Hypothèse généralisée de Riemann
L'hypothèse de Riemann de est l'une des conjectures les plus importantes dans les mathématiques . C'est un rapport au sujet des zéros de la fonction de zéta de Riemann . De divers objets géométriques et arithmétiques peuvent être décrits par le global des L-fonctions de soi-disant , qui sont formellement semblables à la zéta-fonction de Riemann. On peut alors poser la même question sur les zéros de ces L - fonctions, rapportant de diverses généralisations de l'hypothèse de Riemann. Beaucoup de mathématiciens croient ces généralisations de l'hypothèse de Riemann pour être vrai. Les seuls cas de ces conjectures qui ont été prouvées se produisent dans le cas de champ de fonction (pas le cas de champ de nombre).
global L - des fonctions peuvent être associées aux champs de nombre elliptiques de des courbes (dans ce cas elles s'appellent les zéta-fonctions de Dedekind de de ), aux formes d'onde de Maass de et aux caractères de Dirichlet de (dans ce cas elles s'appellent les L-fonctions de Dirichlet de . Quand l'hypothèse de Riemann est formulée pour des zéta-fonctions de Dedekind, on le connaît comme hypothèse de Riemann prolongée par et quand il est formulé pour le L - fonctions de Dirichlet, il est connu comme hypothèse de Riemann généralisée par . Ces deux rapports seront discutés en plus détail ci-dessous. (Beaucoup de mathématiciens emploient l'hypothèse de Riemann généralisée par d'étiquette pour couvrir la prolongation de l'hypothèse de Riemann à tout le global L - fonctions, pas simplement le cas spécial du L - fonctions de Dirichlet.)
Hypothèse généralisée de Riemann (GRH)
L'hypothèse généralisée de Riemann (pour L - fonctions de Dirichlet) a été probablement formulée pour la première fois par Piltz en 1884. Comme l'hypothèse originale de Riemann, elle a des conséquences de grande envergure au sujet de la distribution des nombres premiers
Le rapport formel de l'hypothèse suit. Un caractère de Dirichlet de est un &chi complètement multiplicatif de la fonction arithmétique du ; tels que là existe un positif de nombre entier k avec le &chi ; ( n + k ) = &chi ; ( n ) pour tout le n et &chi ; ( n ) = 0 toutes les fois que gcd ( n , k ) > 1. Si un tel caractère est donné, nous définissons la L-fonction correspondante de Dirichlet de par le
pour chaque du nombre complexe s avec la partie réelle > 1. Par la suite analytique , cette fonction peut être prolongée à une fonction méromorphe définie dans l'ensemble le plan complexe. L'hypothèse généralisée de Riemann affirme cela pour chaque &chi de caractère de Dirichlet ; et chaque de nombre complexe s avec L (&chi ; , s ) = 0 : si la partie réelle de s est entre 0 et 1, alors elle est réellement 1/2.
Le &chi de cas ; ( n ) = 1 pour tout le n rapporte l'hypothèse ordinaire de Riemann.
Conséquences de GRH
Une progression arithmétique de dans les nombres normaux est un ensemble de nombres du de forme par , + d , un d , de +2 un d de +3,… où le un et le d sont des nombres normaux et le d est différent de zéro. Le théorème de Dirichlet de déclare que si le un et le d sont le copremier, alors une progression si arithmétique contient le infiniment beaucoup de nombres premiers de . Laisser le &pi ; ( X , un , d ) dénoter le nombre de nombres premiers dans cette progression qui sont inférieur ou égal à le X . Si l'hypothèse généralisée de Riemann est vraie, puis pour chaque copremier un et d et pour chaque &epsilon ; > 0
là où &phi ; ( d ) dénote la fonction du phi d'Euler de et O est le symbole de landau de . C'est un renforcement considérable du théorème de nombre premier de .
Si GRH est vrai, alors pour chaque principal p là existe un modulo '' p '' (un générateur de racine primitive de du groupe multiplicatif de p de modulo de nombres entiers) qui est moins de 70 (ln ( p ))2 ; c'est employé souvent dans les preuves.
La conjecture faible de Goldbach de suit également de l'hypothèse généralisée de Riemann.
Si GRH est vrai, alors l'essai de primality de Miller-Rabin de est garanti pour fonctionner dans le temps polynôme. (L'essai de primality de polynôme-temps d'A qui n'exige pas GRH, l'essai de primality du AKS, a été récemment édité.)
Si GRH est vrai, alors l'algorithme de Jambe-Tonelli de est garanti pour fonctionner dans le temps polynôme. L'algorithme de Jambe-Tonelli est utile pour trouver des solutions : là où " ; n" ; est un mod quadratique p, " du résidu ; p" ; est principal et x est la variable inconnue. Cet algorithme est une étape importante dedans le passoir quadratique ( Karl Pomerance ) de factorisant l'algorithme.
Assumant la vérité du GRH, l'évaluation du caractère que la somme dans l'inégalité de Pólya-Vinogradov de peut être améliorée au , le q étant le module du caractère.
Hypothèse prolongée de Riemann (ERH)
Supposer que le K est un champ de nombre (une prolongation fini-dimensionnelle de champ de du Q de nombres rationnels ) avec l'anneau de du K des nombres entiers O (cet anneau est la fermeture intégrale du des nombres entiers Z dans le K ). Si le un est un idéal du K d'O, autre que l'idéal nul nous dénotons sa norme par Na de . La zéta-fonction de Dedekind de de du K est alors définie par le pour chaque de nombre complexe s avec la partie réelle > 1. La somme prolonge au-dessus de tout le différent de zéro d'idéaux un du K d'O. La zéta-fonction de Dedekind satisfait une équation fonctionnelle et peut être prolongée par la suite analytique au plan complexe de totalité. La fonction en résultant code des informations importantes sur le K de champ de nombre. L'hypothèse prolongée de Riemann affirme que pour chaque K de champ de nombre et chaque de nombre complexe s avec le &zeta ; K L'hypothèse de Riemann d'ordinaire suit de la prolongée si on prend le champ de nombre pour être le Q , avec l'anneau du Z de nombres entiers. .
Voir également
La conjecture d'Artin de
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