Groupe de triangle

Dans les mathématiques , les groupes de triangle de sont les groupes qui peuvent être réalisés géométriquement par des ordres des réflexions à travers les côtés de certaines triangles . Chaque groupe de triangle représente des symétries d'un carrelage par les triangles conformes du . La triangle peut être une triangle euclidienne du ordinaire , ou une triangle dans la sphère , ou dans l'avion hyperbolique .

Définition

Le $du\; groupe\; detrianglede\; \backslash \; delta\; (l,\; m,\; n)$ est un groupe de mouvements de l'avion euclidien , de la sphère bidimensionnelle , ou de l'avion hyperbolique . Donné une triangle avec le $d\text{'}angles\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{l\}$, le $\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{m\}$, et $\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{n\},$ le groupe correspondant est produit par les réflexions dans les côtés de la triangle. Le produit des réflexions dans deux côtés adjacents est une rotation par l'angle qui le double de l'angle entre les côtés. Par conséquent, si les réflexions se produisantes sont marquées $a,\; b,\; c$ et les angles entre eux dans l'ordre cyclique sont comme donnés ci-dessus, puis la prise suivante de relations : $a^2=b^2=c^2=1\; de$

, \ ^n= ^l= du quadruple (ab) (avant Jésus Christ) (Ca) ^m=1. C'est un théorème que toutes autres relations entre le $a,\; b,\; c$ sont des conséquences de ces relations. Un groupe abstrait de triangle peut être défini par la présentation de groupe de $de$

\ delta (l, m, n)= \ langle a, b, c \ mi a^2, b^2, c^2, ^l (ab), (avant Jésus Christ) ^n, ^m (Ca) \ rangle là où le $l,\; m,\; n$ sont des nombres entiers supérieur ou égal à 2. groupes de triangle sont les groupes de Coxeter de avec trois générateurs.

Classification

Donné tous les nombres normaux le $l,\; m,\; n\; \backslash \; geq\; 2,$ là est exactement l'une géométrie bidimensionnelle (euclidien, sphérique, ou hyperbolique) qui admet une triangle avec le $\backslash \; frac\; d\text{'}angles\; \{\backslash \; pi\}\; \{l\}$, $\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{m\}$, et $\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{n\}.$ d'ailleurs, deux telles triangles quelconques sont conformes. Le type de la géométrie est déterminé par la somme des angles de la triangle : Euclidien si c'est exactement le $\backslash \; pi,$ sphérique s'il dépasse le $\backslash \; pi,$ et hyperbolique s'il est strictement plus petit que le $\backslash \; pi.$

En termes de $l\; de\; nombres,\; m,\; n\; \backslash \; geq\; 2,$ là sont les possibilités suivantes :
Le cas euclidien : de
+ de $\backslash \; frac\; de\; \{1\}\; \{l\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\; +\; \backslash$
du frac {1} {n} =1. le groupe de triangle est le groupe infini de symétrie de d'un certain carrelage de l'avion euclidien par les triangles ordinaires dont les angles ajoutent au $\backslash \; pi$. Jusqu'aux permutations, le $triple(l,\; m,\; n)$ est un du $de\; triples\; (2.$ les groupes correspondants de triangle sont des exemples de
s groupes de papier peint de Le cas sphérique : de
+ de $\backslash \; frac\; de\; \{1\}\; \{l\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\; +\; \backslash$
du frac {1} {n} >1. le groupe de triangle est le groupe fini de symétrie d'un carrelage de la sphère par les triangles sphériques ou les triangles de Schwarz de dont les angles ajoutent à un nombre plus grand que le $\backslash \; pi$. Jusqu'aux permutations, le $triple\; (l,\; m,\; n)$ a le $de\; forme\; (2.5),$ ou $(2.2,\; groupes\; de\; triangle\; sphérique\; de\; n).$ peuvent être identifiés avec les groupes de symétrie de polyèdres réguliers : Le $\backslash \; delta\; (2.3)$ correspond au tétraèdre , au $\backslash \; au\; delta\; (2.4)$ au cube en et à l'octaèdre (qui de ont le même groupe de symétrie), au $\backslash \; au\; delta\; (2.5)$ au Dodecahedron et à l'Icosahedron . Le $de\; groupes\; \backslash \; delta\; (2.2,\; n),\; n\; \backslash \; geq\; 2$ peuvent être interprétés en tant que groupes de symétrie d'une famille de " ; solids" dégénéré ; formé par deux le identique '' n '' régulier - les gons ont collé ensemble. Pour obtenir le carrelage sphérique, commencer par un polyèdre régulier, faire au la subdivision barycentrique , et projeter les points et les lignes en résultant sur la sphère entourée. Par exemple, dans le cas du tétraèdre, ceci a comme conséquence les triangles 6*4=24 sphériques.

le cas hyperbolique : de
+ de $\backslash \; frac\; de\; \{1\}\; \{l\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\; +\; \backslash$
du frac {1} {n} <1. le groupe de triangle est le groupe infini de symétrie d'un carrelage de l'avion hyperbolique par les triangles dont les angles ajoutent à un nombre moins que le $\backslash \; pi$. Tous les triples pas déjà énumérés, comme le $(l,\; m,\; n)\; =\; (2.7)$, représentent des carrelages de l'avion hyperbolique.

groupes de von Dyck

Dénoter par le $D\; (l,\; m,\; n)$ le sous-groupe d'index 2 dans $\backslash \; delta\; (l,\; m,\; n)$, correspondant à la conservation d'orientation de la triangle. De tels sous-groupes sont parfois mentionnés pendant que le von Dyck groupe . Le $D\; (l,\; m,\; n)$ sont définis par la présentation suivante : $D\; de\; (l,\; m,\; n)=\; \backslash \; langle\; X,\; y\; \backslash \; mi\; x^l,\; y^m,\; ^n\; (de\; x/y)\; \backslash \; rangle$ Noter ce $D\; de\; (l,\; m,\; n)\; \backslash \; cong\; D\; (m,\; l,\; n)\; \backslash \; cong\; D\; (n,\; m,\; l)$, ainsi $D\; (l,\; m,\; n)$ est l'indépendant de l'ordre du $l,\; m,\; n$.

Voir également

La carte de triangle de Schwarz de est une carte des triangles au haut de - demi - l'avion .
Le groupe de papier peint de décrit le carrelage de l'avion euclidien.
Les groupes de triangle sont les caisses spéciales des groupes de Coxeter de
2.7) groupes de triangle de (

.

Random links:

Comté de commerçant de tissus, l'Illinois | Banlieue noire de Roseville, Minnesota | Jacques Joseph | Peter Preston (politicien) | Korba, Chhattisgarh | Grupo_del_triángulo

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