Index de Shannon

L'index (inexactement l'index ou également inexactement connu comme index de Shannon-Saucisse de ), le $H^\; \{\backslash \; perfection\}$ de Shannon de de Shannon-Tisserand de , est l'un de plusieurs index de diversité de employés pour mesurer la diversité dans les données catégoriques . C'est simplement l'entropie de l'information de de la distribution, traitant des espèces car des symboles et leurs tailles relatives de population comme probabilité.

Cet article traite son utilisation dans la mesure de la biodiversité . L'avantage de cet index est qu'il tient compte du nombre d'espèces et de la régularité des espèces. L'index est augmenté en ayant des espèces uniques additionnelles, ou en ayant une plus grande régularité d'espèces de .

Le " ; Shannon-Weaver" ; le nom est un terme mal approprié ; apparemment quelques biologistes ont sauté à la conclusion que le tisserand , auteur de Warren de d'une préface influente à la forme de livre de la théorie paperfounding de l'information de de s 1948 de Claude Shannon ', était un cofounder de cette théorie. Le tisserand a joué un rôle crucial dans le développement d'après-guerre rapide de la théorie de l'information d'une manière différente, cependant ; en tant que premier administrateur influent de la base de Rockefeller, il s'est assuré que les premiers théoriciens de l'information ont reçu des concessions généreuses de recherches. La saucisse de Norbert de n'a eu aucune main dans l'index non plus, bien que sa vulgarisation influente de la cybernétique ait été souvent combinée avec la théorie de l'information dans les années 50.

Définitions

$n\_i$ le nombre d'individus dans le chaque espèces ; l'abondance de chaque espèces.
$S$ le nombre d'espèces. Richesse également appelée d'espèces de .
$N$ tout le nombre de tous les individus : ^S n_i de $\backslash \; sum\_\; \{i=1\}$
$p\_i$ l'abondance relative de chaque espèces, calculée en tant que proportion d'individus de des espèces données avec tout le nombre d'individus dans la communauté : $n\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\; N$

Calcul de l'index

$H^\; \backslash \; perfection\; de$

= p_i - \ ^S du sum_ {i=1} \ ln p_i

En appliquant le calcul, il peut montrer que pour tout nombre donné d'espèces, il y a un $H^\; possible\; maximum\; \backslash \; prime$, $H\_\; \backslash \; max=\; \backslash \; ln\; S$ ce qui se produit quand toutes les espèces sont présentes dans des nombres égaux.

Rendre résistant que la régularité maximum maximise l'index

Ce qui suit montrera que n'importe quelle population donnée aura un index maximum de Shannon si et seulement si chaque des espèces représentées se compose de même nombre d'individus.

Expansion de l'index :

$H^\; \backslash perfection=\; -\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^S\; \{n\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\}\; de\; N\; \backslash \; ln\; \{n\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\; N\}$

$N\; H^\; \backslash \; perfection\; =\; n\_i\; -\; \backslash \; ^S\; du\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; -\; laissé\; (\backslash \; de\; ln\; n\_i\; \backslash \; ln\; N\; \backslash \; droit)$

+ - \ du sum_ {i1} ^S de n_i \ n_i de ln \ ln N \ n_i ^S du sum_ {i1}

$N\; de$

H^ \ perfection - N \ ln N = - \ n_i ^S du sum_ {i=1} \ ln n_i

Maintenant, nous laisser définissent des $H\_s\; =\; -\; \backslash \; le\; n\_i\; ^S\; du\; sum\_\; \{i=1\}\; \backslash \; ln\; n\_i$ clairement, puisque $N$ est une constante positive pour une taille donnée de population, et le $N\; \backslash \; ln\; N$ est également un constant, puis le maximum de $H\_s$ est équivalent à maximiser le $H^\; \backslash \; prime$.

Stratégie

Coupons une population arbitrairement classée en deux groupes, avec chaque groupe recevant un nombre arbitraire d'individus et un nombre arbitraire d'espèces. Maintenant, dans chaque groupe, chaque les espèces a le même nombre d'individus que toutes les autres espèces dans ce groupe, mais le nombre d'individus par espèces dans le premier groupe peut être différent du nombre d'individus par espèces dans le deuxième groupe.

Maintenant, s'il peut montrer que $H\_s$ est maximisé quand le nombre d'individus par espèces dans le premier groupe assortit le nombre d'individus par espèces dans le deuxième groupe, alors on l'a montré que la population a un index maximum seulement quand chaque des espèces dans la population est également représentées. $H\_s$ ne dépend pas de la population totale. Ainsi $H\_s$ peut être construit en ajoutant simplement les index de deux sous-populations. Puisque la taille de population est arbitraire, ceci montre que si vous avez deux espèces (le plus petit nombre qui peut être considéré deux groupes), leur index est maximisé si elles sont présentes dans des nombres égaux. Ainsi les règles de l'induction mathématique ont été satisfaites.

Preuve

Maintenant, diviser les espèces en deux groupes. Dans chaque groupe, la population est également distribuée parmi les espèces.
$k$ le nombre d'individus dans le deuxième groupe.
$p$ le nombre d'espèces dans le deuxième groupe.
$n\_\; \{i2\}\; =\; nombre\; de\; k/p$ d'individus dans le chaque espèces dans le deuxième groupe.
$N-k$ le nombre d'individus dans le premier groupe.
$S-p$ les espèces dans le premier groupe.
$n\_\; \{i1\}\; =\; \{N-k\; \backslash \; au-dessus\; de\; PS\}$ les individus dans le chaque espèces dans le premier groupe.

$H\_s\; =\; -\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^\; \{PS\}\; \{N-k\; \backslash \; au-dessus\; de\}\; de\; PS\; \backslash \; ln\; \{N-k\; \backslash \; au-dessus\; de\; PS\}\; -\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^p\; \{k\; \backslash \; au-dessus\; de\}\; de\; p\; \backslash \; ln\; \{k\; \backslash \; au-dessus\; de\; p\}\; =\; -\; \backslash \; est\; parti\; (N-k\; \backslash )droit\backslash \; ln\; \{N-k\; \backslash \; au-dessus\; de\; PS\}\; -\; k\; \backslash \; ln\; \{k\; \backslash \; au-dessus\; de\; p\}.$

Pour découvrir que la valeur de $k$ maximisera $H\_s$, nous devons trouver la valeur de $k$ qui satisfait l'équation :

$\{d\; \backslash \; au-dessus\; de\}\; du\; DK\; \backslash ,\; H\_s=0.$

Différenciation, $de$

\ ln {N-k \ au-dessus de PS} + (N-k) {1 \ au-dessus de N-k} - \ ln {k \ au-dessus de p} - k {1 \ au-dessus de k} = 0, = de $\backslash \; ln\; de$

{N-k \ au-dessus de PS} \ ln {k \ au-dessus de p}

Exponentiating : $de$

{N-k \ au-dessus de PS} = {k \ au-dessus de p} = {PN \ au-dessus de S}.

Maintenant en appliquant les définitions du $N\_\; \{i1\}$ et du $N\_\; \{i2\}$, nous obtenons $N\_\; de$

{i1} = N_ {i2} = {N \ au-dessus de S}.

Résultat

Maintenant nous avons accompli la preuve que l'index de Shannon est maximisé quand chaque les espèces est présente dans des nombres égaux (voir le #strategy). Mais quel est l'index dans ce cas ? Bien, $n\_i\; =\; \{N\; \backslash \; au-dessus\; de\; S\}$, ainsi $p\_i\; =\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; S\}$ par conséquent : $H\_\; de$

\ maximum = - \ ^S du sum_ {i=1} {1 \ au-dessus de S} \ = du ln {1 \ au-dessus de S} \ ln S.

Notes < ! -- Systématique et Biodiversity4 : 149-159 doi : 10.1017/S1477200005001908 -->

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