Inégalité des moyens arithmétiques et géométriques

Dans les mathématiques , l'inégalité de des moyens arithmétiques et géométriques , ou plus brièvement l'inégalité du AM-GM, déclare que la moyenne arithmétique d'une liste des vrais nombres non négatif est supérieur ou égal à le moyen géométrique de la même liste ; et promouvoir, ce les deux moyens sont égal si et seulement si chaque nombre dans la liste est identique.

Fond

La moyenne arithmétique de , ou moins avec précision la moyenne de , d'une liste du n numérote le X ₁,   ; X ₂,   ;. ,   ; le n de _{du X est la somme des nombres divisés par le n : $\backslash \; frac\; de$}

{x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n}.

Le moyen géométrique de est semblable, sauf qu'il est seulement défini pour une liste nombres non négatifs du de vrais, et emploie la multiplication et une racine au lieu de l'addition et de la division : $de$

\ racine carrée {x_1 \ cdot x_2 \ x_n de cdots}.

Si X ₁,   ; X ₂,   ;. ,   ; n   de _{du X ; >  ; 0, ceci est égal au exponentiel de la moyenne arithmétique des logarithmes naturels des nombres : $de$}

\ exp \ parti (\ frac {\ + de ln {x_1} \ ln {x_2} + \ + de cdots \ ln {x_n}} {n} \ droit).

L'inégalité

Redisant l'inégalité using la notation mathématique, nous avons cela pour n'importe quelle liste du non négatif X ₁,   de vrais nombres du n ; X ₂,   ;. ,   ; n de _{du X ,}

$\backslash \; frac\; \{x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash \; cdots\; +\}\; de\; x\_n\}\; \{n\; \backslash \; geq\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x\_1\; \backslash \; cdot\; x\_2\; \backslash \; x\_n\; de\; cdots\},$

et cela si et seulement si X ₁  ; =  ; X ₂  ; =  ;.   ; =  ; n de _{du X , = de $\backslash \; frac\; de$}

{x_1 + x_2 + \ cdots + x_n} {n} \ racine carrée {x_1 \ cdot x_2 \ x_n de cdots}.

Généralisations

Il y a une inégalité semblable pour la moyenne arithmétique pesée par et la moyenne géométrique pondérée par . Spécifiquement, laisser le non négatif X ₁,   de nombres ; X ₂,   ;. ,   ; n et le α non négatif ₁,   de _{du X poids ; α 2,   de ;. ,   ; le n} de _{du α de soit donné. Ensemble = de $\backslash \; alpha\; \backslash \; alpha\_1\; +\; \backslash \; alpha\_2\; +\; \backslash \; +\; de\; cdots\; \backslash \; alpha\_n$. Si   du α de ; >  ; 0, puis l'inégalité}

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\_1\; x\_1\; +\; \backslash \; alpha\_2\; x\_2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; x\_n\; d\text{'}alpha\_n\}\; \{\backslash \}\; d\text{'}alpha\; \backslash \; geq\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x\_1^\; \{\backslash \; alpha\_1\}\; x\_2^\; \{\backslash \; alpha\_2\}\; \backslash \; x\_n^\; de\; cdots\; \{\backslash \; alpha\_n\}\}$

tient avec l'égalité si et seulement si tout le x_k avec le   du α_k ; >  ; 0 sont égal. Ici la convention 0⁰  ; =  ; 1 est employé.

Si tout le   du α_k ; =  ; 1, ceci réduit à l'inégalité ci-dessus d'AM-GM.

D'autres généralisations de l'inégalité des moyens arithmétiques et géométriques sont données par l'inégalité de Muirhead de , l'inégalité de MacLaurin de , et l'inégalité moyenne généralisée par .

Application d'exemple

Considérer la fonction suivante : + du $f\; de$

(x, y, z) = \ + de frac {x} {y} \ racine carrée {\ frac {y} {z}} \ racine carrée {\ frac {z} {x}}

pour le X , le y , et le z tout vrais nombres positifs. Supposer que nous souhaitons trouver la valeur minimum de cette fonction. Récrivant un peu, et appliquant l'inégalité d'AM-GM, nous avons :

Preuve par induction

Il y a plusieurs manières de prouver l'inégalité d'AM-GM ; par exemple, il peut impliquer de l'inégalité de Jensen de , using le ln de fonction concave ( X ). Il peut également prouver using l'inégalité de remise en ordre de . Considérant la longueur et les choses nécessaires required, la preuve par l'induction donnée ci-dessous est probablement la meilleure recommandation pour la première lecture.

Avec le $\backslash \; mu=\; \backslash \; frac\; de\; de\; moyenne\; arithmétique\; \{\backslash \; x\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_n\}\; n$ du non négatif X ₁ de vrais nombres,…, le x_n , le rapport d'AM-GM est équivalent au $de\; \backslash \; au\; mu^n\; \backslash \; GE\; x\_1\; x\_2\; \backslash \; x\_n\; de\; cdots\; \backslash ,$ avec l'égalité si et seulement si   du μ de ; =  ; x_i pour tout le   du i ; =  ; 1,…, n .

Pour la preuve suivante nous appliquons l'induction mathématique et seulement les règles bien connues de l'arithmétique.

Base d'induction de : pour le   du n ; =  ; 1 le rapport est vrai avec l'égalité.

Hypothèse d'induction de : supposent que le rapport d'AM-GM se tient pour tous les choix nombres non négatifs du n de vrais.

Étape d'induction de : considèrent le   du n ; +  ; vrais nombres 1 non négatifs. Leur μ moyenne arithmétique satisfait le $de\; (n+1)\; \backslash \; mu=\; \backslash \; x\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_n\; +\; x\_\; \{n+1\}.\; \backslash ,$ Si tous les nombres sont égaux au μ de , alors nous avons l'égalité dans le rapport d'AM-GM et nous sommes faits. Autrement nous pouvons trouver un nombre qui est plus grand que le μ et un de qui est plus petit que le μ de , disons le   du x_n ; >  ; μ de et n +1  de _{du X ; <  ; μ de . Puis $de$}

(x_n- \ MU) (\ mu-x_ {n+1}) >0 \. \ qquad (*)

Considérer maintenant le de nombres du n $x\_1,\; \backslash \; ldots,\; le\; x\_\; \{n-1\},\; x\_n\text{'}$  ;   ;   ; with  ;   ;   ; - de $x\_n\text{'}:=x\_n+x\_\; \{n+1\}\; \backslash \; x\_n-\; de\; MU\; \backslash \; GE\; \backslash \; mu>0\; \backslash ,$

ce qui sont également non négatifs. Depuis $n\; de$

\ mu=x_1 + \ cdots + x_ {n-1} + \ _ d'underbrace {- de x_n+x_ {n+1} \ MU} {= \, x_n'},

le μ de est également la moyenne arithmétique de $x\_1,\; \backslash \; de\; ldots,\; le\; x\_\; \{n-1\},\; x\_n\text{'}$ et l'hypothèse d'induction implique = de $\backslash \; mu^\; de$

{n+1} \ mu^n \ cdot \ MU \ GE x_1x_2 \ x_n'\ MU x_ de cdots {n-1}. \ qquad (**)

En raison (*) de nous savons cela

$(\backslash \; underbrace\; \{-\; de\; x\_n+x\_\; \{n+1\}\; \backslash \; MU\}\; \_\; \{=\; \backslash ,)\; de\; x\_n\text{'}\}\; \backslash \; mu-x\_nx\_\; \{n+1\}\; =\; (x\_n-\; \backslash \; MU)\; (\backslash \; mu-x\_\; \{n+1\})\; >0,$

par conséquent

$x\_n\text{'}\backslash \; mu>x\_nx\_\; \{n+1\}\; \backslash ,\; \backslash \; qquad\; (\{*\}\; \{*\}\; \{*\})$

en particulier   du μ de ; >  ; 0. Par conséquent, si au moins un du X ₁ de nombres,…, &minus du n de _{du X ; 1} est zéro, puis nous avons déjà l'inégalité stricte dedans (**). Autrement le côté droit de (**) est inégalité positive et stricte est obtenu en employant l'évaluation (***). Par conséquent, la substitution (***) dans (**) donne dans les deux cas

$\backslash \; mu^\; \{n+1\}\; >x\_1x\_2\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n-1\}\; x\_nx\_\; \{n+1\}\; \backslash ,$

ce qui accomplit la preuve.

Preuve par Pólya

Le George Pólya a fourni la preuve suivante, using la fonction exponentielle et le X   de ^{du e d'inégalité ; ≥ 1  ; +  ; X , qui est valide pour chaque X de vrai nombre. Pour vérifier cette inégalité, noter que les deux côtés aussi bien que leurs premiers dérivés conviennent pour le   du X ; =  ; 0 et ce la fonction exponentielle est le strictement convexe, parce que son deuxième dérivé est positif pour chaque vrai X . Pour cette raison, aussi le X}   de ^{du e d'égalité ; = 1  ; +  ; prises du X seulement pour le   du X ; =  ; 0.}

Laisser le μ être la moyenne arithmétique, et laisser le ρ être le moyen géométrique du X ₁,…, le n de _{du X . Si tout le X 1,…, le n} de _{du X sont égal, puis &mu ;   ; =  ; &rho ;.}

Il reste pour prouver le &mu strict d'inégalité ;   ; >  ; &rho ; si X ₁,…, n   de _{du X ; ≥  ; 0 ne sont pas tout égal. Puis, en particulier, ils ne sont pas chacun des zéro, par conséquent &mu ;   ; >  ; 0.}

Si nous substituons le i /&mu de _{du X ;   ; &minus ;   ; 1 pour le X dans le ci-dessus X   de ^{du e d'inégalité ; ≥ 1  ; +  ; le X nous obtenons cela}}

$\backslash \; exp\; \backslash \; Bigl\; (\{x\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; MU\}\; -\; 1\; \backslash \; Bigr)\; \backslash \; GE\; \{\}\; de\; x\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; MU\; \backslash ,$

pour chaque i et inégalité stricte pour des ces i avec le i   de _{du X ; ≠  ; &mu ;. Depuis le i}   de _{du X ; /&mu ;   ; ≥  ; 0, nous pouvons multiplier toutes ces inégalités ensemble, side-by-side, pour le i = 1,…, le n , pour obtenir}

$\backslash \; prod\_\; \{i=1\}\; ^n\; \backslash \; exp\; \backslash \; Bigl\; (\{x\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; MU\}\; -\; 1\; \backslash \; Bigr)\; >\; \backslash \; prod\_\; \{i=1\}\; ^n\; \{\}\; de\; x\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; MU\; \backslash ,$

là où nous obtenons l'inégalité stricte parce qu'aucun facteur du côté à gauche n'est zéro et il y avait inégalité stricte pour au moins un i . Using l'équation fonctionnelle de la fonction exponentielle, nous obtenons

$\backslash \; exp\; \backslash \; biggl\; (\backslash \; frac1\; \backslash \; x\_i\; ^n\; de\; la\; MU\; \backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; -\; n\; \backslash \; biggr)\; >\; \backslash \; prod\_\; \{i=1\}\; ^n\; \{\}\; de\; x\_i\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; MU\; \backslash .\; \backslash \; qquad\; (*)$

Depuis le &mu ; est la moyenne arithmétique, l'addition dans les parenthèses du côté gauche de (*) peut être réduite à $de$

\ x_i ^n du sum_ {i=1} = n \ MU \.

Ainsi, le côté à gauche de l'inégalité (*) est exp (  de n ; &minus ;   ; n ) = 1. Depuis le &rho ; est le moyen géométrique, le produit du côté droit de (*) peut être récrit As $de$

\ frac1 {\ mu^n} \ x_i ^n du prod_ {i=1} = {\ rho^n \ au-dessus de \ mu^n}.

Ainsi (*) réduit à 1  ; >  ; &rho ; n /&mu de ^{; n} et par conséquent &mu de ^{;   ; >  ; &rho ;.}

Preuve par Cauchy

La preuve suivante par des cas se fonde directement sur des règles bien connues d'arithmétique. Elle est essentiellement de Augustin Louis Cauchy et peut être trouvée dans son d'analyse de Cours de .

Le cas où toutes les limites sont égales

Si toutes les limites sont égales :

$x\_1\; =\; x\_2\; =\; \backslash \; cdots\; =\; x\_n$

alors leur somme est le nx ₁ de , ainsi leur moyenne arithmétique est le X ₁ ; et leur produit est le n du X ₁^{, ainsi leur moyen géométrique est le X ₁ ; donc, la moyenne arithmétique et le moyen géométrique sont égaux, comme désirés.}

Le cas où non toutes les limites sont égales

Il reste pour prouver que si le pas toutes les limites sont égal, alors la moyenne arithmétique est plus grande que le moyen géométrique. Clairement, c'est seulement possible quand   du n ; >  ; 1.

Ce cas est plus complexe, et nous le divisons en subcases.

Le subcase où n 2

Si le n = 2, alors nous ont deux limites, X ₁ et X ₂, et depuis (par notre prétention) non toutes les limites être égal, nous avons :

Le subcase où k du n 2

Considérer le cas où le n = 2 ^{le k} , où le k est un nombre entier positif. Nous procédons par l'induction mathématique .

Dans la situation de base, k = 1, ainsi n = 2. Nous avons déjà prouvé que l'inégalité tient où le n = 2, ainsi nous sont faits.

Maintenant, supposer que pour un donné k > 1, nous ont déjà prouvé que l'inégalité se tient pour le style=" n = 2 ^{&minus du k ; 1}, et nous souhaitons prouver qu'il se tient pour le style=" n = 2 ^k . Pour faire ainsi, nous opérons comme suit :

Le subcase où < du n ; 2 ^k

Si le n n'est pas une puissance normale de 2, alors c'est certainement moins de qu'une certaine puissance normale de 2, depuis le style=" 2, 4, 8,…, 2 ^{le k} , . est illimité en haut. Par conséquent, sans perte de généralité, laisser le m être une certaine puissance normale de 2 qui est plus grande que le n .

Ainsi, si nous avons des limites du n , puis nous laisser dénotent leur moyenne arithmétique par le α, et augmentent ainsi notre liste de limites : $x\_\; de$

{n+1} = x_ {n+2} = \ cdots = = de x_m \ alpha.

Nous avons alors :

Preuve de l'inégalité généralisée d'AM-GM using l'inégalité de Jensen

Using la forme finie de l'inégalité de Jensen de pour le logarithme naturel , nous pouvons prouver l'inégalité entre la moyenne arithmétique pesée et la moyenne géométrique pondérée indiquées ci-dessus.

Depuis un x_k avec le &alpha de de poids ;   de _k ; =  ; 0 n'a aucune influence sur l'inégalité, nous peut supposer dans le suivant que tous les poids sont positifs. Si tout le x_k sont égal, alors l'égalité se tient. Par conséquent, elle reste pour prouver l'inégalité stricte s'ils ne sont pas tout égaux, que nous assumerons dans le suivant, aussi. Si au moins un x_k est zéro (mais pas tous), alors la moyenne géométrique pondérée est zéro, alors que la moyenne arithmétique pesée est positive, par conséquent l'inégalité stricte se tient. Par conséquent, nous pouvons supposer également que tout le x_k sont positif.

Puisque le logarithme naturel est le strictement concave, la forme finie de l'inégalité de Jensen et les équations fonctionnelles du logarithme naturel impliquent le $de\; \backslash \; ln\; \backslash \; biggl\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \}\; d\text{'}alpha\_1x\_1+\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; alpha\_nx\_n\; \backslash \; alpha\; \backslash \; biggr)\; >\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\_1\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; ln\; x\_1+\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \}\; d\text{'}alpha\_n\; \backslash \; x\_n$

d'alpha \ ln \ ln \ racine carrée {x_1^ {\ alpha_1} x_2^ {\ alpha_2} \ x_n^ de cdots {\ alpha_n}}.

Puisque le logarithme naturel est augmentant strictement , le $de\; \backslash \; frac\; \{\backslash \}\; d\text{'}alpha\_1x\_1+\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; alpha\_nx\_n\; \backslash \; alpha\; >\backslash \; racine\; carrée\; \{x\_1^\; \{\backslash \; alpha\_1\}\; x\_2^\; \{\backslash \; alpha\_2\}\; \backslash \; x\_n^\; de\; cdots\; \{\backslash \; alpha\_n\}\}.$

Random links:

Banlieue noire de Chestnuthill, Pennsylvanie | Le principe de Hume | Liste de politiciens finlandais | Confédération suédoise des employés professionnels | Plus grand Johannesburg | Desigualdad_de_medios_aritméticos_y_geométricos

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org