Hyperbole

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Dans les mathématiques , une hyperbole ( grec de littéralement « dépassement » ou « excès ") est un type de section conique défini comme intersection entre une surface conique de bon circulaire et un avion qui coupe à travers les deux moitiés du cône.

Il peut également être défini comme lieu de des points où la différence dans la distance à deux points fixes (appelés les foyers ) est constante. Cette différence fixe dans la distance est de deux fois par où le un est la distance du centre de l'hyperbole au sommet de la branche la plus proche de l'hyperbole. le un est également connu comme axe semi-principal de l'hyperbole. Les foyers se trouvent sur l'axe transversal et leur point médian s'appelle le centre.

Pour une preuve géométrique simple que les deux caractérisations ci-dessus sont équivalentes entre eux, voir les sphères de Dandelin de .

Algébriquement, une hyperbole est une courbe dans l'avion cartésien définie près une équation du $A\; de\; de\; forme\; x^2\; +\; B\; de\; x/y\; +\; C\; y^2\; +\; D\; X\; +\; E\; y\; +\; F\; =\; 0$ tels que $B^2\; >\; 4\; AC$, où tous les coefficients sont vrais, et où plus d'une solution, définissant une paire de points (x, y) sur l'hyperbole, existe.

Le graphique de deux variables variant inversement sur l'avion du même rang cartésien est une hyperbole.

Définitions

Les deux premiers étaient énumérés en haut :

l'intersection entre une bonne surface conique circulaire et un avion qui coupe à travers les deux moitiés du cône.

le lieu de des points où la différence dans la distance à deux points fixes (appelés les foyers) est constante.

le lieu des points pour lesquels le rapport des distances à un foyer et à une ligne (appelé le directrix) est un constant plus en grande partie que 1. Cette constante est l'excentricité de l'hyperbole.

Une hyperbole comporte deux courbes débranchées appelées ses bras ou les branches qui séparent les foyers. À de grandes distances des foyers l'hyperbole commence à rapprocher deux lignes, connues sous le nom de les asymptotes que les asymptotes croisent au centre de l'hyperbole et ont le $de\; pente\; \backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}$ pour une hyperbole d'ouverture ou un $est-ouest\; \backslash \; P.\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}$ pour une hyperbole au nord-sud d'ouverture.

Une hyperbole a la propriété qu'un rayon commençant à un des foyers est reflété par de façon à sembler avoir commencé à l'autre foyer. En outre, si des rayons sont orientés sur un des foyers de l'extérieur de l'hyperbole, ils seront reflétés vers les autres foyers.

le cas spécial de l'hyperbole est le l'hyperbole rectangulaire équilaterale de ou de , dans laquelle les asymptotes intersectent aux bons angles l'hyperbole rectangulaire avec les haches du même rang pendant que ses asymptotes est données par le xy=c de d'équation, où le c est une constante.

Juste comme le sinus et des fonctions du cosinus donner à un l'équation paramétrique pour l'ellipse , ainsi le sinus et le cosinus hyperbolique donnent une équation paramétrique pour l'hyperbole.

Si sur l'hyperbole l'équation une commute le X et le y , l'hyperbole de conjugé de est obtenue. Une hyperbole et son conjugé ont les mêmes asymptotes.

Équations

Cartésien

Hyperbole est-ouest d'ouverture de centrée à (h, k) : de de
de $\backslash \; frac\; \{\backslash \; (x-h\; \backslash \; droit)\; ^2\; laissé\}\; de$
- {a^2} \ frac {\ (y-k \ droit) ^2 laissé} {b^2} = 1 Hyperbole au nord-sud d'ouverture de centrée à (h, k) : de de
de $\backslash \; frac\; \{\backslash \; (y-k\; \backslash \; droit)\; ^2\; laissé\}\; de$
- {a^2} \ frac {\ (x-h \ droit) ^2 laissé} {b^2} = 1 L'axe principal fonctionne par le centre de l'hyperbole et intersecte les deux bras de l'hyperbole aux sommets (points de courbure) des bras. Les foyers se trouvent sur la prolongation de l'axe principal de l'hyperbole.

L'axe mineur fonctionne par le centre de l'hyperbole et est perpendiculaire à l'axe principal.

Dans le de les deux formules un est l'axe Semi-principal (moitié de de la distance entre les deux bras de l'hyperbole mesurée le long de l'axe principal), et b est l'axe Semi-mineur .

Si on forme un rectangle avec des sommets sur les asymptotes et deux côtés qui sont tangente à l'hyperbole, la longueur de la tangente de côtés à l'hyperbole sont le 2b dans la longueur tandis que les côtés qui sont parallèles à la ligne entre les foyers (l'axe principal) sont le 2a dans la longueur. Noter que le b peut être plus grand que le par .

Si on calcule la distance de n'importe quel point sur l'hyperbole à chaque foyer, la valeur absolue de la différence de ces deux distances est toujours le 2a .

L'excentricité est donnée par = de $e\; de\; \backslash racine\; carrée\{1+\; \backslash \; frac\; \{b^2\}\; \{a^2\}\}$

Les foyers pour une hyperbole est-ouest d'ouverture sont donnés par le $de\; \backslash \; ont\; laissé\; (h\; \backslash \; P.\; c,\; k\; \backslash \; droit)$ par où c est donné $c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$ et pour une hyperbole au nord-sud d'ouverture sont donnés par le $de\; \backslash \; ont\; laissé\; (h,\; k\; \backslash \; P.\; c\; \backslash \; droit)$ encore avec $c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$

Pour des hyperboles rectangulaires avec les haches du même rang parallèles à leurs asymptotes : $de\; (x-h)\; (y-k)\; =\; c\; \backslash ,$

Simple exemple de ceux-ci sont hyperbole

$y=\; \backslash \; frac\; \{m\}\; \{\}\; de\; x\; \backslash ,$.

Polaire

Hyperbole est-ouest d'ouverture de : =a du
$r^2\; de$
de \ sec 2 \ thêta \, Hyperbole au nord-sud d'ouverture de : =-a du
$r^2\; de$
de \ sec 2 \ thêta \, hyperbole d'ouverture de Nord-est-sud-ouest de : =a du
$r^2\; de$
de \ csc 2 \ thêta \, hyperbole d'ouverture de Nord-ouest-sud-est de : =-a du
$r^2\; de$
de \ csc 2 \ thêta \,

Dans toutes les formules le centre est au poteau, et le un est l'axe semi-principal et axe semi-mineur.

Paramétrique

Hyperbole est-ouest d'ouverture de : le $de\; de\; \backslash \; commencent\; \{matrice\}\; X\; =\; a\; \backslash \; sec\; \backslash \; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; y\; =\; b\; \backslash bronzage\backslash \; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{ou\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; commencer\; \{la\; matrice\}\; X\; =\; \backslash \; P.\; a\; \backslash \; matraque\; \backslash \; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; y\; =\; b\; \backslash \; sinh\; \backslash \; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$

Hyperbole au nord-sud d'ouverture de : le $de\; de\; \backslash \; commencent\; \{matrice\}\; X\; =\; a\; \backslash \; bronzage\; \backslash \; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; y\; =\; b\; \backslash \; sec\; \backslash \; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{ou\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; commencer\; \{la\; matrice\}\; X\; =\; a\; \backslash \; sinh\; \backslash \; de\; t\; +\; de\; h\; \backslash \; y\; =\; \backslash \; P.\; b\; \backslash \; matraque\; \backslash \; de\; t\; +\; de\; k\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$

Dans toutes les formules ( h , k ) est le centre de l'hyperbole, qu'un est l'axe semi-principal, et le b est l'axe semi-mineur.

Voir également

style=" de

.

Random links:

DeLand occidental, la Floride | Karl Fallberg | Graphique de Waldo C. | Colonne d'éruption | Migration de Kambojas | Hipérbola

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