Hexagone magique

Un hexagone magique du n d'ordre est un arrangement des nombres dans un modèle hexagonal centré par avec des cellules du n sur chaque bord, de telle manière que les nombres dans chaque rangée, dans chacune des trois directions, somme à la même magie constant de . Un hexagone magique normal du contient les nombres entiers consécutifs de 1 3 au n ² ; ; &minus ; ; 3 du n ; + ; 1. Il s'avère que les hexagones magiques existent seulement pour le du n ; = ; 1 (qui est insignifiant) et du n ; = ; 3. D'ailleurs, la solution de l'ordre 3 est le essentiellement unique.

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Order 1 = 1	Order 3 = 38

L'hexagone order-3 magique a été édité beaucoup de fois comme « nouvelle » découverte. Une référence tôt, et probablement le premier découvreur, est Ernst von Haselberg (1887).

Bien qu'il n'y ait aucun hexagone magique normal avec l'ordre plus considérablement que 3, le certain anormal existe. Dans ce cas-ci, les moyens anormaux commençant l'ordre des nombres autres qu'avec 1. Zahray Arsen ont découvert ces derniers des hexagones de l'ordre 4 et 5 :

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Order 4 = 111	Order 5 = 244

Les débuts d'hexagone de l'ordre 4 avec 3 et extrémités avec 39, ses rangées additionnant à 111. Les débuts d'hexagone de l'ordre 5 avec 6 et extrémités avec 66 et sommes à 244.

Un hexagone de l'ordre 6 peut être trouvé chez http://www.com/notlkh/worlds_largest.

Le plus grand hexagone magique jusqu'ici a été découvert par Zahray Arsen sur le 2006 du 22 mars :

Il commence par 2, finit avec 128 et sa somme est 635.

Preuve

Voici un croquis de preuve qu'hexagone magique normal n'existe pas excepté ceux de l'ordre 1 et 3.

Le constant magique M d'un hexagone magique normal peut être déterminé comme suit. Les nombres dans l'hexagone sont consécutifs, ainsi leur somme est un nombre triangulaire , à savoir le $s= de {1 \ plus de {2}} (9n^4-18n^3+18n^2-9n+2).$ Les rangées courues dans trois directions, ainsi chaque nombre est comptées trois fois. La somme de toutes les rangées est donc 3 le s . Mais il y a du r ; = ; 2 (2 de n ; &minus ; ; 1) rame dans l'hexagone, ainsi la somme dans chaque rangée doit être le $M= de {3s \ plus de {r}} = {9n^4-18n^3+18n^2-9n+2 \ plus de {2 (2n-1)}}.$ Réécriture de ceci comme
$32M=72n^3-108n^2+90n-27+ {5 \ over2n-1}$ de
prouve que 5 (2 de n ; &minus ; ; 1) doit être un nombre entier. Le seul du n ; &ge ; ; 1 qui remplissent cette condition sont du n ; = ; 1 et du n ; = ; 3.

Un autre type d'hexagone magique

Des hexagones peuvent également être construits avec des triangles, car les diagrammes suivants montrent. valign=" de style=" de style=" de align=" de align=" de


Order 2	Order 2 avec les nombres 1&ndash ; 24

Ce type de configuration peut s'appeler un T-hexagone et il a beaucoup plus de propriétés que l'hexagone des hexagones.

Comme avec ce qui précède, les rangées des triangles courues dans trois directions et là sont 24 triangles dans un T-hexagone de l'ordre 2. généralement qu'un T-hexagone du n d'ordre a des triangles de $6n^2$ . La somme de tous ces nombres est indiquée par : $de {S} = {6n^2 (6n^2 + 1) \ plus de 2}$

Si nous essayons de construire un T-hexagone magique avec du latéral n , nous devons choisir le n pour être égaux, parce qu'il y a du r ; = ; 2 rangées du n ainsi la somme dans chaque rangée doivent être $M= de {S \ au-dessus de R} = {3n^2 (6n^2+1) \ au-dessus de 2n}$

Pour que ceci soit un nombre entier, le n doit être égal. Jusqu'ici, des T-hexagones magiques de l'ordre 2, 4, 6 et 8 ont été découverts. Le premier était un T-hexagone magique de l'ordre 2, découvert par John Baker sur le 2003 du 13 septembre . Depuis lors, John avait collaboré avec le roi de David, qui a découvert qu'il y a 59.527 T-hexagones magiques non-conformes de l'ordre 2.

Les T-hexagones magiques ont un certain nombre de propriétés en commun avec les places magiques, mais ils ont également leurs propres usages spéciaux. Le plus étonnant de ces derniers est que la somme des nombres dans les triangles qui se dirigent vers le haut est identique que la somme de ceux dans les triangles qui se dirigent en bas (n'importe comment grand le T-hexagone). Dans l'exemple ci-dessus, $de du de du de {17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7} {= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18} {= 150}$

Pour découvrir plus au sujet des T-hexagones magiques, rendre visite à Hexagonia ou au Hall des hexagones.

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