulement s'il n'y a aucun opérateur s'entrelaçant entre eux.}

On peut prouver que l'intégrale directe peut être indexée sur le soi-disant Q du quasi-spectre de du A , se composant des classes de quasi-équivalence des représentations de facteur du A . Ainsi il y a un μ de mesure standard sur le Q et une famille mesurable des représentations de facteur répertoriées sur le Q tels que le X de π _{appartient à la classe du X . Cette décomposition est essentiellement unique. Ce résultat est fondamental dans la théorie de représentations de groupe.}

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