Groupe orthogonal

groupes d'IE

Dans les mathématiques , le groupe orthogonal de de degré n au-dessus d'un F du champ (écrit comme O ( n , F )) est le groupe n - par les matrices orthogonales du n avec des entrées du F , avec l'opération de groupe qui de la multiplication de Matrix de . C'est un sous-groupe du groupe linéaire général GL ( n , F ) de donné près $de \ mathrm {O} (n, F) = \ {Q \ dans \ mathrm {GL} (n, F) \ mi Q^T Q = Q Q^T = I \}.$

là où le Q^T est le transposer du Q . Le groupe orthogonal classique au-dessus des vrais nombres habituellement est juste écrit O ( n ).

Plus généralement le groupe orthogonal d'une forme quadratique non singulier au-dessus du F est le groupe de matrices préservant la forme. Le théorème de Cartan-Dieudonné de décrit la structure du groupe orthogonal.

Chaque matrice orthogonale a le déterminant 1 ou &minus ; 1. Le orthogonal n - par des matrices du n avec la forme de la cause déterminante 1 un sous-groupe normal d'O ( n , F ) connu sous le nom de groupe orthogonal spécial AINSI ( n , F ). Si le caractéristique du F est 2, puis 1 = &minus ; 1, par conséquent O ( n , F ) et AINSI ( n , F ) coïncident ; autrement l'index d'AINSI ( n , F ) en O ( n , F ) est 2. Dans la caractéristique 2 et même la dimension, beaucoup d'auteurs définissent AINSI ( n , F ) différemment comme grain du Dickson invariable ; alors il a habituellement l'index 2 en O ( n , F ).

O ( n , F ) et AINSI ( n , F ) sont les groupes algébriques parce que la condition qui une matrice soit orthogonale, c. font transposer son propre comme inverse, peut être exprimé comme ensemble d'équations polynômes en entrées de la matrice.

Au-dessus du champ de vrai nombre

Au-dessus du R de champ des vrais nombres le groupe orthogonal O ( n , R ) et le groupe orthogonal spécial AINSI ( n , R ) souvent sont simplement dénotés par O ( n ) et AINSI ( n ) si aucune confusion n'est possible. Ils forment les vrais groupes de Lie de du contrat de n ( n -1) /2. de la dimension qu'O ( n , R ) a deux les composants reliés par , avec AINSI ( n , R ) être le composant , c., le composant relié d'identité de contenant la matrice d'identité .

Les vrais groupes orthogonaux spéciaux orthogonaux et vrais ont les interprétations géométriques suivantes

O ( n , R ) est un sous-groupe du euclidien E ( n ), le groupe du groupe d'isometries du n de ^{du R ; il contient ceux qui laissent l'origine fixe. C'est le groupe de symétrie de la sphère ( n de = 3) ou Hypersphere et tous les objets avec la symétrie sphérique, si l'origine est choisie au centre.}

AINSI ( n , R ) est un sous-groupe d'isometries du E ⁺ ( n ), qui se compose des isometries directs du , c., préservant l'orientation ; il contient ceux qui laissent l'origine fixe. C'est le groupe de rotation de la sphère et de tous les objets avec la symétrie sphérique, si l'origine est choisie au centre.

{ I , &minus ; Le I } est un sous-groupe normal et même un sous-groupe caractéristique d'O ( n , R ), et, si le n est égal, aussi d'AINSI ( n , R ). Si le n est impair, O ( n , R ) est le produit direct d'AINSI ( n , R ) et { I , &minus ; I }. Le groupe cyclique k - le C_k des rotations de pli est pour chaque positif k de nombre entier un sous-groupe normal d'O (2, R ) et AINSI (2, R ).

Relativement aux bases orthogonales appropriées, les isometries sont de la forme : le $de \ commencent {bmatrix} \ commencer {matrice} R_1 et et \ \ et \ ddots et \ \ et et R_k \ extrémité {matrice} et 0 \ \ 0 et \ commence {} de matrice \ P. 1 et et \ \ et \ ddots et \ \ et \ et \ P. 1 \ extrémité {matrice} \ \ extrémité {bmatrix}$

là où le R ₁ de matrices,…, le k de _{du R sont 2 matrices de la rotation by-2.}

Le groupe de symétrie de d'un cercle est O (2, R ), a également appelé le Dih (S¹), où S¹ dénote le groupe multiplicatif de nombres complexes de la valeur absolue 1.

AINSI (2, R ) est isomorphe (en tant que groupe de Lie) au cercle S¹ (groupe de cercle de ). Cet isomorphisme envoie le nombre complexe exp (&phi ; i ) = cos (&phi ;) + péché du i (&phi ;) à orthogonal matrice

$\ commencent {} de bmatrix \ cos (\ phi) et \ \ de péché (\ phi) \ \ péché (\ phi) et \ cos (\) de phi \ extrémité {bmatrix}.$

Le groupe AINSI (3, R ), compris comme ensemble de rotations de l'espace à trois dimensions, est d'importance majeure en sciences et technologie. Voir le groupe de rotation de et la formule générale de pour 3 × ; matrice de 3 rotations en termes d'axe et angle .

En termes de topologie algébrique , pour le > du n ; 2 le groupe fondamental d'AINSI ( n , R ) est répétition de de l'ordre 2 , et le groupe de spineur de que la rotation de ( n ) est sa couverture universelle . Pour le n = 2 le groupe fondamental est la répétition infinie et la couverture universelle correspond à la vraie ligne .

L'algèbre de Lie s'est associée aux groupes de Lie O ( n , R ) et AINSI ( n , R ) comprend Biaiser-symétrique du le vrai n - par des matrices du n , avec la parenthèse de mensonge de donnée par le collecteur . Cette algèbre de Lie est souvent dénotée par o ( n , R ) ou par ainsi ( n , R ).

isometries 3D qui laissent l'origine fixe

Les isometries du 3 de ^{du R qui laissent l'origine fixe, constituant le groupe O ( 3 , R ), peuvent être classés par catégorie comme suit :
AINSI ( 3 , R ) :
identité
rotation autour d'un axe par l'origine par un angle non égal à 180°
rotation autour d'un axe par l'origine par un angle de 180°
les mêmes avec l'inversion de dans l'origine (le X est tracé au &minus ; X ), c. respectivement :
inversion dans l'origine
rotation autour d'un axe par un angle non égal à 180°, combiné avec la réflexion dans l'avion par l'origine qui est perpendiculaire à l'axe
réflexion dans un avion par l'origine Les 4èmes et les 5èmes en particulier, et dans un sens plus large le 6ème aussi, s'appellent les rotations inexactes
Voir également la vue d'ensemble semblable de comprenant les traductions .

Au-dessus du champ de nombre complexe
Au-dessus du C de champ des nombres complexes O ( n , C ) de et AINSI ( n , C ) sont les groupes de Lie complexes de n ( n -1) de dimension /2 fini C (qui signifie que la dimension au-dessus du R est deux fois celle). O ( n , C ) a deux composants reliés, et AINSI ( n , C ) est le composant relié contenant la matrice d'identité. Pour le &ge du n ; 2 ces groupes sont non-compactes.
Juste comme dans le vrai cas AINSI ( n , C ) n'est pas simplement relié. Pour le > du n ; 2 le groupe fondamental d'AINSI ( n , C ) est répétition de de l'ordre 2 tandis que le groupe fondamental d'AINSI (2, C ) est la répétition infinie .
L'algèbre de Lie complexe associée à O ( n , C ) et AINSI ( n , C ) comprend le complexe Biaiser-symétrique du n - par des matrices du n , avec la parenthèse de mensonge de donnée par le collecteur .

Topologie
Bas dimensionnel
Les bas (vrais) groupes orthogonaux dimensionnels sont les espaces familiers : le $de \ commencent {aligner} 0) &= d'O (\ sont partis \ {1 \ droit \} = * \ \ O (1) le &= \ est parti \ {\ P. 1 \ droit \} = S^0 \ \ AINSI (2) \ de &= S^1 \ AINSI (3) &= \ mathbf {RP} ^3 \ extrémité {aligner}$
Groupes de Homotopy
Les groupes homotopy du groupe orthogonal sont liés aux groupes de Homotopy de de sphères , et sont ainsi en général difficiles de calculer. Cependant, un peut calculer homotopy groupe de stable orthogonal groupe (aka le groupe orthogonal infini), défini en tant que direct limite de ordre de inclusion

$O (0) \ sous-ensemble O (1) \ sous-ensemble O (2) \ sous-ensemble \ cdots \ sous-ensemble O = \ ^ de bigcup_ {k=0} \ O infty (k)$ (car les inclusions sont toutes les inclusions fermées, par conséquent le Cofibrations ceci peut également être interprété comme union).
$S^n$ est un espace homogène pour le $O (n+1)$ , et un a le faisceau de fibres suivant : $O de (n) \ à O (n+1) \ à S^n,$ ce qui peut être compris comme " ; Le $O orthogonal de groupe (n+1)$ agit transitif sur la sphère d'unité $S^n$ , et le stabilisateur d'un point (considéré comme vecteur d'unité) est le groupe orthogonal du complément perpendiculaire, qui est un lower" orthogonal de dimension du groupe un ;. Le $(n) \ à O (n+1)$ est l'inclusion normale.
Ainsi le $O d'inclusion (n) \ à O (n+1)$ est '' (n-1) '' - reliés, ainsi les groupes homotopy stabilisent, et $\ pi_k (O) = \ pi_k (O (n))$ pour le $n > le k + le 1$ : ainsi les groupes homotopy de l'espace stable égalent les groupes homotopy inférieurs des espaces instables.
Par l'intermédiaire de la périodicité de Bott de , le $\ Omega^8 O \ simeq O$ , ainsi les groupes homotopy de O sont 8 fois périodique, signifiant = de $\ pi_ {k+8} O \ pi_k O$ , et un calcul du besoin seulement les 8 groupes homotopy inférieurs pour les calculer tous.
le $\ commencent {aligner} \ pi_0 O \ de &= \ mathbf Z/2 \ \ pi_1 O \ de &= \ mathbf Z/2 \ \ pi_2 O \ du &= 0 \ \ pi_3 O \ de &= \ mathbf Z \ \ pi_4 O \ du &= 0 \ \ pi_5 O \ du &= 0 \ \ pi_6 O \ du &= 0 \ \ pi_7 O \ de &= \ mathbf Z \ \ extrémité {aligner}$

Relation à la KO-théorie
Par l'intermédiaire du saisissant la construction , des groupes homotopy du stable O de l'espace sont identifiés avec les paquets stables de vecteur sur des sphères (jusqu'à l'isomorphisme), avec un décalage de dimension de 1 : = de $\ pi_k O \ pi_ {k+1} BO$ .
Le $KO d'arrangement = la BO \ temps \ = de mathbf Z \ Omega^ {- 1} O \ périodes \ mathbf Z$ (pour transformer $\ pi_0$ adapté en périodicité), un obtient :
le $\ commencent {aligner} \ pi_0 KO \ de &= \ mathbf Z \ \ pi_1 KO \ de &= \ mathbf Z/2 \ \ pi_2 KO \ de &= \ mathbf Z/2 \ \ pi_3 KO \ du &= 0 \ \ pi_4 KO \ de &= \ mathbf Z \ \ pi_5 KO \ du &= 0 \ \ pi_6 KO \ du &= 0 \ \ pi_7 KO \ du &= 0 \ \ extrémité {aligner}$

Calcul et interprétation des groupes homotopy
groupes Bas-dimensionnels
Les groupes homotopy premiers peuvent être calculés en employant les descriptions concrètes des groupes bas-dimensionnels.
$de \ pi_0 (O) = \ pi_0 = (d'O (1)) \ mathbf Z/2$ d'orientation - préservation/s'inversant de (cette classe survit au $O (2)$ et par conséquent stablement) $SO (3) = \ mathbf {RP} ^3 = S^3/(\ mathbf Z/2)$ rapporte le
$\ pi_1 (O) = \ pi_1 (AINSI (3)) = \ mathbf Z/2$ qui est la rotation
$\ pi_2 (O) = \ pi_2 (AINSI (3)) = 0$ , qui surjects sur le $\ pi_2 (AINSI (4))$ ; ce ce dernier disparaît ainsi
Groupes de Lie
Des faits généraux sur le $des groupes de Lie \ pi_2 G$ disparaît toujours, et le $\ pi_3 G$ est libre (abélien libre).
Paquets de vecteur
Du point de vue de paquet de vecteur, le $\ pi_0 (KO)$ est des paquets de vecteur au-dessus de $S^0$ , qui est deux points. Ainsi au-dessus de chaque point, le paquet est insignifiant, et la non-trivialité du paquet est la différence entre les dimensions des espaces de vecteur au-dessus des deux points, ainsi = le $\ pi_0 (KO) de \ mathbf Z$ est la dimension de
Les espaces de boucle
Using des descriptions concrètes des espaces de boucle dans la périodicité de Bott de , on peut interpréter plus haut homotopy du O en tant que homotopy inférieur de simple pour analyser les espaces. Using le $\ pi_0$ , le O et le O/U ont deux composants, le $\ mathbf Z$ et $KSp = BSp \ périodes \ mathbf Z$ ont des composants de $\ mathbf Z$ , et le repos sont reliés.
Interprétation des groupes homotopy
En un mot :
= le $\ pi_0 (KO) \ mathbf Z$ est la dimension
= le $\ pi_1 (KO) \ mathbf Z/2$ est l'orientation
= le $\ pi_2 (KO) \ mathbf Z/2$ est la rotation
= le $\ pi_4 (KO) \ mathbf Z$ est la théorie des champs topologique de quantum
Laisser le $F = \, du mathbf R \, du mathbf C, \ mathbf H \ mathbf O$ , et laisser $L_F$ être la ligne tautologique paquet au-dessus de la ligne projective $\ mathbf {point de gel} ^1$ , et sa classe dans la K-théorie. Noter que le $\ mathbf {RP} ^1 = S^1, \ mathbf {CP} ^1 = S^2, \ mathbf {HP} ^1 = S^4, \ mathbf ^1 = S^8$ {OP}, ceux-ci rapportent des paquets de vecteur au-dessus des sphères correspondantes, et
le $\ pi_1 (KO)$ est produit par le $R}$
le $\ pi_2 (KO)$ est produit par le $C}$
le $\ pi_4 (KO)$ est produit par le $H}$
le $\ pi_8 (KO)$ est produit par le $O}$

Au-dessus des champs finis
Des groupes orthogonaux peuvent également être définis au-dessus du $de champs finis \ du mathbf {F} _q$ , où $q$ est une puissance d'un $p$ principal. Une fois définis au-dessus de tels champs, ils viennent dans deux saisit même la dimension : $O^+ (2n, q)$ et $O^- (2n, q)$ ; et on saisissent la dimension impaire : $O (2n+1, q)$ .
Si le $V$ est l'espace de vecteur sur lequel les actes orthogonaux du $G$ de groupe, il peuvent être écrits comme somme orthogonale directe comme suit : $V de = L_1 + L_2 + \ cdots + L_m + W$ ,
là où le $L_i$ sont les lignes hyperboliques et le $W$ ne contient aucun vecteur de singulier. Si le $W = 0$ , alors le $G$ est de type positif. Si le $W = le G de$ alors a impair pour dimensionner. Si le $W$ a la dimension 2, le $G$ est de type moindre.
Dans le cas spécial où n = 1, $O^ \ epsilon (2, q)$ est un groupe dièdre d'ordre $2 (- de q \ epsilon)$ .
Nous avons les formules suivantes pour l'ordre de ces groupes, O ( n , q ) = { A dans GL ( n , q ) : · du A ; A ^t=I}, quand la caractéristique est plus grande que deux.
$|O (2n+1, q)|=2q^n \ ^ du prod_ {i=0} {n-1} (q^ {2n} - q^ {2i})$
Si $-1$ est à angle droit dans le $\ mathbf {F} _q$
$|O (2n, q)|=2 (q^n-1) \ ^ du prod_ {i=1} {n-1} (q^ {2n} - q^ {2i})$
Si $-1$ est un nonsquare dans le $\ mathbf {F} _q$
$|O (2n, q)|=2 ^ (de q^n+ (- 1) {n+1}) \ ^ de prod_ {i=1} {n-1} (q^ {2n} - q^ {2i})$

Le Dickson invariable
Pour les groupes orthogonaux dans même des dimensions, le Dickson invariable est un homomorphisme du groupe orthogonal au Z du Z /2, et est 0 ou 1 selon si un élément est le produit d'un nombre pair ou impair de réflexions. Au-dessus des champs qui ne sont pas de la caractéristique 2 il est équivalent à la cause déterminante : la cause déterminante est &minus ; 1 à la puissance du Dickson invariable. Au-dessus des champs de la caractéristique 2, la cause déterminante est toujours 1, ainsi le Dickson invariable fournit l'information supplémentaire. Dans la caractéristique 2 beaucoup d'auteurs définissent le groupe orthogonal spécial pour être les éléments de Dickson 0 invariable, plutôt que les éléments de la cause déterminante 1.
Le Dickson invariable peut également être défini pour les groupes de Clifford de et les groupes de Pin de d'une manière semblable (dans toutes les dimensions).

Groupes orthogonaux de la caractéristique 2
Au-dessus des champs des groupes orthogonaux de la caractéristique 2 se comporter souvent différemment. Cette section énumère certaines des différences.

n'importe quel groupe orthogonal au-dessus de n'importe quel champ est produit par des réflexions, excepté un exemple unique où l'espace de vecteur est 4 dimensionnels au-dessus du champ avec 2 éléments et l'index de Witt est 2. Noter qu'une réflexion dans la caractéristique deux a une définition légèrement différente. Dans la caractéristique deux, l'orthgonal de réflexion à un u de vecteur prend un v de vecteur au · du v +B ( v , u ) /Q ( u ) ; le u où le B est la forme et le bilinéaires Q est la forme quadratique associée à la géométrie orthogonale. Comparer ceci à la réflexion de chef de ménage de de caractéristique impair ou de la caractéristique zéro, qui prennent le v au v -2· ; · de B ( v , u ) /Q ( u ) ; u .

le centre du groupe orthogonal a habituellement l'ordre 1 dans la caractéristique 2, plutôt que 2.

dans le impair n +1 des dimensions 2 dans la caractéristique 2, les groupes orthogonaux au-dessus des champs parfaits sont identique que les groupes symplectic dans le n de la dimension 2. En fait la forme symétrique alterne dans la caractéristique 2, et car la dimension est impaire il doit avoir un grain de la dimension 1, et le quotient par ce grain est un espace symplectic du n de la dimension 2, agi au moment par le groupe orthogonal.

dans même des dimensions dans la caractéristique 2 le groupe orthogonal est un sous-groupe du groupe symplectic, parce que la forme bilinéaire symétrique de la forme quadratique est également une forme alternative.

La norme de spineur < ! -- Cette section est liée de l'algèbre de Clifford de -->
La norme de spineur de est un homomorphisme d'un groupe orthogonal au-dessus d'un F de champ à F ^*2, DU F ^*/DE
DE
DE le groupe multiplicatif du du F de champ jusqu'aux éléments carrés de , ce prend la réflexion dans un vecteur du n de norme à l'image du n dans le F ^*2 du F ^*/.
Pour le groupe orthogonal habituel au-dessus des reals il est insignifiant, mais il est souvent non trivial au-dessus d'autres champs, ou pour le groupe orthogonal d'une forme quadratique au-dessus des reals qui n'est pas définie positif.

Cohomology de Galois et groupes orthogonaux
Dans la théorie du cohomology de Galois de des groupes algébriques quelques autres points de vue sont présentés. Ils ont la valeur explicative, en particulier en relation avec la théorie de formes quadratiques ; mais étaient pour la plupart le poteau hoc de , en ce qui concerne la découverte des phénomènes. Le premier point est que les formes d'équation quadratique de au-dessus d'un champ peuvent être identifiées en tant qu'un H ¹ de Galois, ou formes tordues ( Torsors d'un groupe orthogonal. En tant que groupe algébrique, un groupe orthogonal en général ni n'est relié ni simple-est relié ; le dernier point apporte les phénomènes de rotation, alors que l'ancien est lié au discriminant.
Le nom de « rotation » de la norme de spineur peut être expliqué par un raccordement au groupe (plus exactement un groupe de rotation de de Pin de ). Ceci peut être maintenant expliqué rapidement par le cohomology de Galois (qui cependant postdate l'introduction de la limite par plus utilisation directe des algèbres de Clifford de . La bâche de rotation du groupe orthogonal fournit un ordre exact de short de du $algébrique 1 \ rightarrow \ mu_2 \ rightarrow Pin_V \ rightarrow O_V \ rightarrow 1$ de des groupes Ici &mu ; ₂ est le groupe algébrique de de racines carrées de 1 ; au-dessus d'un champ de la caractéristique non 2 c'est rudement pareil comme groupe de deux-élément avec l'action insignifiante de Galois. L'homomorphisme se reliant du H ⁰ ( O _V) qui est simplement le O _V ( F ) de groupe du F - points évalués, au H ¹ (&mu ; ₂) est essentiellement la norme de spineur, parce que le H ¹ (&mu ; ₂) est isomorphe au groupe multiplicatif des places de modulo de champ.
Il y a également l'homomorphisme se reliant du H ¹ du groupe orthogonal, au H ² du grain de la bâche de rotation. Le cohomology est non-abélien, de sorte que ce soit dans la mesure où nous pouvons aller, au moins avec les définitions conventionnelles.

Apostilles .
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