Homomorphisme

Dans l'algèbre d'abrégé sur , un homomorphisme est une carte de structure-préservation entre deux structures algébriques (tel que le groupe les anneaux de ou les espaces de vecteur . L'homomorphisme mot vient de la langue grecque : " de signification des homoios de ; same" ; et " de signification du morphe de ; shape" ;.

Discussion sans cérémonie

Puisque l'algèbre abstraite étudie les ensembles avec les opérations qui produisent de la structure ou des propriétés intéressante sur l'ensemble, les fonctions les plus intéressantes sont ceux qui préservent les opérations. Ces fonctions sont connues comme homomorphisms de .

Par exemple, considérer le les nombres normaux avec l'addition comme opération. Une fonction qui préserve l'addition devrait avoir cette propriété : f ( + b ) = f ( un ) + f ( b ). Par exemple, le 3 X du f ( X ) = est un tel homomorphisme, depuis le f ( + b ) = le 3 ( + b ) = 3 + 3 le b = f ( un ) + le f ( b ). Noter que cet homomorphisme trace les nombres normaux de nouveau dans eux-mêmes.

Homomorphisms ne doivent pas tracer entre les ensembles qui ont les mêmes opérations. Par exemple, opération-en préservant des fonctions exister entre l'ensemble de vrais nombres avec l'addition et l'ensemble de vrais nombres positifs avec la multiplication. Une fonction qui préserve l'opération devrait avoir cette propriété : le f ( + b ) = le f ( un ) * le f ( b ), puisque l'addition est l'opération dans le premiers ensemble et multiplication est l'opération dans la seconde. Etant donné les lois du f ( X ) des exposants = le X d'e ^{remplit cette condition : 2 + 3 = 5 traduit en 2} * le 3 d'e ^{d'e = 5} d'e^.

Une propriété particulièrement importante des homomorphisms est que si un élément d'identité est présent, elle est toujours préservée, c., tracé à l'identité. La note dans le premier f (0) = 0 d'exemple, et 0 est l'identité additive. Dans le deuxième exemple, le f (0) = 1, puisque 0 est l'identité additive, et 1 est l'identité multiplicative.

Si nous considérons des opérations multiples sur un ensemble, alors toutes les opérations doivent être préservées pour qu'une fonction soit considérée comme homomorphisme. Quoique l'ensemble puisse être identique, la même fonction pourrait être un homomorphisme par exemple dans la théorie de groupe (ensembles avec une opération simple) mais pas dans la théorie (ensembles d'anneau de avec deux opérations relatives), parce qu'elle ne préserve pas l'opération additionnelle qui sonnent la théorie considère.

Définition formelle

Un homomorphisme est une carte d'une structure algébrique à l'autre du même type qui préserve toute la structure appropriée ; c. les propriétés aiment les éléments inverses des éléments d'identité et les opérations binaires auteurs du NOTA: de de

quelques emploient l'homomorphisme mot dans un plus grand contexte que cela de l'algèbre. Quelque prendre elle pour signifier n'importe quel genre de structure préservant la carte (telle que cartes continues dans topologie ), ou même un genre plus abstrait de map&mdash ; ce que nous nommons un &mdash de Morphism de ; utilisé dans la théorie de catégorie de . Cet article traite seulement le contexte algébrique. Pour une utilisation plus générale voir le Morphism article.

Par exemple ; si on considère deux ensembles $X$ et $Y$ avec une opération binaire simple définie sur eux (une structure algébrique connue sous le nom de magma ), un homomorphisme est un $\backslash \; phi\; de\; carte\; :\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y$ tels que $de\; \backslash \; phi\; (=\; d\text{'}u\; \backslash \; cdot\; v)\; \backslash \; phi\; (u)\; \backslash \; circ\; \backslash \; phi\; (v)$ là où le $\backslash \; cdot$ est l'opération sur $X$ et $\backslash \; circ$ est l'opération sur $Y$.

Chaque type de structure algébrique a son propre type d'homomorphisme. Pour des définitions spécifiques voir :
Homomorphisme de groupe de
Homomorphisme d'anneau de
Homomorphisme de module de
Opérateur linéaire (un homomorphisme de sur les espaces de vecteur
Homomorphisme d'algèbre de

La notion d'un homomorphisme peut être donnée une définition formelle dans le cadre de l'algèbre universelle , un champ qui étudie des idées communes à toutes les structures algébriques dans cet arrangement, un $d\text{'}homomorphisme\; \backslash \; phi\; de\; :\; A\; \backslash \; rightarrow\; B$ est une carte entre deux structures algébriques du même type tels que $de\; \backslash \; phi\; (f\_A\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n))\; =\; f\_B\; (\backslash \; phi\; (x\_1),\; \backslash ,\; de\; ldots\; \backslash \; phi\; (x\_n))\backslash ,$ pour chaque n - opération ary $f$ et pour tout le $x\_i$ dans $A$.

Types de homomorphisms

un isomorphisme de de est un homomorphisme bijectif du . Deux objets serait isomorphes s'il y a un isomorphisme entre eux. Les objets isomorphes sont complètement indistinguibles en ce qui concerne la structure en question.

un Epimorphism est un homomorphisme surjectif du .
Le monomorphisme de de du

A est un homomorphisme injectif du .
L'homomorphisme du

A d'un objet à lui-même s'appelle un Endomorphism .

un endomorphism qui est également un isomorphisme s'appelle un automorphisme de de .

Les termes ci-dessus sont employés d'une mode analogue dans la théorie de catégorie de , cependant, les définitions dans la théorie de catégorie de sont plus subtiles ; voir l'article sur le Morphism pour plus de détails.

Noter que dans le contexte plus grand de la structure préservant des cartes, il est généralement insuffisant de définir un isomorphisme comme morphism bijectif. On doit également exiger que l'inverse est un morphism du même type. Dans l'arrangement algébrique (au moins dans le contexte d'algèbre universelle ) cette condition supplémentaire est automatiquement satisfaite. rapports de

entre différents genres de homomorphisms. le
H = a placé de Homomorphisms, M = a placé des monomorphismes,
P = a placé des ePimorphisms, S = a placé des iSomorphisms,
N = a placé des eNdomorphisms, A = a placé de la notification d'Automorphisms.
cela : Le ∩ de M P = S, ∩ de S N = A, ∩ de P N = A, le ∩ de
M N \ A contient seulement des homomorphisms infinis, et le ∩ de
P N \ A est vide.

Grain d'un homomorphisme

voient également :

grain de (algèbre)

Tout f d'homomorphisme : Le Y de → du X définit un ~ de la relation d'équivalence sur le X par le un   de ;   du f ( du IFF du b de ~ un ) ; = f ( b ). Le ~ de relation s'appelle le grain du f . C'est une relation de congruence de sur le X . Le réglé X /~ du quotient peut alors être donné une objet-structure d'une manière normale, c. Dans ce cas l'image du X dans le Y sous le f d'homomorphisme est nécessairement le isomorphe au X /~ ; ce fait est un de la note des théorèmes d'isomorphisme de dans certains cas (par exemple le groupe ou les anneaux , un d'équivalence K de la classe simple suffit pour spécifier la structure du quotient ; ainsi nous pouvons lui écrire le X / K . (le X / K est habituellement lu comme " ; " du K de mod du X ;.) Également dans ces cas, c'est le K , plutôt que le ~, qui s'appelle le grain du f (cf. sous-groupe normal , idéal).

Homomorphisms et homomorphisms e-libres dans la théorie de langage formel

Homomorphisms sont également employés dans l'étude des langages formels . $donnéd\text{'}alphabets\; \backslash \; Sigma\_1$ et $\backslash \; Sigma\_2$, un h de fonction : $de\; \to \; du$ \backslash \; Sigma\_1^*$\backslash \; Sigma\_2^*$ tels que =h (UV) de $h\; (u)\; h\; (v)$ pour tout le u et v dans le $\backslash \; Sigma\_1^*$ s'appelle un homomorphisme de sur le $\backslash \; Sigma\_1^*$. Laisser le e dénoter le mot vide. Si le h est un homomorphisme sur le $\backslash \; Sigma\_1^*$ et le $h\; (x)\; \backslash \; Ne\; e$ pour tout le $x\; \backslash \; Ne\; e$ dans $\backslash \; Sigma\_1^*$, alors h s'appelle un homomorphisme e-libre de .

Voir également

Morphism
Homomorphisme de graphique de
Fonction continue
Homéomorphie
Diffeomorphism
Secret homomorphe de partageant - un protocole de vote décentralisé simpliste.

Random links:

Soissons | Afarensis d'australopithèque | Élection générale du Royaume-Uni, 1859 | Privilèges de ville | Homomorfismo

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