Groupe de tresse

Dans les mathématiques , le groupe de tresse de sur les rives du n , dénotées par le n de _{du B , est un certain groupe qui a une représentation géométrique intuitive, et généralise dans une certaine mesure le symétrique n} de _{du S du groupe . Ici, le n est un nombre normal ; si > du n ; 1, alors le n} de _{du B est un groupe infini . Les groupes de tresse trouvent des applications dans la théorie de noeud , puisque n'importe quel noeud peut être représenté comme fermeture de certaines tresses.}

Description intuitive

Cette introduction prend le n pour être 4 ; la généralisation à d'autres valeurs du n sera franche. Considérer deux ensembles de quatre articles se trouvant sur une table, avec les articles dans chaque ensemble étant arrangé dans une ligne verticale, et tels qu'un ensemble se repose à côté de l'autre. (Dans les illustrations ci-dessous, ce sont les points noirs.) Using quatre rives, chaque article du premier ensemble est relié à un article du deuxième ensemble de sorte qu'une correspondance linéaire résulte. Un tel raccordement s'appelle une tresse de . Souvent quelques rives devront passer au-dessus ou sous de d'autres, et c'est cruciale : les deux raccordements suivants sont différentes tresses du :

de Générateurs et relations

Considérer les trois tresses suivantes :

Quelques propriétés

Le B ₀ de groupes et le B ₁ sont insignifiants ; Le B ₂ est déjà infini et le isomorphe au cyclique Z du groupe infini. Le B ₃ est un groupe infini abélien du non- tout à fait compliqué ; en fait, le B ₃ est isomorphe au groupe de noeud de de la minette .

Généralement le n de _{du B est un sous-groupe de du n de _{du B ; + ; 1} : il peut être regardé en tant que se composer de toutes ces tresses sur le du n ; + ; rives 1 dans lesquelles la rive inférieure est horizontale et ne croise pas ni est croisé par n'importe quelle autre rive.}

Tellement en particulier, le n de _{du B est abélien si et seulement si le ≤ 2.}

Il y a une notion utile de " ; length" ; pour les éléments du groupe de tresse, donnés par le Z de → du n de _{du B de l'homomorphisme de groupe de qui trace chaque i} de σ_{à 1. Ainsi par exemple, la longueur de la tresse σ₂σ₃σ₁^{&minus ; 1}σ₂σ₃ est 1 ; + ; 1 ; &minus ; ; 1 ; + ; 1 ; + ; 1 = 3. Cette notion donne lieu, par exemple, au sous-groupe du n} de _{du B se composant de tout le même - tresses de longueur.}

Le n de _{du B est le torsion-libre.}

Relation au groupe symétrique, actions de groupe

Chaque tresse sur des rives du n se compose fondamentalement d'une correspondance linéaire entre deux ensembles d'articles du n , et de quelques informations topologiques sur la façon dont les rives établissent cette correspondance. Sans cette information topologique chaque tresse rapporte une correspondance linéaire des articles du n ; ce sont avec précision les éléments du symétrique n de _{du S du groupe . Cette tâche est en fait un surjectif n} de _{du S de → du n} de _{du B de l'homomorphisme de groupe de du .}

Le grain de cet homomorphisme de groupe s'appelle le groupe pur de tresse de sur les rives du n ; il se compose de ces tresses qui relient l'article de Th du i de l'ensemble gauche à l'article de Th du i du bon ensemble, pour tout le i .

Le symétrique n de _{du S de groupe a une présentation très semblable à celui donné ci-dessus pour le groupe de tresse : prenant les relations de tresse et ajoutant le i de σ_{de de relations}² = 1 pour le i = 1,…, du n ; &minus ; ; 1 rapporte une présentation pour le n} de _{du S (le i} de σ_{peut alors être considéré comme les transpositions de deux éléments voisins).}

Dans les situations où les articles du n sont " permuté ; jusqu'à un twist" ; , il y a souvent une action de groupe fondamentale du n de _{du B de groupe de tresse. Comme exemple prototypique, considérer un arbitraire G de groupe et le X d'ensemble de tout le n - tuples des éléments du G dont le produit est 1, l'élément d'identité du G . Alors le n} de _{du B opère le X de la mode normale suivante : donné un X de tuple = ( X ₁,…, n} de _{de X ) dans le X définissent le i} de σ_{. X = ( X ₁,…, &minus de i de _{de X ; 1}, i +1}, i +1^{&minus de _{du X de _{du X ; 1}}} le i +2,…, le n de _{du X ), ainsi le i} de _{du X et les endroits d'échange du i +1} de _{du X , mais le i} de _{du i +1}, du X de _{du X du i} de _{du X de _{du X est en outre " ; twisted" ; par l'automorphisme intérieur correspondant au i +1} de _{du X ; cette torsion assure à cela le produit des composants du i} de σ_{. le X est identique que celui des composants du X , à savoir 1. Cette opération satisfait les relations de tresse et définit ainsi une action de groupe du n} de _{du B sur le X .}}

Relation entre le B ₃ et le groupe modulaire

Il y a un homomorphisme surjectif du du B ₃ sur le groupe modulaire

PSL_2 (\ mathbb {Z})

de avec l'égale du grain au centre du B ₃ ; une construction est donnée ci-dessous.

Définir = de $a \ sigma_1 \ sigma_2 \ sigma_1$ et = de $b \ sigma_1 \ sigma_2$ . Des relations de tresse il découle ce $a^2=b^3$ . Dénotant ce dernier produit comme $c=a^2=b^3$ , on peut vérifier des relations de tresse cela $de \ sigma_1 c \ = de sigma_1^ {- 1} \ sigma_2 c \ sigma_2^ {- 1} =c$

impliquant que $c$ est au centre du B ₃. Le $du sous-groupe \ langle c \ rangle$ du B ₃ produit par par $c$ est donc un sous-groupe normal . Puisqu'il est normal, on peut prendre le groupe de quotient de ; ce groupe de quotient est le isomorphe au groupe modulaire :

$PSL_2 (\) de mathbb {Z} \ simeq B_3/\ langle c \ rangle.$

Cet isomorphisme peut être donné une forme explicite. Le Cosets du $\ sigma_1$ et du $\ sigma_2$ tracent à le $de \ mapsto R= \ commencent {bmatrix} 1 et 1 \ \ 0 et 1 \ extrémité {bmatrix} \ qquad \ mapsto L^ {- 1} = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 \ \ -1 et 1 \ extrémité {le bmatrix}$

là où $L$ et $R$ sont les left and right de norme se déplace sur l'arbre de Poupe-Brocot de ; il est bien connu que ces mouvements produisent du groupe modulaire. Alternativement, une présentation commune pour le groupe modulaire est $de \ langle v, p \, |\, v^2=p^3=1 \ rangle$

là où = de $a de \ sigma_1 \ sigma_2 \ sigma_1 \ v= de mapsto \ commencent {bmatrix} 0 et 1 \ \ -1 et 0 \ extrémité {bmatrix}$

et = de $b de \ sigma_1 \ sigma_2 \ p= de mapsto \ commencent {bmatrix} 0 et 1 \ \ -1 et 1 \ extrémité {bmatrix}$

avec le $c de = l'a^2 = le b^3 \ mapsto \ commencent {bmatrix} - 1 et 0 \ \ 0 et -1 \ extrémité {bmatrix}$

ce dernier étant l'élément d'identité de $PSL_2 (\ mathbb {Z})$ .

Le centre du B ₃ est égal au $\ au langle c \ rangle$ , une conséquence des faits qui le c est au centre, le groupe modulaire a le centre insignifiant, et l'homomorphisme surjectif ci-dessus a le $du grain \ langle c \ rangle$ .

Rapport avec le groupe de cartographie de classe et le monodromy

Le B _n de groupe de tresse peut s'avérer le traçant le groupe de classe d'un disque perforé par avec des piqûres du n . Ceci le plus facilement est visualisé en imaginant chaque piqûre comme étant relié par une corde à la frontière du disque ; chaque homéomorphie de cartographie qui permute de deux des piqûres peut alors être vue pour être une homotopy des cordes, c., un tressage de ces cordes.

Le groupe de tresse peut être tracé sur le Monodromy d'une fonction analytique . Ceci peut être visualisé en considérant un disque avec des piqûres du n -1, chaque piqûre correspondant à un poteau de la fonction analytique. Le monodromy peut alors être visualisé en prenant chacune des piqûres pour être une ligne droite perpendiculaire au disque, et le chemin monodromy comme corde, ancrée à un point, qui s'enroule autour de chacune des piqûres, retournant à son point de départ original.

Raccordement à la théorie de noeud et aux aspects informatiques

Si une tresse est donnée et on relie le premier article à gauche au premier article droit using une nouvelle corde, le deuxième article à gauche au deuxième article droit etc. (sans créer toutes tresses dans les nouvelles cordes), un obtient un lien , et parfois un noeud . Le théorème d'Alexandre de dans la théorie de tresse de déclare que l'inverse est vraie aussi bien : chaque noeud et chaque lien résulte de cette fa4con au moins d'une tresse ; une telle tresse peut être obtenue en coupant le lien. Puisque des tresses peuvent être concrètement données comme mots dans le i de σ_{de générateurs, c'est souvent la méthode preferred d'écrire des noeuds dans des programmes informatiques.}

Le problème de mot de pour les relations de tresse est efficacement soluble et là existe une forme normale pour des éléments du n de _{du B en termes de générateurs σ₁,…, &minus du n de σ_{; 1}. (Essentiellement, le calcul de la forme normale d'une tresse est l'analogue algébrique du " ; traction du strands" ; comme illustré dans notre deuxième ensemble d'images ci-dessus.) Le système libre d'algèbre d'ordinateur de GAP de peut effectuer des calculs dans le n} de _{du B si les éléments sont donnés en termes de ces générateurs. Il y a également un paquet appelé le CHEVIE pour GAP3 avec le soutien spécial des groupes de tresse.}

Puisqu'il y a néanmoins plusieurs problèmes informatiques durs au sujet des groupes de tresse, des applications dans la cryptographie ont été suggérées.

Groupes infiniment produits de tresse

Il y a beaucoup de manières de généraliser cette notion à un nombre infini de rives. La manière la plus simple est prennent au la limite directe des groupes de tresse, où la fixation trace le $f : B_n \ à B_ {n+1}$ envoient les générateurs de $n-1$ de $B_n$ aux premiers générateurs de $n-1$ du $B_ {n+1}$ (c., en attachant une rive insignifiante). Fabel a prouvé qu'il y a deux topologies qui peuvent être imposées au groupe en résultant chacun lequel de l'accomplissement rapporte un groupe différent. On est un groupe très docile et est isomorphe au traçant le groupe de classe de l'ensemble discret infiniment perforé de disque-un de piqûres limitant à la frontière du disque .

Le deuxième groupe peut être considéré les mêmes qu'avec les groupes finis de tresse. Placer une rive à chacun du $de points (0,1/n)$ et l'ensemble de toutes les tresses--là où une tresse est définie pour être une collection de chemins du $de points (0,1/n, 0)$ au $de points (0,1/n, 1)$ de sorte que la fonction rapporte une permutation sur des points finaux--est isomorphe à ce groupe plus sauvage. Un fait intéressant est que le groupe pur de tresse dans ce groupe est isomorphe à la limite inverse des groupes purs finis $P_n$ de tresse et au groupe fondamental du cube en Hilbert de sans le $d'ensemble \ {_ (de x_i) {I \ dans \ Bbb {N}} \ mi x_i=x_j \ texte {pour certains} I \ Ne j \}$ .

Traitement formel

Pour mettre l'examen sans cérémonie ci-dessus des groupes de tresse sur la terre ferme, on doit employer le concept de Homotopy de la topologie algébrique , définissant des groupes de tresse comme les groupes fondamentaux d'un espace de configuration . Ceci est décrit dans l'article sur la théorie de tresse de .

Alternativement, on peut éviter la topologie tout à fait et définir le groupe de tresse purement algébriquement par l'intermédiaire des relations de tresse, maintenant les images dans l'esprit pour guider seulement l'intuition.

Histoire

Des groupes de tresse ont été présentés explicitement par le Emil Artin dans le 1925 , bien que (comme Wilhelm Magnus précisé dans 1974 ) ils aient été déjà implicites dans le travail de s de Hurwitz Adolf 'sur le Monodromy ( 1891 ). En fait, comme Magnus dit, Hurwitz a donné l'interprétation d'un groupe de tresse comme groupe fondamental d'un espace de configuration (cf. théorie ), une interprétation de tresse de qui a été perdue de la vue jusqu'à ce qu'elle ait été redécouverte par Fox et Lee Neuwirth de Ralph de dans le 1962 .

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