Groupe de quotient

Dans les mathématiques , données un groupe de le G de et un le sous-groupe normal le N de du G , du groupe de quotient de , ou du groupe de facteur de , de G au-dessus du N est intuitivement un groupe qui " ; collapses" ; le normal de sous-groupe N à l'élément d'identité . Le groupe de quotient est écrit le G / N et est habituellement parlé en anglais en tant que N de mod du G (mod de est abréviation le modulo ). Si le N n'est pas un sous-groupe normal, un quotient peut encore être pris, mais le résultat ne sera pas un groupe ; en revanche, ce sera un espace homogène .

Le produit des sous-ensembles d'un groupe

Dans la discussion suivante, nous emploierons une opération binaire sur les sous-ensembles G : si le S de deux sous-ensembles et le T du G sont donnés, nous définissons leur produit comme : = de

ST de  \ {rue : s \ dans S {\ rm~and~} t \ dans T \}.

Cette opération est le associatif et a en tant qu'élément d'identité le singleton { e } de , où le e est l'élément d'identité du G . Ainsi, l'ensemble de tous les sous-ensembles de G forme un monoîde sous cette opération.

En termes de cette opération nous pouvons d'abord expliquer ce qu'est un groupe de quotient, et ensuite expliquer ce qu'est un sous-groupe normal : le groupe de quotient du A de

d'un du groupe G est une cloison du de G qui est lui-même un groupe sous cette opération .

Il est entièrement déterminé par le sous-ensemble contenant le e . Un sous-groupe normal du G est le contenant réglé e dans une telle cloison. Les sous-ensembles dans la cloison sont le Cosets de ce sous-groupe normal.

Un N de sous-groupe d'un G de groupe est normal si et seulement si le d'égalité de coset = Na de tient pour tout le un dans le G . En termes d'opération binaire sur des sous-ensembles définis ci-dessus, un sous-groupe normal du G est un sous-groupe qui permute avec chaque sous-ensemble de G et est $N \ triangleleft dénotés G$ . Formel définition est $N \ triangleleft G \, \, \ mathrm {IFF} \, \, \ forall \, n \ dedans {N}, g \ dans {G} \ gng^ {- 1} \ dans {N}$ .

Définition

Laisser le N être un sous-groupe normal d'un G de groupe. Nous définissons le G / N d'ensemble pour être l'ensemble de tous les cosets gauches du N dans le G , c., = de

$G/N \ { | a \ isin G \}.$

L'opération de groupe sur le G / N est le produit des sous-ensembles définis ci-dessus. En d'autres termes, pour chaque un et milliard de dans le G / N , le produit du un et milliard de est ( un ) (milliard de ). Pour que cette opération soit fermée, nous devons prouver que ( un ) (milliard de ) est vraiment un coset gauche :

( un ) (milliard de ) = un N de ( NOTA: ) = un N de (milliard de ) = ( ab ) NN = ( ab ) N .

Noter que nous avons déjà employé la normalité du N dans cette équation. Noter également qu'en raison de la normalité du N , nous pourrions avoir choisi de définir le G / N comme ensemble de bons cosets du N dans le G . Également noter que parce que l'opération est dérivée du produit des sous-ensembles de G , l'opération est le bien défini (ne dépend pas du choix particulier des représentants), associatif et a le N d'élément d'identité.

L'inverse d'un d'élément un du G / N est par ^{&minus de ; 1} N . Ceci accomplit la preuve que le G / N est un groupe.

Motivation pour la définition

La raison G/N s'appelle un groupe de quotient vient de la Division des nombres entiers quand la division de 12 par 3 un obtient la réponse 4 parce qu'on peut regrouper 12 objets dans 4 subcollections de 3 objets. Le groupe de quotient est la même idée, toutefois nous finissons vers le haut avec un groupe pour une réponse finale au lieu d'un nombre parce que les groupes ont plus de structure puis une collection aléatoire d'objets.

Pour élaborer, en regardant G/N avec N un sous-groupe normal de G, la structure de groupe est employé pour former un " normal ; regrouping" ;. Ce sont les cosets de N dans le G. Puisque nous avons commencé par un groupe et un sous-groupe normal le quotient final contient plus d'information que juste le nombre de cosets (qui est ce qui les rendements réguliers de division), mais a à la place une structure de groupe elle-même.

Exemples

considèrent le groupe de Z des nombres entiers (sous l'addition) et du Z du sous-groupe 2 se composant de tous les même nombres entiers. C'est un sous-groupe normal, parce que le Z est le abélien. Il y a seulement deux cosets : l'ensemble même de nombres entiers et l'ensemble de nombres entiers impairs ; donc, le Z du Z /2 de groupe de quotient est le groupe cyclique avec deux éléments. Ce groupe de quotient est isomorphe avec l'ensemble {0, 1} avec le modulo 2 d'addition ; officieusement, on lui dit parfois que le du Z du Z /2 égale l'ensemble {0, 1} avec le modulo 2.
Légère généralisation du

A du dernier exemple. Considérer de nouveau le groupe de Z de nombres entiers sous l'addition. Laisser n être n'importe quel nombre entier positif. Nous considérerons le sous-groupe que le Z de n du Z se composant de tous les multiples de Z de n de N. de nouveau est normal dans le Z parce que le Z est abélien. Les cosets sont la collection { , 1+ne Z de Z,…, (N2) Z de +n, (n-1) Z de n de +n}. Pour n'importe quel nombre entier k, il appartient au Z du coset r+n, où r est le reste en divisant k par le N. Quotient Z de Z /n le ' peut être considéré comme groupe de " ; remainders" ; modulo-N. C'est également isomorphe au groupe cyclique d'ordre N.

Considérer le multiplicatif G de groupe abélien des racines complexes de du douzième de l'unité , qui sont des points sur le cercle d'unité , montrées sur l'image du côté droit en tant que boules colorées avec le nombre à chaque point donnant son argument complexe. Considérer son N de sous-groupe fait des quatrièmes racines de l'unité, montrées en tant que boules rouges. Ce sous-groupe normal coupe le groupe en trois cosets, montrés en rouge, le vert et le bleu. On peut vérifier que la forme de cosets par groupe de trois éléments (le produit d'un élément rouge avec un élément bleu est bleu, l'inverse d'un élément bleu est vert, etc. Ainsi, le G / N de groupe de quotient est le groupe de trois couleurs, qui s'avère être le groupe cyclique avec trois éléments.

considèrent le groupe de R des vrais nombres sous l'addition, et le Z de sous-groupe des nombres entiers. Les cosets du Z dans le R sont tous les ensembles du de forme + Z , avec 0 &le ; < 1 un vrai nombre. Ajouter de tels cosets est fait en ajoutant les vrais nombres correspondants, et la soustraction de 1 si le résultat est supérieur ou égal à 1. Le R / Z de groupe de quotient est isomorphe au groupe S¹, le groupe de cercle de de nombres complexes de la valeur absolue 1 sous la multiplication, ou également, le groupe de rotations dans la 2D au sujet de l'origine, c., le groupe orthogonal spécial AINSI (2). Un isomorphisme est donné par le f ( + Z ) = exp (2&pi ; ia de ) (voir l'identité d'Euler de ).

si le G est le groupe de 3× inversible ; 3 vraies matrices , et N est le sous-groupe de 3× ; 3 vraies matrices avec le déterminant 1, alors le N est normale dans le G (puisque c'est le grain de l'homomorphisme déterminant ). Les cosets du N sont les ensembles de matrices avec une cause déterminante donnée, et par conséquent le G / N est isomorphe au groupe multiplicatif de vrais nombres différents de zéro.

considèrent le Z de groupe abélien ₄ = Z (c'est-à-dire, l'ensemble {0, 1, 2, 3} du Z /4 avec modulo de d'addition 4), et son sous-groupe {0, 2}. Le Z ₄ de groupe de quotient/{0, 2} est {{0, 2}, {1, 3}}. C'est un groupe avec l'élément d'identité {0, 2}, et des opérations de groupe telles que le de
{0, 2} + {1, 3} = {1, 3}
de le sous-groupe {0, 2} et le groupe de quotient {{0, 2}, {1, 3}}, avec leurs opérations de groupe induites par le cyclique Z ₄ du groupe , sont isomorphes avec le Z ₂.

considèrent le $G=Z^*_ multiplicatif de groupe {n^2}$ . L'ensemble $N$ des nième résidus est un sous-groupe multiplicatif du $d'ordre \ du varphi (n)$ de $Z^*_n$ . Alors $N$ est normal dans $G$ et le groupe de facteur $G/N$ a le $N de cosets, (1+n) N, (, de 1+n)^2 N \ pointille, (1+n)^ {n-1} N$ . Le système cryptographique plus pallier est basé sur la conjecture qu'il est difficile de déterminer le coset d'un élément aléatoire de $G$ sans savoir la factorisation de $n$ .

Propriétés

Le de groupe de quotient G/G est le isomorphe au groupe insignifiant (le groupe de avec un élément), et le G/ {e} est isomorphe au G .

L'ordre du G/N est par définition égal à : '' N '', l'index du N dans le G . Si le G est fini, l'index est également égal à l'ordre du G divisé par l'ordre du N . Noter que le G/N peut être fini, bien que le G et le N soient infinis (par exemple Z de Z / 2).

Il y a un " ; natural" ; &pi surjectif de l'homomorphisme de groupe de du ; : &rarr du G ; G/N , envoyant chaque g d'élément du G au coset du N auquel le g appartient, qui est : &pi ; ( g ) = GN . Le &pi de cartographie ; s'appelle parfois le la projection canonique de G sur G/N .

Il y a une correspondance bijective entre les sous-groupes du G qui contiennent le N et les sous-groupes du G/N ; si le H est un sous-groupe du G contenant le N , alors le sous-groupe correspondant du G/N est &pi ; ( H ). Cette correspondance se tient pour les sous-groupes normaux du G et du G/N aussi bien, et est formalisée dans le théorème de trellis de .

Plusieurs propriétés importantes des groupes de quotient sont enregistrées dans le théorème fondamental de sur les homomorphisms et les théorèmes d'isomorphisme de

Si le G est le abélien, le nilpotent ou le soluble, alors est ainsi le G/N .

Si le G est le cyclique ou le de façon finie produit, alors est ainsi le G/N .

Si le N est abélien, alors le G s'appelle la prolongation centrale du groupe de quotient.

Si le H est un sous-groupe dans un fini G de groupe, et l'ordre du H est la moitié de l'ordre du G , alors le H est garanti pour être un sous-groupe normal, ainsi le G/H existe et est isomorphe au C ₂. Ce résultat peut également être énoncé comme " ; n'importe quel sous-groupe de l'index 2 est normal" ; , et sous cette forme il s'applique également aux groupes infinis.

Chaque groupe est isomorphe à un quotient d'un groupe libre .

Parfois, mais pas nécessairement, un G de groupe peut être reconstruit du G/N et du N , en tant qu'un produit direct ou produit semidirect . Le problème de déterminer quand c'est le cas est connu comme problème de prolongation de . Un exemple où c'est le pas possible est comme suit. Z₄/{0, 2} est isomorphe à Z₂, et {0, 2} également, mais au seul produit semidirect est le produit direct, parce que Z₂ a seulement l'automorphisme insignifiant . Par conséquent Z₄, qui est différent des × de Z₂ ; Z₂, ne peut pas être reconstruit.

Voir également

anneau de quotient , également appelé un anneau de facteur de
Prolongation de groupe de
Problème de prolongation de
Théorème de trellis de
Catégorie de quotient de
Ordre exact court

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