Identités hypergéométriques

athstub Dans les mathématiques , les identités hypergéométriques sont des égalités impliquant des sommes au-dessus des limites hypergéométriques, c. les coefficients se produisant de la série hypergéométrique . Ces identités se produisent fréquemment dans les solutions aux problèmes combinatoires du , et également dans l'analyse de des algorithmes .

Ces identités ont été traditionnellement trouvées « à la main ». Là existent maintenant plusieurs algorithmes qui peuvent trouver et prouver tout des identités hypergéométriques.

La liste des identités classiquement connues s'appelle parfois la liste de Bailey de , après le W.

Exemples de de

\ ^ du sum_ {i=0} {n} {n \ choisissent I} = 2^ {n} de

\ ^ du sum_ {i=0} {n} {n \ choisissent I} ^2 = {2n \ choisissent n} de

\ sum_ {k} k {n \ choisissent k} = n2^ {n-1} de

\ ^ de sum_ {i=n} {i=N} I {I \ choisissent n} = (n+1) {N+2 \ choisissent n+2} - {N+1 \ choisissent n+1}

Définition

Il y a deux définitions des limites hypergéométriques, toutes les deux utilisées dans différents cas comme expliqué ci-dessous. Voir également la série hypergéométrique .

Un tk de limite est une limite hypergéométrique si de \ frac {t_ {k+1}} {t_k}

est une fonction raisonnable dans le k .

Un F de limite (n, k) est une limite hypergéométrique si de \ frac {F (n, k+1)} {F (n, k)}

est une fonction raisonnable dans le k .

Là existent deux types de sommes au-dessus des limites hypergéométriques, des sommes définies et indéfinies. Une somme définie est du t_k de \ sum_ de de forme {k}. \,

La somme indéfinie est du ^ de \ sum_ de de forme {k=0} {n} F (n, k).

Preuves

Bien que dans le passé ait trouvé de belles preuves de certaines identités là pour exister plusieurs algorithmes pour trouver et prouver des identités. Ces algorithmes trouvent d'abord une expression simple de pour une somme au-dessus des limites hypergéométriques et fournissent ensuite un certificat que n'importe qui pourrait employer facilement pour vérifier et prouver l'exactitude de l'identité.

Pour chacun des types hypergéométriques de somme là existent une ou plusieurs méthodes pour trouver une expression simple de . Ces méthodes fournissent également un certificat pour vérifier facilement la preuve d'une identité :
Sommes définies de : La méthode de Celine de soeur, l'algorithme de Zeilberger
Sommes indéfinies de : L'algorithme de Gosper

Un livre appelé A = B a été écrit par le Marko Petkovšek , le Herbert Wilf et le Doron Zeilberger décrivant les trois approches principales décrites ci-dessus.

Voir également

Tableau de de la série newtonienne

.

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