Groupe fondamental

Dans les mathématiques , le groupe fondamental est l'un des concepts de base de la topologie algébrique . Lié à chaque point d'un espace topologique il y a un groupe fondamental qui donne des informations sur la structure à une dimension de la partie de l'espace entourant le point indiqué. Le groupe fondamental est le premier groupe de Homotopy de .

Intuition et définition

Avant de donner une définition précise du groupe fondamental, nous essayons de décrire l'idée générale en termes non-mathématiques. Accepter un certain espace, et un certain point de vue dans lui, et considérer toutes les boucles en ce moment - les chemins qui démarrent en ce moment, errent autour autant qu'ils aiment et par la suite retour au point de départ. Deux boucles peuvent être combinées ensemble d'une manière évidente : voyager le long de la première boucle, puis le long de la deuxième. L'ensemble de toutes les boucles avec cette méthode de les combiner est le groupe fondamental, sauf que pour des raisons techniques il est nécessaire de considérer comme étant deux boucles le même si une peut être déformée dans l'autre sans rupture.

Pour la définition précise, laisser le X être un espace topologique, et laisser le X ₀ être un point de X . Nous sommes intéressés par l'ensemble de continu f de fonctions du : &rarr ; X avec la propriété ce f (0) = X ₀ = f (1). Ces fonctions s'appellent les boucles de de avec le X ₀ du point de base de . Deux telles boucles quelconques, indiquent le f et le g , sont considérés équivalent s'il y a un h de fonction continue : × ; &rarr ; X avec la propriété qui, pour tout le t dedans, h ( t , 0) = f ( t ), h ( t , 1) = g ( t ) et h (0, t ) = X ₀ = h (1, t ). Un tel h s'appelle un homotopy du f au g , et les classes correspondantes d'équivalence en s'appellent les classes homotopy .

Le &lowast du f de produit ; le g du f de deux boucles et du g est défini par l'établissement (&lowast de f ; g ) (t) = f (2 t ) si le t est dedans et (&lowast de f ; g ) (t) = g (2 &minus de t ; 1) si le t est dedans. Le &lowast du f de boucle ; le g suit ainsi d'abord le f de boucle avec le " ; deux fois le speed" ; et suit alors le g avec deux fois la vitesse. Le produit de deux classes homotopy des boucles et est alors défini comme &lowast ; '' g '', et lui peuvent montrer que ce produit ne dépend pas du choix des représentants.

Avec le produit ci-dessus, l'ensemble de toutes les classes homotopy des boucles avec le bas X ₀ de point forme le groupe fondamental de X au X ₀ de point et est le $dénoté de \ pi_1 (X, x_0),$ ou simplement &pi ; ( X , X ₀). L'élément d'identité est la carte constante au basepoint, et l'inverse d'un f de boucle est le g de boucle défini par le g (t) = f (1 &minus ; t ). C'est-à-dire, le g suit le f vers l'arrière.

Bien que le groupe fondamental dépende en général du choix du point bas, il s'avère que, le jusqu'à l'isomorphisme de , ce choix ne fait aucune différence si le X de l'espace est chemin-relié par . Pour les espaces chemin-reliés, donc, nous pouvons écrire le &pi ; ₁ ( X ) au lieu de &pi ; ₁ ( X , X ₀) sans ambiguïté toutes les fois que nous nous inquiétons de la classe d'isomorphisme de seulement.

Exemples

Dans beaucoup d'espaces, tels que le n de ^{du R , ou n'importe quel sous-ensemble convexe n} de ^{du R , là est seulement une classe homotopy des boucles, et le groupe fondamental est donc insignifiant, c. Un espace chemin-relié avec un groupe fondamental insignifiant serait le simplement relié. Un exemple plus intéressant est fourni par le cercle . Il s'avère que chaque classe homotopy se compose de toutes les boucles qui enroulent autour du cercle un nombre de fois donné (qui peuvent être positives ou négatives, selon la direction de l'enroulement). Le produit d'une boucle qui s'enroule autour des temps du m et des autres que les vents autour des temps du n est une boucle qui s'enroule autour du m + temps du n . Ainsi le groupe fondamental du cercle est le isomorphe au $(\ mathbb {Z}, +)$ , le groupe additif de nombres entiers ce fait peut être employé pour fournir des preuves du théorème de point fixe de Brouwer de et du théorème de Borsuk-Ulam de dans la dimension 2.
Puisque le groupe fondamental est un invariable homotopy, la théorie du nombre d'enroulement de pour le plan complexe sans un point est la même que pour le cercle.
À la différence des groupes d'homologie de et des groupes homotopy plus élevés s'est associé à un espace topologique, le groupe fondamental n'ont pas besoin d'être le abélien. Par exemple, le groupe fondamental d'un G du graphique est un groupe libre . Ici le rang du groupe libre est égal à 1 &minus ; &chi ; ( G ) : un sans le Euler caractéristique du G , quand le G est relié. Un exemple légèrement plus sophistiqué d'un espace avec un groupe fondamental non-abélien est le complément d'un noeud de minette de dans le R ³.

Functoriality
Si f : &rarr du X ; Le Y est une carte continue, le X ₀&isin ; X et y ₀&isin ; Le Y avec le f ( X ₀) = le y ₀, alors chaque boucle dans le X avec le bas X ₀ de point peut se composer avec le f pour rapporter une boucle dans le Y avec le bas y ₀ de point. Cette opération est compatible avec la relation d'équivalence homotopy et avec la composition des boucles. L'homomorphisme en résultant de groupe de , appelé le a induit l'homomorphisme , est écrit comme &pi ; ( f ) ou, généralement,

$f_* \ deux points \) X, x_0 \ à \ pi_1 de pi_1 ((Y, y_0).$ Nous obtenons ainsi un functor de la catégorie de des espaces topologiques avec le point bas à la catégorie de des groupes . Il s'avère que ce functor ne peut pas distinguer les cartes qui sont parent homotope du le point bas : si f et g : &rarr du X ; Le Y sont les cartes continues avec le f ( X ₀) = le g ( X ₀) = le y ₀, et le f et le g sont relatifs homotope { X ₀}, puis le f _* = g _*. Par conséquent, les deux espaces chemin-reliés équivalents homotopy ont les groupes fondamentaux isomorphes :

$X \ simeq Y \ Rightarrow \) X, x_0 \ cong \ pi_1 de pi_1 ((Y, y_0).$
Le functor fondamental de groupe prend les produits aux produits et au Coproducts aux coproducts. C'est-à-dire, si le X et le Y sont chemin relié, puis $de \ pi_1 (= de X \ périodes Y) \ pi_1 (X) \ périodes \ pi_1 (Y)$ et $de \ pi_1 (= de X \ vé Y) \ pi_1 (X) * \ pi_1 (Y).$ (Dans la dernière formule, le $\ vee$ dénote la somme de cale de des espaces topologiques, et * le produit libre des groupes.) Les deux formules généralisent aux produits arbitraires. En outre la dernière formule est un cas spécial du théorème de Kampen de Seifert-fourgon de qui déclare que le functor fondamental de groupe prend les extractions le long des inclusions aux extractions.

Fibrations
voient également : Fibration
Une généralisation d'un produit des espaces est donnée par un Fibration , $F de \ rightarrow E \ rightarrow B.$
Ici le E de l'espace total est une sorte de " ; product" twisted ; du B de l'espace de base de et du F de la fibre . En général les groupes fondamentaux de B , de E et de F sont les limites dans un long ordre exact impliquant des groupes homotopy plus élevés . Quand tous les espaces sont reliés, ceci a les conséquences suivantes pour les groupes fondamentaux :
&pi de
; ₁ ( B ) et &pi ; ₁ ( E ) sont isomorphes si le F est simplement relié
&pi ; ₁ ( B ) et &pi ; ₁ ( F ) sont isomorphes si le E est contractible

Rapport avec le premier groupe d'homologie
Les groupes fondamentaux d'un X de l'espace topologique sont liés à son premier groupe singulier d'homologie de , parce qu'une boucle est également un cycle du singulier 1. La cartographie de la classe homotopy de chaque boucle à un bas X ₀ de point au cours d'homologie de la boucle donne un homomorphisme du &pi fondamental de groupe ; ( X , X ₀) au H ₁ ( X ) de groupe d'homologie. Si le X chemin-est relié, alors cet homomorphisme est le surjectif et son grain est le sous-groupe de collecteur de de &pi ; ( X , X ₀), et H ₁ ( X ) est donc isomorphe à l'abelianization du &pi ; ( X , X ₀). C'est un cas spécial du théorème de Hurewicz de de la topologie algébrique. L'espace universel de bâche
voient également :
l'espace de bâche de Si le X est un espace topologique qui est chemin relié, localement chemin relié et localement simplement relié, alors il a un espace universel simplement relié de bâche de sur lequel le &pi fondamental de groupe ; ( X , X ₀) le agit librement par les transformations de plate-forme de avec le X de l'espace de quotient . Cet espace peut être construit de façon analogue au groupe fondamental par la prise des paires ( X , γ), là où le X est un point dans le X et le γ est un homotopy classe des chemins du X ₀ au X et à l'action du &pi ; ( X , X ₀) est par la concaténation des chemins. On le détermine uniquement comme espace de bâche.

Exemples
Laisser le G être relié, a simplement relié le groupe de Lie compact , par exemple le unitaire spécial n de _{du SU de du groupe , et laisse Γ être un sous-groupe fini du G . Puis le homogène X de l'espace = G /Γ a le groupe fondamental Γ, qui agit par bonne multiplication sur le universel G de l'espace de bâche. Parmi les nombreuses variantes de cette construction, une des plus importante est donnée par le =Γ du X des espaces localement \ symétriques G / K , où
le G de est un groupe de Lie simplement relié et relié non-compacte (souvent semisimple ),
Le K est un sous-groupe compact maximal du G
Γ est un sous-groupe Torsion-libre du comptable discret du G .
Dans ce cas-ci le groupe fondamental est Γ et le universel G / K de l'espace de bâche est réellement Contractible (par la décomposition de Cartan de pour groupes de Lie .
Prendre comme exemple le G = SL ₂ ( R ), K = AINSI ₂ et Γ n'importe quel sous-groupe torsion-libre de congruence de du modulaire SL ₂ ( Z ) du groupe .
Un exemple encore plus simple est donné par le G = le R (de sorte que le K soit insignifiant) et Γ = Z : dans ce cas-ci X = R / Z = S ¹.
De la réalisation explicite, il découle également que l'espace universel de bâche d'un topologique H du groupe relié par chemin est encore un topologique G de groupe relié par chemin. D'ailleurs la carte de bâche est un homomorphisme ouvert continu du G sur le H avec le grain Γ, un sous-groupe normal discret fermé de du G : $1 \ rightarrow \ gamma \ rightarrow G \ rightarrow H \ rightarrow 1.$ de

Puisque le G est un groupe relié avec une action continue par conjugaison sur un groupe discret Γ, il doit agir trivialement, de sorte que Γ doive être un sous-groupe du centre du G . En particulier &pi ; ₁ ( H ) = Γ est un groupe abélien ; ceci peut également facilement être vu directement sans employer les espaces de bâche. Le G de groupe s'appelle le groupe universel de bâche de de H .

groupe de Bord-chemin d'un complexe simplicial
Si le X est un Simplicial complexe de relié par , un bord-chemin de dans le X est défini pour être une chaîne des sommets reliés par des bords dans le X . Deux bord-chemins serait le bord-équivalent si un peut être obtenu à partir de l'autre en commutant successivement entre un bord et les deux bords opposés d'une triangle dans le X . Si le v est un sommet fixe dans le X , une bord-boucle de au v est un bord-chemin démarrant et finissant au v . Le E ( X , v ) du groupe de bord-chemin de est défini à être l'ensemble de classes de bord-équivalence des bord-boucles au v , avec le produit et l'inverse définis par concaténation et inversion des bord-boucles. Le groupe de bord-chemin est naturellement isomorphe à π₁ (| X |, v ), le groupe fondamental de la réalisation géométrique | X | du X . Puisqu'il dépend seulement du 2 squelettique ² du X du X (c. les sommets, les bords et les triangles de X ), les groupes π₁ (| X |, v ) et π₁ (| ² du X |, le v ) sont isomorphe.
Le groupe de bord-chemin peut être décrit explicitement en termes de générateurs et relations . Si le T est un enjambement maximal de - l'arbre dans le 1 squelettique du X , alors du E ( X , v ) est canoniquement isomorphe au groupe avec des générateurs les bords orientés du X ne se produisant pas dans le T et les relations que les bord-équivalences correspondant aux triangles dans le X contenant un ou plusieurs affilent pas dans le T . Un résultat similaire tient si le T est remplacé par n'importe quel simplement relié - en particulier Contractible - subcomplex du X . Ceci souvent donne une manière pratique de calculer les groupes fondamentaux et peut être employé pour prouver que chaque groupe de façon finie présenté surgit comme groupe fondamental d'un complexe simplicial fini. Il est également l'une des méthodes classiques employées pour les surfaces topologiques du qui sont classifiées par leurs groupes fondamentaux.
L'espace universel de bâche de d'un complexe simplicial relié fini X peut également être décrit directement comme complexe simplicial using des bord-chemins. Ses sommets sont des paires ( W , γ) où le W est un sommet du X et le γ est une classe de bord-équivalence des chemins du v au W . Le k - simplex contenant ( W , γ) correspondre naturellement au k - simplex contenant le W . Chaque nouveau u de sommet du k - le simplex donne à un wu de bord et par conséquent, par concaténation, un nouveau u de γ_{de chemin du v au u . Les points ( W , γ) et ( u , u} de γ_{) sont les sommets du " ; transported" ; simplex dans l'espace universel de bâche. Le groupe de bord-chemin agit naturellement par concaténation, préservant la structure simplicial, et l'espace de quotient est juste le X .}
Il est bien connu que cette méthode puisse également être employée pour calculer le groupe fondamental d'un espace topologique arbitraire. Ceci a été sans aucun doute connu au Cech et au Leray et explicitement apparu comme remarque dans un papier par le Weil (1960) ; divers autres auteurs tels que L. Berikashvili ont également édité des preuves. Dans le cas le plus simple d'un compact X de l'espace avec un fini ouvrent la bâche dans laquelle toutes les intersections finies non vides des ensembles ouverts dans la bâche sont contractible, le groupe fondamental peuvent être identifiés avec le groupe de bord-chemin de la correspondance complexe simplicial au nerf de de la bâche .

Réalisabilité
Chaque groupe peut être réalisé comme groupe fondamental d'un Onde-complexe de relié par de la dimension 2 (ou plus haut). Comme remarquable ci-dessus, bien que, seulement les groupes libres puissent se produire en tant que groupes fondamentaux d'Onde-complexes à une dimension (c'est-à-dire, graphiques). Chaque groupe de façon finie présenté peut être réalisé comme groupe fondamental d'un contrat , relié, la tubulure douce de la dimension 4 (ou plus haut). Mais il y a des restrictions graves sur lesquelles les groupes se produisent en tant que groupes fondamentaux de tubulures bas-dimensionnelles. Par exemple, aucun groupe abélien libre du grade 4 ou plus haut ne peut être réalisé comme groupe fondamental d'une tubulure de la dimension 3 ou moins.

Concepts relatifs
Le groupe de principe fondamental mesure la structure à une dimension de trou d'un espace. Pour étudier le " ; holes" haut-dimensionnel ; , les groupes de Homotopy de sont employés. Les éléments du n - le groupe homotopy de Th de X sont les classes homotopy (basepoint-préservant) des cartes du n}} de ^{du S au X . L'ensemble de boucles à un point bas particulier peut être étudié sans considérer les boucles homotopes en tant qu'équivalent. Ce plus grand objet est l'espace de boucle de .

Groupoid fondamental
Plutôt que choisissant un point et considérant les boucles basées à ce point jusqu'à homotopy, on peut également considérer le tous les chemins de dans l'espace jusqu'à homotopy (fixant le point initial et final). Ceci rapporte pas un groupe mais un Groupoid , le groupoid fondamental de l'espace.
Voir également
Il y a également les notions semblables du groupe fondamental pour les variétés algébriques (le groupe fondamental d'étale de ) et pour le Orbifolds (le groupe fondamental d'orbifold de ).
Lien

Animations à présenter au groupe fondamental par Nicolas Delanoue .
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