Idéal maximal
Dans les mathématiques , plus spécifiquement dans la théorie d'anneau de , un idéal maximal est un idéal qui est maximal (en ce qui concerne l'inclusion d'ensemble) parmi tous les idéaux appropriés, c. qui n'est contenu dans aucun autre idéal approprié de l'anneau .
Les idéaux maximaux sont importants parce que les anneaux de quotient des idéaux maximaux sont les anneaux simples et dans le cas spécial des anneaux commutatifs d'Unital ils sont également des anneaux des champs qui contiennent seulement un idéal maximal s'appellent les anneaux de gens du pays de
Définition
Donné un R d'anneau et un idéal approprié I du R (qu'est à dire &ne du I ; Le R ), le I s'appelle un idéal maximal du R si là existe aucun autre idéal approprié J du R de sorte que &sub du I ; J .
Exemples
dans le Z d'anneau des nombres entiers les idéaux maximaux sont les principaux idéaux produits par un nombre premier.
Propriétés
dans un anneau commutatif avec l'unité, chaque idéal maximal est une perfection idéal de . Des idéaux maximaux peuvent être directement caractérisés pour être ces idéaux qui sont des sous-ensembles de seulement deux idéaux : l'idéal idéal et maximal inexact lui-même.
le théorème (1929) de Krull de de de
: Chaque anneau commutatif avec une identité multiplicative a un idéal maximal.
dans un diagramme de trellis, des idéaux maximaux toujours sont directement joints au plus grand anneau contenant, comme suit de la propriété principale.
dans un anneau commutatif d'Unital , un idéal est maximal si et seulement si son anneau de facteur est un champ. Ceci échoue en anneaux non-unital. Par exemple, est un idéal maximal dans , mais n'est pas un champ.
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