Infinitésimal

Le Infinitesimals ont été employés pour exprimer l'idée des objets si petits qu'il n'y a aucune manière de les voir ou de les mesurer. Pendant la vie quotidienne, un objet infinitésimal est un objet qui est plus petit que n'importe quelle mesure possible, si nous mesurons la taille, le temps, la concentration chimique , etc. Une fois utilisé comme adjectif dans le vernaculaire, " ; infinitesimal" ; moyens extrêmement petits.

Avant le 19ème siècle aucun des concepts mathématiques car nous les savons aujourd'hui n'a été formellement défini, mais plusieurs de ces concepts était déjà là. Les fondateurs du calcul, le Leibniz, le Newton, l'Euler, le Lagrange, le Bernoullis et beaucoup d'autres, d'infinitesimals utilisés de la manière montrée ci-dessous et ont réalisé essentiellement des résultats corrects quoiqu'aucune définition formelle n'ait été disponible (pareillement, il n'y avait aucune définition formelle de vrais nombres alors).

Histoire de l'infinitésimal

Le premier mathématicien au se servent des infinitesimals que était Archimède ( 250 AVANT JÉSUS CHRIST de C.), bien qu'il n'ait pas cru en existence des infinitesimals physiques. La propriété d'Archimède est la propriété d'une structure algébrique commandée de n'avoir aucun infinitesimals différent de zéro.

Dans le Inde du 12ème siècle jusqu'au XVIème siècle , infinitesimals de ont été découverts pour l'usage avec le calcul différentiel par le indien Bhaskara du mathématicien et les divers mathématiciens de Keralese de .

Quand le Newton et le Leibniz ont développé le calcul , ils se sont servis des infinitesimals. Un argument typique pourrait disparaître :

de
pour trouver le f&prime dérivé de du ; ( X ) du f ( X ) de la fonction = le X ², a laissé le X de d être un infinitésimal. Puis,

Utilisations modernes des infinitesimals

voient également : Analyse non standard ,

infinitésimal doux de de l'analyse

Infinitésimal est nécessairement un concept relatif. Si l'epsilon est infinitésimal en ce qui concerne une classe des nombres il signifie que l'epsilon ne peut pas appartenir à cette classe. C'est le point crucial : infinitésimal de nécessité de moyen infinitésimal nécessairement avec le respect à un autre type de nombres.

Le chemin à la formalisation

La preuve ou la réfutation de l'existence des infinitesimals de la sorte utilisée dans l'analyse non standard dépend du modèle et quelle collection d'axiomes sont employé. Nous considérons ici des systèmes où des infinitesimals peuvent être montrés pour exister.

En le 1936 Maltsev a prouvé le théorème de compacité de . Ce théorème est fondamental pour l'existence des infinitesimals car il montre qu'il est possible de les formaliser. Une conséquence de ce théorème est que s'il y a un système de numération dans lequel il est vrai que pour n'importe quel positif n de nombre entier il y ait un X de nombre positif tels que 0 ; < ; du X ; < ; 1 n , existent alors là une prolongation de ce système de numération dans laquelle il est vrai que là existe un X de nombre positif tels que pour n'importe quel positif n de nombre entier nous prenons 0 ; < ; du X ; < ; 1 n . La possibilité pour commuter le " ; pour l'any" ; et " ; là exists" ; est crucial. Le premier rapport est vrai dans les vrais nombres comme donné dans la théorie des ensembles du ZFC : que n'importe quel positif n de nombre entier il est possible trouve un vrai nombre entre 1 n et zéro, seulement ce vrai nombre dépendra du n . Ici, on choisit le n d'abord, puis on trouve le correspondant X . Dans la deuxième expression, le rapport indique qu'il y a un X (au moins un), choisi d'abord, qui est entre 0 et 1 n pour n'importe quel n . Dans ce cas-ci le X est infinitésimal. Ce n'est pas vrai dans les vrais nombres ( R ) donnés par ZFC. Néanmoins, le théorème montre qu'il y a un modèle (un système de de numération) dans ce que ce sera vrai. La question est : quel est ce modèle ? Quelles sont ses propriétés ? Y a-t-il seulement un tel modèle ? Il y a en fait beaucoup de manières de construire un tel le qu'unidimensionnel de a linéairement commandé l'ensemble de de nombres, mais fondamentalement, il y a deux approches différentes : le

1) prolongent le système de numération de sorte qu'il contienne plus de nombres que les vrais nombres. le

2) prolongent les axiomes (ou prolonger la langue) de sorte que la distinction entre les infinitesimals et les non-infinitesimals puisse être faite dans les vrais nombres.

En 1960, le Abraham Robinson a apporté une réponse suivant la première approche. L'ensemble prolongé s'appelle les hyperreals et contient des nombres moins en valeur absolue que tout vrai nombre positif. La méthode peut être considérée relativement complexe mais elle montre que les infinitesimals existent dans l'univers de la théorie des ensembles de ZFC. Les vrais nombres s'appellent les nombres standard et les nouveaux hyperreals non-real s'appellent le non standard.

En le 1977 Edouard Nelson a apporté une réponse suivant la deuxième approche. Les axiomes prolongés sont IST, qui représente pour la théorie des ensembles interne ou les initiales des trois axiomes supplémentaires : Idéalisation, étalonnage, transfert. Dans ce système nous considérons que la langue est prolongée de telle manière que nous puissions exprimer des faits sur des infinitesimals. Les vrais nombres sont standard ou non standard. Un infinitésimal est un vrai nombre non standard qui est moins, en valeur absolue, que tout vrai nombre standard positif.

En Karel 2006 Hrbacek a développé une prolongation de l'approche du Nelson dans laquelle les vrais nombres sont stratifiés dans (infiniment) beaucoup de niveaux c., au niveau le plus brut là ne sont aucun infinitesimals ni nombre illimité. Infinitesimals sont à un niveau plus fin et il y a également des infinitesimals en ce qui concerne ce nouveau niveau et ainsi de suite.

Toutes ces approches sont mathématiquement rigoureuses.

Ceci tient compte d'une définition des infinitesimals qui se rapporte à ces approches :

Une définition le de

un nombre infinitésimal est un nombre non standard dont le module est inférieur tout nombre standard positif différent de zéro.

Quels standard et non standard se rapportent dépend du contexte choisi.

Alternativement, nous pouvons avoir la géométrie différentielle synthétique ou l'analyse infinitésimale douce avec ses racines dans la théorie de catégorie de . Cette approche s'écarte nettement de la logique classique employée dans des mathématiques conventionnelles en niant la loi de moyen exclu --c., le pas ( un b de ≠ de ) ne doit pas signifier le = b . Un nilsquare de ou le Nilpotent de infinitésimal peut alors être défini. C'est un X de nombre où le X ² = 0 est vrai, mais le X = 0 n'a pas besoin d'être vrai en même temps. Avec un infinitésimal de ce type, les preuves algébriques using des infinitesimals sont tout à fait rigoureuses, y compris celle donnée ci-dessus.

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