Groupe unitaire

groupes d'IE

Dans les mathématiques , le groupe unitaire de n , U dénoté ( n ) de degré, est le groupe de × du n ; matrices unitaires du n , avec l'opération de groupe qui de la multiplication de Matrix de . Le groupe unitaire est un sous-groupe du groupe linéaire général GL ( n , C ) de .

Dans le simple n de cas = 1, le groupe U (1) correspond au groupe de cercle de , se composant de tous les nombres complexes à la norme 1 sous la multiplication. Tous les groupes unitaires contiennent des copies de ce groupe.

Le groupe unitaire U ( n ) est un vrai groupe de Lie de n ² de dimension. L'algèbre de Lie d'U ( n ) se compose des × complexes du n ; matrices biaiser-Hermitiennes du n , avec la parenthèse de mensonge de donnée par le collecteur .

Le groupe unitaire général (également appelé le groupe de de similitudes unitaires ) se compose de toutes les matrices $A$ tels que $A^*A$ est un multiple différent de zéro de la matrice d'identité , et est juste le produit du groupe unitaire avec le groupe de tous les multiples positifs de la matrice d'identité.

Propriétés

Puisque le déterminant d'une matrice unitaire est un nombre complexe avec la norme 1, la cause déterminante donne à un groupe de le $\backslash \; det\; \backslash \; deux\; points\; \backslash \; mbox\; de\; de\; l\text{'}homomorphisme\; \{U\}\; (n)\; \backslash \; à\; \backslash \; mbox\; \{U\}\; (1)$ Le grain de cet homomorphisme est l'ensemble de matrices unitaires avec la cause déterminante d'unité. Ce sous-groupe s'appelle le groupe unitaire spécial , SU dénoté ( n ) de de . Nous avons alors un ordre exact de short de des groupes de Lie : $1\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{SU\}\; (n)\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{U\}\; (n)\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{U\}\; (1)\; \backslash \; à\; 1$ Ce court d'ordre exact dédouble de sorte qu'U ( n ) puisse être écrit comme produit semidirect du SU ( n ) par U (1). Ici U (1) le sous-groupe d'U ( n ) se compose des matrices du $deforme\backslash \; du\; mbox\; \{diag\}\; (e^\; \{I\; \backslash \; thêta\},\; 1.1,\; \backslash \; ldots,\; 1)$.

Le groupe unitaire U ( n ) est le nonabelian pour le > du n ; 1. Le centre d'U ( n ) est l'ensemble de &lambda de matrices scalaires ; I avec le &lambda ; &isin ; U (1). Ceci suit du lemme de Schur de . Le centre est alors isomorphe à U (1). Puisque le centre d'U ( n ) est un sous-groupe normal abélien à une dimension d'U ( n ), le groupe unitaire n'est pas Semisimple .

Topologie

Le groupe unitaire U ( n ) est doté de la topologie relative comme sous-ensemble de n ( C ), l'ensemble de _{du M de tous les × du n ; matrices complexes du n , qui est elle-même homéomorphe 2 à un espace euclidien du n ²-dimensional.}

Comme espace topologique, U ( n ) est le compact et le relié. La compacité d'U ( n ) suit du théorème de Heine-Borel de et du fait que c'est un sous-ensemble fermé et lié de n ( C ) de _{du M . Pour prouver qu'U ( n ) est relié, se rappeler que n'importe quel A de matrice unitaire peut être Diagonalized par par un autre S de matrice unitaire. N'importe quelle matrice unitaire diagonale doit avoir des nombres complexes de valeur 1 absolue sur la diagonale principale. Nous pouvons donc écrire le $A\; de$}

= le S \, \, de mbox {diag} (e^ {I \ theta_1} \ pointille,) d'e^ {I \ theta_n} \, S^ {- 1}.

Un chemin dans U ( n ) de l'identité au A est alors donné près le $t\; de$

\ mapsto S \, \, de mbox {diag} (e^ {il \ theta_1} \ pointille,) d'e^ {lui \ theta_n} \, S^ {- 1}.

Le groupe unitaire n'est pas le simplement relié ; le groupe fondamental d'U ( n ) est répétition infinie pour tout le n :

$\backslash \; pi\_1\; (U\; (n))\; \backslash \; cong\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}.$ Le premier groupe unitaire U (1) est topologiquement un cercle , qui est bien connu pour avoir un groupe fondamental isomorphe au Z , et le $U\; decarte\; d\text{'}inclusion(n)\; \backslash \; à\; U\; (n+1)$ est un isomorphisme sur le $\backslash \; pi\_1$. (Il a le quotient la tubulure de Stiefel de .)

Déterminant carte $\backslash \; mbox\; \{\}\; de\; det\; \backslash \; deux\; points\; \backslash \; mbox\; \{U\}\; (n)\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{U\}\; (1)$ induit un isomorphisme des groupes fondamentaux, avec le $\backslash \; mbox\; de\; division\; \{U\}\; (1)\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{U\}\; (n)$ induisant l'inverse.

2 sur la propriété 3

Le groupe unitaire est l'intersection de 3 fois du orthogonal, du symplectic, et des groupes complexes : $U\; de\; (n)\; =\; O\; (2n)\; \backslash \; chapeau\; GL\; (,\; de\; n\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; \backslash \; PS\; de\; chapeau\; (2n)$ Ainsi une structure unitaire peut être vue comme structure orthogonale, structure complexe, et structure symplectic, qui est exigée pour être le compatible (signification qu'on emploie le même J sous la structure complexe et la forme symplectic, et que ce J est orthogonal ; l'inscription de tous les groupes comme groupes de matrice fixe un J (qui est orthogonal) et assure la compatibilité).

En fait, c'est l'intersection de n'importe quel deux de ces trois ; ainsi une structure orthogonale et complexe compatible induisent une structure symplectic, et ainsi de suite.

Au niveau des équations, ceci peut être vu comme suit : de Symplectic : $A^TJA\; de\; =\; complexe\; de\; J$ : $A^\; de\; \{-\; 1\}\; JA\; =\; de\; J$ orthogonal : $A^T=A^\; de\; \{-\; 1\}$ N'importe quels deux de ces équations implique le tiers.

Au niveau des formes, ceci peut être vu en décomposant une forme hermitienne dans ses vraies et imaginaires pièces : la partie réelle est symétrique (orthogonal), et la partie imaginaire est biaiser-symétrique (symplectic) - et ceux-ci sont rapportés par la structure complexe (qui est la compatibilité). Sur de une tubulure de Kähler presque, on peut écrire cette décomposition comme $h=g\; +\; I\; \backslash \; omega$, où le h est la forme hermitienne, le g est le métrique Riemannian, le i est la structure presque complexe , et le $\backslash \; omega$ est la structure presque symplectic .

Du point de vue des groupes de Lie ceci peut en partie être expliqué comme suit : le $O\; (2n)$ est le sous-groupe compact maximal de $GL\; (2n,\; \backslash \; mathbf\; \{R\})$, et $U\; (n)$ est le sous-groupe compact maximal de $GL\; (,\; de\; n\; \backslash \; mathbf\; \{C\})$ et $Sp\; (n)$. Ainsi intersection de le $O\; (2n)\; \backslash chapeauGL\; (,\; de\; n\; \backslash \; mathbf\; \{C\})$ ou $O\; (2n)\; \backslash \; PS\; de\; chapeau\; (2n)$ est le sous-groupe compact maximal de les deux, ainsi le $U\; (n)$. De cette perspective, ce qui est inattendue est le $GL\; d\text{'}intersection\; (,\; de\; n\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; \backslash \; PS\; de\; chapeau\; (2n)\; =\; U\; (n)$.

G-structure : presque hermitien

Dans la langue des G-structures une tubulure avec un $\backslash \; mbox\; \{U\}\; (n)$-structure est une tubulure presque hermitienne .

Généralisations

Du point de vue de la théorie de mensonge de , le groupe unitaire classique est une vraie forme du $du\; groupe\; de\; Steinberg\; de\; \{\}\; ^2\; \backslash \; !\; A\_n$, qui est un groupe algébrique qui résulte de la combinaison de l'automorphisme de diagramme de du groupe linéaire général (renversant le diagramme $A\_n$ de Dynkin de , qui correspond pour transposer l'inverse) et de l'automorphisme de champ de du $de\; prolongation\; \backslash \; du/du\; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}$ (à savoir conjugaison complexe ). Ces deux automorphismes sont des automorphismes du groupe algébrique, ont l'ordre 2, et permutent, et le groupe unitaire est les points fixes de l'automorphisme de produit, en tant que groupe algébrique. Le groupe unitaire classique est une vraie forme de ce groupe, correspondant au $hermitiende\; la\; formestandard\; \backslash \; Psi$, qui est défini positif.

Ceci peut être généralisé d'un certain nombre de manières :
généralisant à l'autres $de\; groupes\; de\; rendements\; hermitiens\; de\; formes\; \backslash \; operatorname\; unitaires\; indéfinis\; \{U\}\; (p,\; q)$ ;
la prolongation de champ peut être remplacée par n'importe quelle algèbre séparable du degré 2, spécialement une prolongation du degré 2 d'un champ fini ;
la généralisation à d'autres diagrammes rapporte d'autres groupes de de type , à savoir l'autre $des\; groupes\; de\; Steinberg\; de\; \{\}\; ^2\; de\; mensonge\; \backslash \; !\; D\_n,\; \{\}\; ^2\; \backslash \; !\; E\_6,\; \{\}\; ^3\; \backslash \; !\; D\_4,$ (en plus de $\{\}\; ^2\; \backslash \; !\; A\_n$) et Suzuki-Ree groupe le $de\; \{\}\; ^2\; \backslash \; !\; B\_2\; \backslash \; parti\; (2^\; \{2n+1\}\; \backslash \; droit),\; \{\}\; ^2\; \backslash \; !\; F\_4\; \backslash \; parti\; (2^\; \{2n+1\}\; \backslash \; droit),\; \{\}\; ^2\; \backslash \; !\; G\_2\; \backslash \; (3^\; \{2n+1\}\; \backslash \; droit)$ laissé ;
vu un groupe unitaire généralisé en tant que groupe algébrique, on peut accepter ses points de vue au-dessus de diverses algèbres.

Formes indéfinies

Analogue au les groupes orthogonaux qu'indéfinis un peuvent un groupe unitaire indéfini définir , en considérant transforme qui préservent une forme hermitienne donnée, défini pas nécessairement positif (mais généralement pris pour être non-degenerate). Ici on fonctionne avec un espace de vecteur au-dessus des nombres complexes.

Donné un $hermitien\; de\; forme\; \backslash \; Psi$ sur un espace de vecteur complexe $V$, le groupe unitaire que le $U\; (\backslash \; livre\; parpouce\; carré)$ est le groupe de transforme qui préservent la forme : la transformation $M$ tels que = du $\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (système\; mv,\; Mw)\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (v,\; w)$ pour tout le $v,\; W\; \backslash \; dans\; V$. En termes de matrices, la représentation de la forme par une matrice a dénoté le $\backslash \; Phi$, ceci indique ce $M^*\; \backslash \; =\; de\; phi\; M\; \backslash \; Phi$.

Juste comme pour les formes symétriques au-dessus des reals, des formes hermitiennes sont déterminées par la signature , et sont tout le séparément conforme à une forme diagonale avec des entrées de $p$ de 1 sur la diagonale et des entrées de $q$ de $-1$. La prétention non-degenerate est équivalente à $p+q=n$. Dans une base standard, ceci est représenté comme forme quadratique comme : $de\; \backslash \; lVert\; z\; \backslash \; rVert\_\; \backslash \; Psi^2\; =\; \backslash \; lVert\; z\_1\; \backslash \; rVert^2\; +\; \backslash \; points\; +\; \backslash \; z\_p\; de\; lVert\; \backslash \; rVert^2\; -\; \backslash \; lVert\; z\_\; \{p+1\}\; \backslash \; rVert^2\; -\; \backslash \; points\; z\_n\; -\; \backslash \; lVert\; \backslash \; rVert^2$ et comme forme symétrique comme : $de\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (W,\; z)\; =\; \backslash \; barre\; w\_1\; z\_1\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; z\_p\; w\_p\; de\; barre\; -\; \backslash \; z\_\; w\_\; de\; barre\; \{p+1\}\; \{p+1\}\; -\; \backslash \; cdots\; w\_n\; z\_n$ - \ barre Le groupe en résultant est le $U\; dénoté\; (p,\; q)$.

Champs finis

Au-dessus du champ fini avec des éléments de $q=p^r$, $\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_q$, il y a un champ de prolongation unique du degré 2, $\backslash \; \_\; du\; mathbf\; \{F\}\; \{q^2\}$, avec le $\backslash \; alpha\; \backslash \; deux\; points\; X\; \backslash \; mapsto\; x^q$ (la puissance d'automorphisme de l'ordre 2 de $r$th de l'automorphisme de Frobenius de ). Ceci permet à on de définir une forme hermitienne sur un espace de vecteur du _ de $\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \{q^2\}$ $V$, pendant qu'un $\backslash \; le$ carte\; du\; mathbf\; \{F\}\; \_q$-bilinear\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; deux\; points\; V\; \backslash \; périodes\; V\; \backslash \; à\; K$ tels que le $\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (W,\; v)=\; \backslash \; alpha\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (v,\; w)\; \backslash \; droit)$ et =c de $\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (W,\; cv)\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (W,\; v)$ pour le $c\; \backslash \; dans\; \backslash \; \_\; de\; mathbf\; \{F\}\; \{q^2\}$. De plus, toutes les formes hermitiennes non-degenerate sur un espace de vecteur au-dessus d'un field< fini ! -- clair du contexte, mais de moi penser qu'il échoue les champs infinis du char de position--> être séparément conforme à le standard, représenté par la matrice d'identité, c., n'importe quelle forme de Hermetian est séparément équivalent au $de\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (W,\; v)=w^\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; v\; =\; \backslash \; w\_i^q\; v\_i$ ^n de sum_ {i=1} là où le $w\_i,\; v\_i$ représentent les coordonnées du $w,\; v\; \backslash \; dans\; V$ dans un certain _ particulier de $\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \{q^2\}$-basis de l'espace $V$ de $n$-dimensional.

Ainsi on peut définir le groupe unitaire (unique) d'a de la dimension $n$ pour le $de\; prolongation\; \backslash /\_\; du\; mathbf\; \{F\}\; \{q^2\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_q$, l'un ou l'autre dénoté comme $U\; (n,\; q)$ ou $U\; \backslash \; ont\; laissé\; (n,\; q^2\; \backslash \; droit)$ selon l'auteur. Le sous-groupe du groupe unitaire se composant des matrices de la cause déterminante 1 s'appelle le groupe unitaire spécial et $SU\; dénoté\; (n,\; q)$ ou $SU\; (n,\; q^2)$. Pour la convenance, cet article avec l'utilisation le $U\; (n,\; convention\; de\; q^2)$. Le centre du $U\; (n,\; q^2)$ a l'ordre $q+1$ et comprend les matrices scalaires qui sont unitaires, qui est ces matrices $cI\_V$ avec le $c^\; \{q+1\}\; =1$. Le centre du groupe unitaire spécial a le $d\text{'}ordre\; \backslash \; gcd\; (n,\; q+1)$ et se compose de ces grandeurs scalaires unitaires qui ont également l'ordre diviser $n$. Le quotient du groupe unitaire par son centre s'appelle le groupe unitaire projectif , $PU\; de\; (n,\; q^2)$, et le quotient du groupe unitaire spécial par son centre est le $PSU\; unitaire\; spécial\; projectif\; du\; groupe\; (n,\; q^2)$. Dans la plupart des cas ($n\; \backslash \; geq\; 2$ et $(n,\; q^2)\; \backslash \; notin\; \backslash \; \{(2,2^2),\; (2,3^2),\; (3,2^2)\; \backslash \}$), $SU\; (n,\; q^2)$ est un groupe parfait et $PSU\; (n,\; q^2)$ est un groupe simple fini.

Algèbres séparables du degré 2

Plus généralement, donné un champ $k$ et un degré 2 $k$-algebra séparables $K$ (qui peuvent être une prolongation de champ mais n'ont pas besoin d'être), on peut définir les groupes unitaires en ce qui concerne cette prolongation.

D'abord, il y a des $k$-automorphism uniques de $a\; \backslash \; de\; mapsto\; \backslash \; de\; barre\; a$ de $K$ qui est une involution et fixe exactement $k$ ($a=\; \backslash \; barre\; a$ si et seulement si $a\; \backslash \; dans\; k$). Ceci généralise la conjugaison complexe et la conjugaison des prolongements de champ fini du degré 2, et permet à on de définir les formes hermitiennes et les groupes unitaires comme ci-dessus.

Groupes algébriques

Les équations définissant un groupe unitaire sont des équations polynômes au-dessus de $k$ (mais pas au-dessus de $K$) : pour le $deformat\; standard\backslash \; Phi=I$ les équations sont données dans les matrices comme $A^*A=I$, où le $A^*=\; \backslash \; overline\; A^t$ est le conjugé de transposent . Donné une forme différente, elles sont $A^*\; \backslash \; phi\; A=\; \backslash \; Phi$. Le groupe unitaire est ainsi un groupe algébrique , dont les points au-dessus d'un $k$-algebra $R$ sont donné par : $de\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n,\; de\; K/k\; \backslash \; phi)\; (r)\; :\; =\; \backslash \; laissé\; \backslash \; \{A\; \backslash \; dans\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (n,\; K\; \backslash \; otimes\_k\; R)\; :\; A^*\; \backslash \; phi\; A=\; \backslash \; phi\; \backslash \; droit\; \backslash \}$

Pour le $de\; prolongation\; de\; champ\; \backslash /du\; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}$ et (défini positif) la forme hermitienne standard, ceux-ci rapportent un groupe algébrique avec de vrais et complexes points donnés par : $de\; \backslash \; operatorname\; \{U\}\; (n,\; \backslash /de\; mathbf\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\})\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash $ de$$

de l'operatorname {U} (n) \ operatorname {U} (n, \/de mathbf {C} \ mathbf {R}) (\ mathbf {C}) = \, de l'operatorname {GL} (n \ mathbf {C})

Classification de l'espace

Le classifiant l'espace pour le U ( n ) est décrit dans le d'article classifiant l'espace pour U (n) .

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