Instanton

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Un instanton ou le pseudoparticle est une notion apparaissant dans la physique mathématique théorique et de . Mathématiquement, un instanton de Yang-Moulins de est un raccordement individu-duel ou anti-individu-duel dans un paquet principal au-dessus d'une tubulure Riemannian quadridimensionnel qui joue le rôle de l'espace-temps physique dans la théorie nonabelian de mesure de . Instantons sont topologiquement les solutions non triviales des équations de Yang-Moulins de qui réduisent au minimum absolument l'énergie fonctionnelle dans leur type topologique. D'abord de telles solutions ont été découvertes dans le cas de l'espace euclidien quadridimensionnel comprimé à la sphère quadridimensionnelle , et avérées pour être localisées dans l'espace-temps, incitant le pseudoparticle noms et l'instanton de .

Des instantons de Yang-Moulins ont été explicitement construits dans beaucoup de cas au moyen de théorie de Twistor de , qui les rapporte aux paquets algébriques de vecteur de sur les surfaces algébriques , et par l'intermédiaire de la construction du ADHM, ou réduction , un procédé sophistiqué de Hyperkähler de d'algèbre linéaire. Le travail d'inauguration du Simon Donaldson , pour lequel il plus tard a été attribué le met en place la médaille , a employé l'espace de modules de des instantons au-dessus d'une tubulure différentiable quadridimensionnelle donnée en tant que nouvel invariable de la tubulure qui dépend de sa structure différentiable mais pas du type topologique continu. Beaucoup de méthodes se sont développées en étudiant des instantons ont été également appliquées aux monopoles .

Description physique

Un instanton est une solution classique aux équations du mouvement avec une action finie et différente de zéro, dans la mécanique quantique De ou dans la théorie des champs de Quantum . Plus avec précision, c'est une solution aux équations du mouvement de la théorie des champs classique sur un espace-temps euclidien du . Dans une telle théorie, des solutions aux équations du mouvement peuvent être considérées comme les points critiques de l'action . Les points critiques de l'action peuvent être les maximum locaux de l'action, les minimum locaux de , ou les points de selle Instantons sont importants dans la théorie des champs de Quantum parce que (a) ils apparaissent dans le chemin intégral de comme principales corrections de quantum au comportement classique d'un système, et (b) ils peuvent être employés pour étudier le comportement de perçage d'un tunnel dans divers systèmes tels qu'une théorie de Yang-Moulins de .

Instantons en mécanique quantique

Un instanton peut être employé pour calculer une certaine probabilité de transition pour qu'une particule mécanique de quantum perce un tunnel par une région d'énergie potentielle. Peut-être, l'exemple le plus facile pour un système avec un effet de l'instanton est la particule dans un double-bien potentiel. Contrairement à une particule dans la mécanique classique, il y a une probabilité non-vanishing pour qu'elle croise une région d'énergie potentielle plus haut que sa propre énergie. L'one-way pour calculer cette probabilité est au moyen de l'approximation semiclassique du WKB, qui exige de la valeur du

\ hbar

d'être petite. L'équation de Schrödinger de pour la particule lit = de

carré} {dx^2} \ frac {2m (V (x) - E)}{\ hbar^2} \ psi.

Si le potentiel étaient constant, la solution (jusqu'à la proportionnalité) soit une onde plane,

$\ livre par pouce carré = \ exp (- \) de mathrm {I} KX \,$

avec ${2m (E-V)}} {\ hbar}.$

Ce le moyen, celui si l'énergie de la particule est plus petite que l'énergie potentielle, un obtient une fonction exponentiellement décroissante. La probabilité associée pour la particule au tunnel est $e^ de {- \ frac {I} {\} hbar \ int_a^b \ racine carrée {2m (V (x) - E)}dx},$

là où $a$ et $b$ sont commencement et point final de la trajectoire de perçage d'un tunnel.

Alternativement, l'utilisation des intégrales de chemin permet une interprétation de l'instanton et le même résultat peut être obtenu avec cette approche. En formulation intégrale de chemin, l'amplitude de transition peut être exprimée As ${\ frac {est} {\ hbar}}.$

Après le processus de la rotation (suite analytique) de mèche de à l'espace-temps euclidien ( $t \ rightarrow i \ tau$ ), un obtient $K_E de (a, b ; x=a de t)= \ langle|e^ {\ frac {- \ mathbb {} de H \ tau} {\ hbar}}|de^ = de x=b \ rangle \ international {- \ frac {S_E} {\ hbar}},$

avec l'action euclidienne $S_E= de \ ^ d'int_ {\ tau_a} {\ tau_b} \ (\ frac {1} {2} m \ laissé (\ frac {dx} {d \ tau} \ droit) ^2+V laissé (x) \ droit) d \ tau.$

Pour le potentiel, ce les moyens, qui il obtient ont tourné par 180 degrés, de ce fait se tenant sur sa tête, montrant le " deux ; hills" ; de l'énergie maximale. Les résultats obtenus à partir du chemin euclidien mathématiquement bien défini intégral de peuvent Mèche-être tournés en arrière et donner les mêmes résultats physiques que serait obtenu par le traitement approprié de l'intégrale (potentiellement divergente) de chemin de Minkowskian. Comme peut être vu de cet exemple, calculant la probabilité de transition pour la particule au tunnel par une région classiquement interdite (le $V (x)$ ) avec l'intégrale de chemin de Minkowskian correspond à calculer la probabilité de transition au tunnel par une région classiquement permise (avec $-V potentiel (X)$ ) dans l'intégrale euclidienne de chemin (imagé parler-dans l'euclidien image-cette transition correspond à un roulement de particules d'une colline d'un double-bien potentiel se tenant sur sa tête à l'autre colline). Cette solution classique des équations du mouvement euclidiennes est souvent appelée " ; solution" de repli ; et est un exemple d'un instanton . Dans cet exemple, le " deux ; vacua" ; du double-bien potentiel, transformer en collines dans la version d'Euclideanized du problème. Ainsi, la solution de champ de l'instanton (1+1) - de la théorie des champs dimensionnelle (système mécanique de premier quantum Ã quantification) laisse être interprétée comme effet de perçage d'un tunnel entre les deux vides du système physique de Minkowskian.

Noter qu'une théorie de la perturbation naïve autour d'un de ces deux vides ne montrerait jamais cet effet de perçage d'un tunnel non-perturbative, changeant nettement la situation de la structure de vide de ce système mécanique de quantum.

Instantons en théorie des champs de quantum

Étudiant la théorie des champs de Quantum (QFT), l'intérêt pour la structure de vide d'une théorie peut appeler l'attention sur des instantons. Juste comme un système mécanique de double-bien quantum illustre, un vide naïf peut ne pas être le vide vrai d'une théorie des champs. D'ailleurs, le vide vrai d'une théorie des champs peut être un " ; overlap" ; de plusieurs secteurs topologiquement inequivalent, soi-disant " ; vacua" topologique ;.

L'exemple compris et d'illustration d'un puits d'un instanton et de son interprétation peut être trouvé dans le cadre d'un QFT avec un groupe non-abélien de mesure, une théorie de Yang-Moulins de . Pour une théorie de Yang-Moulins ces secteurs inequivalent peuvent (dans une mesure appropriée) être classifiés par le troisième groupe de Homotopy de de SU (2) (dont la tubulure de groupe est 3 la sphère $S^3$ ). Un certain vide topologique (un " ; sector" ; du vide vrai) est marqué par un invariable topologique, l'index de Pontryagin de . Comme le troisième groupe homotopy de $S^3$ s'est avéré l'ensemble de nombres entiers

$\ pi_3 (S^3)= \ mathbf {} de Z \,$

il y a infiniment beaucoup de vides topologiquement inequivalent, dénotés par le $|N \ rangle$ , où $N$ est leur index correspondant de Pontryagin. Un instanton est une configuration de champ accomplissant les équations du mouvement classiques dans l'espace-temps euclidien, qui est interprété car un effet de perçage d'un tunnel entre ces différents vides topologiques. Il est de nouveau marqué par un nombre entier, son index de Pontryagin, $Q$ . On peut imaginer un instanton avec l'index $Q$ pour mesurer le perçage d'un tunnel entre le $topologique de vides|N \ rangle$ et $|N+Q \ rangle$ . Si le Q = 1, la configuration est baptisé l'instanton BPST du nom de son A. Belavin de découvreurs, de Alexandre Polyakov , de A. Le vide vrai de la théorie est marqué par un " ; angle" ; le thêta et est un chevauchement des secteurs topologiques :

$|\ thêta \ rangle = \ e^ ^ de sum_ {N=- \ infty} {N=+ \ infty} {I \ thêta N}|N \ rangle.$

Instantons dans Yang&ndash ; Fraise la théorie

L'action classique de Yang-Moulins sur un paquet principal avec le G de groupe de structure, le bas M , le A du raccordement , et le F de la courbure (tenseur de de champ de Yang-Moulins) est = du $S_ de {YM} \ int_M \ est parti|F \ droit|^2 d \ _M du mathrm {vol.},$

là où le $d \ mathrm {vol.} _M$ est la forme de volume de sur $M$ . Si le produit intérieur sur le $\ mathfrak {g}$ , l'algèbre de Lie de $G$ dans lequel $F$ prend des valeurs, est donné par la forme de massacre de sur le $\ mathfrak {g}$ , alors ceci peut être dénoté comme $\ int_M \ mathrm {TR} (F \ cale *F)$ , depuis = de *F de $F \ cale de \ langle F, F \ rangle d \ mathrm {vol.$

Par exemple, dans le cas du U du groupe de mesure de (1) , le F sera le tenseur de champ électromagnétique. Du principe de de l'action stationnaire , les équations de Yang-Moulins suivent. Elles sont $\ mathrm {d} {*F} = 0.$

Le premier de ces derniers est une identité, parce que le F de d le A de = de d² = 0, mais la seconde est une équation différentielle partielle de de second ordre pour le A de raccordement. Mais notification combien semblable ces équations sont ; elles diffèrent par une étoile de Hodge de . Ainsi une solution à la première équation (non linéaire) plus simple d'ordre = de $de {*F} \ P.F \,$

est automatiquement également une solution de l'équation de Yang-Moulins. De telles solutions existent habituellement, bien que leur caractère précis dépende de la dimension et de la topologie de l'espace bas M, du paquet principal P, et du groupe G.

Dans des théories nonabelian de Yang-Moulins, $DF=0$ et $D*F=0$ où D est le dérivé extérieur de covariant de . En outre, l'identité de Bianchi de

$FF \ cale A=d (dA+A \ cale A)+A \ cale (dA+A \ cale A) - (le DA + l'A \ cale A) \ cale A=0$

est satisfaisant.

Dans la théorie des champs de Quantum , un instanton est une configuration non triviale de champ du topologiquement dans quatre l'espace euclidien dimensionnel du (considéré comme rotation de mèche de d'espace-temps de Minkowski de ). Spécifiquement, il se rapporte à un A du gisement de mesure de des Yang-Moulins que le localement approche la mesure pure à l'infini spatial . Ceci signifie l'intensité de champ définie par le A ,

$\ "BOLD" =d {F} \ "BOLD" {A} + \ "BOLD" {} d'A \ cale \ {A}$ "BOLD"

disparaît à l'infini. L'instanton nommé de dérive du fait que ces champs sont localisés dans l'espace et le temps (euclidien) - en d'autres termes, à un instant spécifique.

Il peut être plus facile visualiser Instantons dans deux dimensions que dans quatre. Dans le cas le plus simple le groupe de de mesure est U (1). Dans ce cas-ci le champ peut être visualisé comme flèche à chaque point dans l'espace-temps bidimensionnel. Un instanton est une configuration où, par exemple, les flèches se dirigent à partir d'un point central. Des configurations plus compliquées sont également possibles.

La configuration de champ d'un instanton est très différente à celle du vide . Pour cette raison des instantons ne peuvent pas être étudiés en employant les diagrammes de Feynman de qui incluent seulement des effets perturbative du . Instantons sont fondamentalement Non-perturbative .

L'énergie de Yang-Moulins est donnée près

$\ frac {1} {2} \ int_ {\} de mathbb {R} ^4 \ operatorname {TR} \ {F}$ "BOLD"

là où &lowast ; est le Hodge duel. Si nous insistons sur le fait que les solutions aux équations de Yang-Moulins ont l'énergie finie , alors la courbure de la solution à l'infini (pris comme limite ) doit être zéro. Ceci signifie que le Chern-Simons invariable peut être défini à la frontière des 3 espaces. C'est équivalent, par l'intermédiaire du a chargé le théorème , à prendre au intégral

$\ int_ {\} ^4 \ operatorname {TR} de mathbb {R}.$

C'est un invariable homotopy et il nous indique à quelle classe de Homotopy de l'instanton appartient.

Puisque l'intégrale d'une fonction à intégrer non négative est toujours non négative,

$0 \ leq \ frac {1} {2} \ int_ {\} ^4 \ operatorname {TR} de mathbb {R} = \ int_ {\ mathbb {R} ^4} \ operatorname {TR} \ "BOLD" {} de F \ cale \ {F}$ "BOLD"

pour tout le vrai &theta ;. Ainsi, ceci signifie

$\ frac {1} {2} \ int_ {\ mathbb {R} ^4} \ operatorname {} de TR \ geq \ frac {1} {2} \ est parti|\ int_ {\} de mathbb {R} ^4 \ operatorname {TR} \ droit|.$

Si cette limite est saturée, alors la solution est un état de bps . Pour de tels états, l'un ou l'autre &lowast ; F = F ou &lowast ; F = &minus ; F selon le signe du Homotopy invariable.

Les effets d'Instanton sont importants en comprenant la formation des condensats dans le vide du chromodynamics (QCD) de Quantum de et en expliquant la masse de la soi-disant « particule eta-principale », un Goldstone-boson qui a acquis la masse par l'anomalie courante axiale de QCD. Noter qu'il y a parfois également un correspondant Soliton dans une théorie avec une dimension additionnelle de l'espace. La recherche récente sur les instantons les lie aux matières telles que le D-branes et les trous noirs et, naturellement, la structure de vide de QCD. Par exemple, dans les théories orientées de corde de , un brane de DP est un instanton de théorie de mesure en volume du monde (p+5) - U dimensionnel (N) théorie de mesure sur une pile de N D (p+4) - branes.

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