Hypergraphe

Dans les mathématiques , un hypergraphe est une généralisation d'un graphique , où les bords peuvent relier tout nombre des sommets . Formellement, un hypergraphe est un $de paires (X, E)$ où $X$ est un ensemble d'éléments, appelé les noeuds de ou les sommets de , et $E$ est un ensemble de sous-ensembles non vides de hyperedges de appelés par $X$ . Par conséquent, $E$ est un sous-ensemble de $mathcal \ emptyset$ , où le $\ {P} (X)$ mathcal est la puissance réglé de de $X$ . Tandis que les bords de graphique sont des paires de noeuds, les hyperedges sont les ensembles arbitraires de noeuds, et peuvent donc contenir un nombre arbitraire de noeuds.

Un hypergraphe s'appelle également un le système réglé ou une famille de des ensembles tirée du X de l'ensemble universel . Des hypergraphes peuvent être regardés pendant que l'incidence de structure et vice versa.

À la différence des graphiques, il est difficile dessiner des hypergraphes sur le papier, ainsi ils tendent à être étudiés using la nomenclature de la théorie des ensembles plutôt que les descriptions plus imagées (comme des « arbres », des « forêts » et des « cycles ") de la théorie de graphique .

Théorèmes

Beaucoup de théorèmes impliquant des graphiques se tiennent également pour des hypergraphes. Le théorème de Ramsey de est un exemple typique. Quelques méthodes pour étudier des symétries des graphiques se prolongent aux hypergraphes. Par exemple, un homomorphisme d'hypergraphe est une carte de l'ensemble de sommet d'un hypergraphe à des autres tels que chaque bord trace à un autre bord. Un isomorphisme d'hypergraphe est un homomorphisme qui est inversible. Un automorphisme d'hypergraphe est un isomorphisme d'un sommet réglé dans lui-même, celui est relabeling des sommets. L'ensemble d'automorphismes d'un H d'hypergraphe (= ( X , ; E )) est un groupe sous la composition, appelé le groupe d'automorphisme de de l'hypergraphe et Aut écrit ( H ). La collection d'hypergraphes est une catégorie avec des homomorphisms d'hypergraphe comme Morphisms

Un transversal ou le frappant l'ensemble d'un H d'hypergraphe = ( X , E ) est un $T d'ensemble \ subseteq X$ qui a l'intersection non vide avec chaque bord. Un transversal T s'appelle le minimal si aucun sous-ensemble approprié de T n'est un transversal. L'hypergraphe transversal de du H est l'hypergraphe ( X , F ) dont le réglé F de bord se compose de tous les transversals minimaux du H . Le calcul de l'hypergraphe transversal du a des applications dans l'étude de machine et d'autres champs du de l'informatique, en tant que la théorie des jeux rectangulaires , l'indexation de de la base de données , le problème de SAT de et optimisation .

Un H d'hypergraphe s'appelle le k-uniforme ou un k-hypergraphe si chaque bord a le k de cardinalité. Un graphique est juste un hypergraphe de 2 uniformes. Le d de degré (v) d'un v de sommet est le nombre de bords qui le contiennent. Le H est le k-régulier si chaque sommet a le k de degré.

Laisser = de $V \ {v_1, v_2, ~ \ ldots, v_n de ~ \}$ et = de $E \ {e_1, e_2, e_m de ~ \ ~ de ldots \}$ . Chaque hypergraphe a un $= (a_ {ij})$ où

$a_ {ij} = \ est parti \ {\ commencent {matrice} 1 et \ mathrm {si} ~ v_i \ dans e_j \ \ 0 et \ mathrm {autrement} \ extrémité {} de matrice \ right.$

Le transposent $A^t$ de la matrice de l'incidence définit un $H^* d'hypergraphe = (V^*, E^*)$ appelé le duel de $H$ , où $V^*$ est un m - l'ensemble d'élément et le $E^*$ est un n - ensemble d'élément de sous-ensembles de $V^*$ . Pour le $v^*_j \ dans V^*$ et $e^*_i \ dans E^*, v^*_j de ~ \ dans le d'e^*_i$ si et seulement si $a_ de {ij} = 1$ . Le duel d'un hypergraphe uniforme est régulier et vice-versa. Considérer conjugue mène souvent aux découvertes.

Coloration d'hypergraphe

La coloration d'hypergraphe est définie comme suit. Laisser le

H= (V, E)

soit un hypergraphe tels que

V \ Vert = n

. Nous réclamons que le

C= \ {c_1, c_2, \ ldots, c_n \} le

est une coloration appropriée de

H

si et seulement si, pour tout le

e \ dans, d'E \ vert e \ vert > 1

, là existe

v_i, v_j \ dans e

tels que le

c_i \ quantité nette de substance explosive c_j

Voir également

image de fond (mathématiques)
Erdő ; théorème de s-Ko-Rado
Le disjoignent presque les ensembles
Le disjoignent les ensembles
Cloison de d'un ensemble
Propriété d'intersection finie
Complexe simplicial abstrait
Structure d'incidence de
Théorème de Kruskal-Katona de
Système du P

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