Hadamard transforment

Le Hadamard transforment (également connu sous le nom de le Walsh-Hadamard transforment , le Hadamard-Rademacher-Walsh transforment , le Walsh transforment , ou le Walsh-Fourier transforment ) est un exemple d'une classe généralisée de Fourier transforme qu'elle est appelée pour le français Jacques Solomon Hadamard du mathématicien du , le Allemand-Américain Hans Adolph Rademacher de mathématicien, et le américain Joseph Leonard Walsh de mathématicien. Il exécute un orthogonal, le symétrique, Involutary , l'opération linéaire sur nombres de $2^m$ les vrais (ou les nombres complexes bien que les matrices de Hadamard elles-mêmes soient purement vraies).

Le Hadamard transforment peut être considéré comme étant construit hors size-2 du Transformée de Fourier (DFTs), et est en fait équivalent à un DFT multidimensionnel de taille $2 \ times2 \ périodes \ cdots \ times2 \ times2$ . Il décompose un vecteur arbitraire d'entrée en superposition des fonctions de Walsh de

Définition

Le Hadamard transforment $H_m$ est une matrice de $2^m \ périodes 2^m$ , la matrice de Hadamard de (mesuré par un facteur de normalisation), qui transforme les vrais nombres $x_n$ de $2^m$ en vrais nombres $X_k$ de $2^m$ . Nous pouvons définir le Hadamard transformons de deux manières : périodiquement , ou en employant la représentation binaire du ( bas -2) des index $n$ et $k$ .

Périodiquement, nous définissons le $1 \ times1$ Hadamard transformons $H_0$ par l'identité $H_0 = 1$ , et puis définissons $H_m$ pour le $m > le 0$ par :

$H_m = \ frac {1} {\ sqrt2} \ commencent {pmatrix} H_ {m-1} et H_ {m-1} \ \ H_ {m-1} et - H_ {m-1} \ extrémité {pmatrix},$

là où le $1/\ sqrt2$ est une normalisation qui est parfois omise. Ainsi, autre que ce facteur de normalisation, les matrices de Hadamard se composent entièrement de 1 et de &minus ; 1.

D'une manière equivalente, nous pouvons définir la matrice de Hadamard par son $(k, entrée de n)$ -th en écrivant $k=k_ {m-1} 2^ {m-1} + k_ {m2} 2^ {m2} + \ cdots + k_1 2 + k_0$ et $n=n_ {m-1} 2^ {m-1} + n_ {m2} 2^ {m2} + \ cdots + n_1 2 + n_0$ , où les $k_j$ et les $n_j$ sont les éléments binaires (0 ou 1) de $n$ et de $k$ , respectivement. Dans ce cas-ci, nous avons : $de \ (H_m \ droit) = laissé du _ {k, n} \ frac {1} {2^ {m/2}} (- ^ de 1) {\ n_j k_j de sum_j}$ .

C'est exactement le $2 \ times2 \ temps \ cdots multidimensionnels \ times2 \ times2$ DFT, normalisé pour être le unitaire, si nous considérons les entrées et les sorties comme des tableaux multidimensionnels répertoriés par le $n_j$ et le $k_j$ , respectivement.

Quelques exemples des matrices de Hadamard suivent.

$H_0 = +1$

$} {rr} 1 et 1 \ \ 1 et -1 \ extrémité {} de rangée \ extrémité {pmatrix}$

(Ce $H_1$ est avec précision le size-2 DFT. Il peut également être considéré comme la transformée de Fourier sur le groupe additif du de deux-élément de Z /(2).)

$H_2 = \ frac {1} {2} \ commence {pmatrix} \ commence {rangée} {rrrr} 1 et 1 et 1 et 1 \ \ 1 et -1 et 1 et -1 \ \ 1 et 1 et -1 et -1 \ \ 1 et -1 et -1 et 1 \ extrémité {} de rangée \ extrémité {pmatrix}$

= de $H_3 \ frac {1} {2^ {3/2}} \ commencent {pmatrix} \ commencent {rangée} {rrrrrrrr} 1 et 1 et 1 et 1 et 1 et 1 et 1 et 1 \ \ 1 et \ -1 et 1 et -1 et 1 et -1 et 1 et -1 \ \ de 1 et de 1 et de -1 et de -1 et de 1 et de 1 et de -1 et de -1 \ \ 1 et -1 et -1 et 1 et 1 et -1 et -1 et 1 \ 1 et 1 et 1 et 1 et -1 et -1 et -1 et -1 \ \ 1 et -1 et 1 et -1 et -1 et 1 et -1 et 1 \ \ 1 et 1 et -1 et -1 et -1 et -1 et 1 et 1 \ \ 1 et -1 et -1 et 1 et -1 et 1 et 1 et -1 \ extrémité {} de rangée \ extrémité {pmatrix}.$

Les rangées des matrices de Hadamard sont les fonctions de Walsh de

Applications d'informatique quantique

Dans le Quantum de traitement de l'information la transformation de Hadamard, plus souvent appelée la porte de Hadamard de dans ce contexte (cf. porte de Quantum de ), est une rotation de Qubit d'un , traçant la qubit-base énonce le $|0 \ rangle$ et $|1 \ rangle$ à deux états de superposition avec le poids égal de la base informatique énonce le $|0 \ rangle$ et $|1 \ rangle$ . Habituellement les phases sont choisies de sorte que nous ayons $de$

du frac D'autres applications

Le Hadamard transforment peut également être employé pour produire des nombres aléatoires avec une distribution gaussienne par le théorème de limite centrale . Ou vous pouvez combiner une série de Hadamard transforme avec les permutations aléatoires pour transformer des données en bruit gaussien .

Le Hadamard transforment est employé dans les beaucoup le traitement des signaux , et les algorithmes de la compression de données , tel que la photo du HD. Dans des applications de la compression visuelle , il est habituellement employé sous forme de somme de de différences transformées absolues .

Voir également

Matrice de Hadamard de
Joseph Leonard Walsh

Random links: