Groupe de papier peint

Un groupe de papier peint de (ou groupe de symétrie plate de ou groupe cristallographique plat ) est une classification mathématique d'un modèle réitéré bidimensionnel, basée sur les symétries dans le modèle. De tels modèles se produisent fréquemment dans l'architecture et l'art décoratif . Il y a 17 groupes distincts possibles .

Les groupes de papier peint sont les groupes bidimensionnels de symétrie de , intermédiaires dans la complexité entre les groupes plus simples de frise de et les groupes cristallographiques tridimensionnel (également appelés des groupes d'espace de le .

Introduction

Les groupes de papier peint classent des modèles par catégorie par leurs symétries. Les différences subtiles peuvent placer les modèles semblables dans différents groupes, alors que les modèles qui sont très différents dans le modèle, colorent, balance ou l'orientation peut appartenir au même groupe.

Considérer les exemples suivants :

Le A d'exemples et le B ont le même groupe de papier peint ; ce s'appelle le ''' du ''' p4m de . Le C d'exemple a un groupe différent de papier peint, appelé le ''' du ''' p4g de . Le fait que le A et le B ont le même groupe de papier peint signifie qu'ils ont les mêmes symétries, indépendamment des détails des conceptions, tandis que le C a un ensemble différent de symétries en dépit de toutes les similitudes superficielles.

Une liste complète de de chacun des dix-sept groupes possibles de papier peint peut être trouvée ci-dessous.

Symétries des modèles

Une symétrie d'un modèle est, lâchement parlant, une manière de transformer le modèle de sorte que le modèle regarde exactement la même chose après la transformation. Par exemple, la symétrie de translation est présent quand le modèle peut être traduit (décalé) une certaine distance finie et apparaître sans changement. Penser à décaler un ensemble de raies verticales horizontalement par une raie. Le modèle est inchangé. À proprement parler, une symétrie vraie existe seulement dans les modèles qui répètent exactement et continuent indéfiniment. Un ensemble de seulement par exemple cinq raies n'a pas la symétrie de translation - une fois décalé, le premier " de raie ; disappears" ; et une nouvelle raie est " ; added" ; à l'extrémité. Dans la pratique, cependant, la classification est appliquée aux modèles finis, et de petites imperfections peuvent être ignorées.

Parfois deux catégorisations sont signicatives, une basée sur seules des formes et une également comprenant des couleurs. Quand des couleurs sont ignorées il peut y avoir plus de symétrie. En noir et blanc il y a également 17 groupes de papier peint, parce que par exemple un carrelage coloré est équivalent avec un en noir et blanc avec les couleurs codées radialement dans un " circulairement symétrique ; code" de barre ; au centre de la masse de chaque tuile.

Les types de transformations qui sont appropriées ici s'appellent les isometries plats euclidiens . Par exemple :
Si nous le B un « unité » d'exemple du décalage de au droit, de sorte que chaque place couvre la place qui était à l'origine à côté de elle, alors au modèle en résultant est exactement le même comme le modèle que nous avons commencé. Ce type de symétrie s'appelle une traduction de de . Le A d'exemples et le C sont semblables, sauf que les plus petits possibles décalages sont dans des directions diagonales.
Si nous le B d'exemple du tour de dans le sens des aiguilles d'une montre de 90°, autour du centre d'une des places, encore nous obtenons exactement le même modèle. Ceci s'appelle une rotation de de . Le A d'exemples et le C ont également des rotations de 90°, bien qu'il exige un peu de plus d'ingéniosité de trouver le centre de la rotation correct pour le C .
Nous pouvons également le d'exemple de la chiquenaude de B à travers un axe horizontal qui fonctionne à travers le milieu de l'image. Ceci s'appelle une réflexion de de . Le B d'exemple a également des réflexions à travers un axe vertical, et à travers deux haches diagonales. Les mêmes peuvent être dits pour le A .

Cependant, le C d'exemple est le différent. Il a seulement des réflexions dans des directions horizontales et verticales, le pas à travers les haches diagonales. Si nous renversons à travers une ligne diagonale, nous faisons le pas récupérons le même modèle ; ce que nous faisons obtiennent sont le modèle original décalé à travers par une certaine distance. Ce fait partie de la raison pour laquelle le A et le B ont un groupe différent de papier peint que le C .

Définition formelle et discussion

Mathématiquement, un groupe de papier peint ou le groupe cristallographique plat est un type de groupe discret du topologiquement d'isometries de de l'avion euclidien qui contient deux traductions indépendantes du linéairement

Deux tels groupes d'Isometry de sont du même type (du même groupe de papier peint) s'ils sont les mêmes jusqu'à une transformation d'affinage de l'avion . Ainsi par exemple une traduction de l'avion (par conséquent une traduction des miroirs et des centres de la rotation) n'affecte pas le groupe de papier peint. Le même s'applique pour un changement d'angle entre les vecteurs de traduction, à condition que il n'ajoute ou n'enlève pas aucune symétrie (c'est seulement le cas s'il n'y a aucun miroir et aucunes réflexions de glissement, et la symétrie de rotation est tout au plus de l'ordre 2).

À la différence de dans le le cas tridimensionnel , nous pouvons d'une manière equivalente limiter les transformations d'affinage à ceux qui préservent l'orientation .

Il découle du théorème de Bieberbach que tous les groupes de papier peint sont différents même pendant que les groupes abstraits (par opposition par exemple à la frise de groupe dont deux sont isomorphes avec le Z ).

les 2D modèles avec la double symétrie de translation peuvent être classés par catégorie selon leur type du groupe de symétrie de .

Isometries de l'avion euclidien

Isometries du ranger plat euclidien dans quatre catégories (voir le isometry plat euclidien d'article pour plus d'information).
des traductions de , dénoté par le du _{v de de T, où le de v est un vecteur dans R ². Ceci a l'effet de décaler l'avion appliquant le v de vecteur du déplacement .
le des rotations de , dénoté par le c de de R, θ, où le de c est un point dans l'avion (le centre de la rotation), et θ est l'angle de la rotation.
réflexions de de , ou isometries de miroir de , dénotés par le L} de _{du F , où le L est une ligne dans le R ². (le F est pour le " ; flip" ;). Ceci a l'effet de refléter l'avion dans la ligne le L , appelé l'axe de réflexion de ou le miroir associé .
le des réflexions de glissement de de , dénoté par le L , le de de G de d, où L est une ligne dans R ² et d est une distance. C'est une combinaison d'une réflexion dans la ligne le L et une traduction le long du L par un d de distance.}

L'état indépendant de traductions

La condition sur des traductions linéairement indépendantes signifie que là existent linéairement le v de vecteurs d'indépendant et le W (dans R ²) tels que le groupe contient le W de _{du v} et du T de _{du T .}

Le but de cette condition est de distinguer des groupes de papier peint des groupes de frise de qui ont seulement linéairement une traduction indépendante simple, et du le point discret bidimensionnel groupe qui n'ont aucune traduction du tout. En d'autres termes, les groupes de papier peint représentent les modèles qui se répètent dans des directions distinctes du deux , contrairement aux groupes de frise qui répètent seulement le long d'un axe simple.

(Il est possible de généraliser cette situation. Nous pourrions par exemple étudier les groupes discrets d'isometries du n de ^{du R avec des traductions indépendantes du m linéairement, où le m est n'importe quel nombre entier dans le n de ≤ du m de ≤ de la gamme 0.)}

L'état de discreteness

L'état de discreteness signifie qu'il y a un certain ε positif de vrai nombre, tels que pour chaque v de _{du T de traduction dans le groupe, le v de vecteur a le ε du au moins de longueur (excepté naturellement dans le cas que le v est le vecteur zéro).}

Le but de cette condition est de s'assurer que le groupe a un domaine fondamental compact, ou en d'autres termes, un " ; cell" ; du secteur différent de zéro et fini, qui est répété par l'avion. Sans cette condition, nous pourrions avoir par exemple un groupe contenir le T _x de traduction pour chaque X du nombre raisonnable , qui ne correspondrait à aucun modèle raisonnable de papier peint.

On important et la conséquence non triviale de l'état de discreteness en combination avec l'état indépendant de traductions est que le groupe peut seulement contenir des rotations de l'ordre 2, 3, 4, ou 6 ; c'est-à-dire, chaque rotation dans le groupe doit être une rotation par 180°, 120°, 90°, ou 60°. Ce fait est connu comme théorème cristallographique de restriction de , et peut être généralisé aux cas haut-dimensionnels.

Notations pour des groupes de papier peint

Notation cristallographique

La cristallographie a 230 groupes d'espace à distinguer, bien plus que les 17 groupes de papier peint, mais plusieurs des symétries dans les groupes sont identiques. Ainsi nous pouvons employer une notation semblable pour les deux genres de groupes, celle du Karl Hermann et du Charles-Victor Mauguin . Un exemple d'un plein nom de papier peint dans le modèle de Hermann-Mauguin est le ''' du ''' p31m de , avec quatre lettres ou chiffres ; plus habituel est un nom raccourci comme le ''' du ''' cmm de ou le ''' de page de ''' de .

Pour des groupes de papier peint la pleine notation commence par le p ou le c , pour une cellule élémentaire de ou une cellule face au centre de ; celles-ci sont expliquées ci-dessous. Ceci est suivi d'un chiffre, le n de , indiquant le d'ordre suprême de la symétrie de rotation : 1 fois (aucun), 2 fois, de 3 fois, quadruple, ou le fois 6. Les deux prochains symboles indiquent des symétries relativement à un axe de traduction du modèle, désigné sous le nom du " ; main" ; un ; s'il y a une perpendiculaire de miroir à un axe de traduction nous choisissons cet axe en tant que le principal (ou s'il y a de deux, l'un d'entre eux). Les symboles sont le m , le g , ou le 1 , pour le miroir, la réflexion de glissement, ou absentes. L'axe de la réflexion de miroir ou de glissement est perpendiculaire à l'axe principal pour la première lettre, et parallèle ou 180°/ incliné n (quand n > 2) pour la deuxième lettre. Beaucoup de groupes incluent d'autres symétries implicites par indiquées. La notation de short laisse tomber les chiffres ou un m qui peuvent être déduits, à condition que ce ne laisse aucune confusion avec un autre groupe.

Une cellule élémentaire est une région minimale répétée par des traductions de trellis. Tout sauf deux groupes de symétrie de papier peint sont décrits en ce qui concerne les haches de cellule élémentaire, une base du même rang using les vecteurs de traduction du trellis. Dans les autres deux cas que la description de symétrie est en ce qui concerne les cellules centrées qui sont plus grandes que la cellule élémentaire, et par conséquent a la répétition interne ; les directions de leurs côtés est différente de ceux des vecteurs de traduction enjambant une cellule élémentaire. La notation de Hermann-Mauguin pour les groupes d'espace en cristal emploie les types additionnels de cellules.

s exemples ''' ( p211 ) du ''' p2 de : La cellule élémentaire, 2 pas fois la symétrie de rotation, aucun miroir ou les réflexions de glissement.
''' ( p4gm ) du ''' p4g de : Cellule élémentaire, rotation quadruple, perpendiculaire de réflexion de glissement à l'axe principal, axe de miroir à 45°.
''' ( c2mm ) du ''' cmm de : La cellule centrée, rotation de 2 fois, miroir diminue perpendiculaire et parallèle à l'axe principal.
''' ( p31m ) du ''' p31m de : Cellule élémentaire, rotation de 3 fois, axe de miroir à 60°.

Voici tous les noms qui diffèrent dans la notation courte et pleine.

Notation d'Orbifold

La notation d'Orbifold de pour des groupes de papier peint, présentée par le John Horton Conway (Conway, 1992), est basée pas sur la cristallographie, mais sur la topologie. Nous plions le carrelage périodique infini de l'avion dans son essence, un Orbifold , puis décrivons cela avec quelques symboles.
Le chiffre du

A, le n de , indique un centre du n - plier la rotation. Par le théorème cristallographique de restriction, le n doit être 2, 3, 4, ou 6.

un astérisque, * , indique un miroir. Il agit l'un sur l'autre avec les chiffres comme suit :
#Digits avant * sont des centres de rotation pure ( cyclique).
#Digits après * sont des centres de rotation avec des miroirs par eux (dièdre ).
La croix du

A, le X , indique une réflexion de glissement. Les miroirs purs combinent avec la traduction de trellis pour produire des glissements, mais ceux sont déjà expliqués ainsi nous ne faisons pas notate ils.

le " ; aucun symmetry" ; le symbole, le o , seul se tient, et indique que nous avons seulement des traductions de trellis sans l'autre symétrie.

Considérer le groupe dénoté dans la notation cristallographique par le ''' du ''' cmm de ; dans la notation de Conway, ce sera le 2*22 . Le 2 avant que le * indique que nous avons un centre de rotation de 2 fois sans le miroir par lui. Le * lui-même indique que nous avons un miroir. Le premier 2 après que le * indique que nous avons un centre de rotation de 2 fois sur un miroir. Le final 2 indique que nous avons un centre indépendant de rotation de fois de la seconde 2 sur un miroir, un qui n'est pas une reproduction des symétries premier de dessous.

Le groupe dénoté par le ''' de pgg de ''' de sera le 22x . Nous avons deux 2 centres purs de rotation de fois, et un axe de réflexion de glissement. Contraster ceci avec le ''' , le 22* de Conway, où la notation cristallographique mentionne un glissement, mais un du ''' pmg de qui est implicite dans les autres symétries de l'orbifold.

Pourquoi il y a exactement dix-sept groupes

Un orbifold a un visage, des bords, et des sommets ; ainsi nous pouvons le regarder comme polygone . Quand nous le dévoilons, des tuiles de ce polygone l'avion, avec chaque configuration repliée infiniment par l'action du groupe de symétrie de papier peint. Ainsi quand la notation de l'orbifold de Conway mentionne un dispositif, tel que le centre quadruple de rotation dans le 4*2 , que le dispositif dévoile dans un nombre infini de reproductions à travers l'avion. La dissimulation dans cette description est une clef à l'énumération.

Considérer un cube en , avec ses coins, bords, et visages. Nous comptons 8 coins, 12 bords, et 6 visages. Alternativement s'ajoutant et soustrayant, nous notons ce 8 − 12 + 6 = 2. Considérer maintenant un tétraèdre . Il a 4 coins, 6 bords, et 4 visages ; et nous notons ce 4 − 6 + 4 = 2. Les explorons plus plus loin. Pour la généralité, employer le sommet de limite au lieu du coin. Dédoubler un visage avec un nouveau bord, faisant devenir un visage deux. Maintenant nous avons 4 le − 7 + 5 = 2. Prochain, dédoubler un bord avec un nouveau sommet, faisant devenir l'un bord deux. Nous avons 5 le − 8 + 5 = 2. Ce n'est pas coïncidence ; c'est une démonstration du extérieur Euler caractéristique, de χ = de − de V E + F, et le commencement d'une preuve de son invariance.

Quand les répliques d'un orbifold par la symétrie pour remplir avion, ses dispositifs créent une structure des sommets, des bords, et des visages de polygone qui doivent être compatibles à la caractéristique d'Euler. Renversant le processus, nous pouvons assigner des nombres aux dispositifs de l'orbifold, mais des fractions, plutôt que des nombres entiers. Puisque l'orbifold lui-même est un quotient de la pleine surface par le groupe de symétrie, la caractéristique d'Euler d'orbifold est un quotient de l'Euler extérieur caractéristique par l'ordre du groupe de symétrie.

La caractéristique d'Euler d'orbifold est 2 sans la somme des valeurs de dispositif, assignée comme suit :
Un n avant un * comptes de de chiffre de comme ( n de n −1)/.
Un n après un * comptes de de chiffre de comme ( n de n −1)/2.
* et compte du X en tant que 1.
Le " ; aucun symmetry" ; comptes du o en tant que 2.

Pour un groupe de papier peint, la somme pour la caractéristique doit être zéro ; ainsi la somme de dispositif doit être 2.

s exemples 632 : 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
3*3 : 2/3 + 1 + 1/3 = 2
4*2 : 3/4 + 1 + 1/4 = 2
22x : 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Maintenant l'énumération de tous les groupes de papier peint devient une question d'arithmétique, d'énumérer toutes les cordes de dispositif avec des valeurs additionnant à 2.

Par ailleurs, les cordes de dispositif avec d'autres sommes ne sont pas non-sens ; elles impliquent les carrelages non plan, non discutés ici. (Quand la caractéristique d'Euler d'orbifold est négative, le carrelage est hyperbolique ; quand positif, sphériques.)

Guide d'identifier des groupes de papier peint

Pour établir que le groupe de papier peint correspond à une conception indiquée, on peut employer la table suivante.