Groupe de Quaternion

Dans la théorie de groupe , le groupe de quaternion de est un groupe non-abélien du d'ordre 8. Il est souvent dénoté par le Q et écrit en forme multiplicative, avec le suivant Q de de 8 éléments = {1, &minus ; 1, i , &minus ; i , j , &minus ; j , k , &minus ; k } Ici 1 est l'élément d'identité, (&minus ; 1)² = 1, et (&minus ; 1) = un (&minus ; 1) = &minus ; un pour tout le un dans le Q . Les règles restantes de multiplication peuvent être obtenues de la relation suivante : $i^2\; =\; j^2\; =\; k^2\; =\; ijk\; =\; -1$ La table entière (table de Cayley de de multiplication) pour le Q est donnée par :

Représentation de Matrix du groupe de quaternion

Le groupe de quaternion peut être représenté en tant que sous-groupe du groupe linéaire général GL₂ ( C ) de .

$Q=\; \backslash ,\; \{\backslash \; P.\; k\; \backslash \}$ tels que

le $\backslash \; 1=\; \backslash \; commencent\; \{Bmatrix\}\; 1\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{Bmatrix\}$

le $\backslash \; i=\; \backslash \; commencent\; \{Bmatrix\}\; i\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; -\; I\; \backslash \; extrémité\; \{Bmatrix\}$

le $\backslash \; j=\; \backslash \; commencent\; \{Bmatrix\}\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; -1\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{Bmatrix\}$

le $\backslash \; k=\; \backslash \; commencent\; \{Bmatrix\}\; \backslash \; de\; 0\; et\; d\text{'}I\; \backslash \; i\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{Bmatrix\}$

note de : le $i$s à l'intérieur des matrices représentent le nombre imaginaire $i$.

Les mêmes identités déjà établies en cet article peuvent être affirmées using les lois existantes de composition pour GL₂ ( C ).

Groupe généralisé de quaternion

Groupe est appelé généralisé quaternion groupe s'il a un $de\; de\; laprésentation\backslash \; langle\; X,\; y\; \backslash \; mi\; x^\; \{2^\; \{n-1\}\}\; =\; 1,\; x^\; \{2^\; \{N2\}\}\; =\; y^2,\; yxy^\; \{-\; 1\}\; =\; x^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; rangle$ pour un certain &ge du n de nombre entier ; 3. L'ordre de ce groupe est 2 ^{le n} . Le groupe ordinaire de quaternion correspond au n de cas = 3. Le groupe généralisé de quaternion peut être réalisé comme sous-groupe de quaternions d'unité produits par le $x\; de\; =\; le$
de l'e^ {2 \ pi i/2^ {n-1}} $y\; =\; j\; \backslash ,$ Les groupes généralisés de quaternion sont des membres de la famille plus nombreuse encore des groupes dicycliques que les groupes généralisés de quaternion ont la propriété que chaque sous-groupe abélien du est cyclique. Il peut montrer qu'un P-groupe fini avec cette propriété (chaque sous-groupe abélien est cyclique) est répétition ou un groupe généralisé de quaternion comme défini ci-dessus. Une autre caractérisation est qu'un p-group fini dans lequel il y a un sous-groupe unique de l'ordre p est quaternion cyclique ou généralisé. En particulier, pour un champ fini F avec la caractéristique impaire, le sous-groupe 2-Sylow de SL₂ (F) est non-abélien et a seulement un sous-groupe de l'ordre 2, ainsi de ce sous-groupe 2-Sylow doit être un groupe généralisé de quaternion. En laissant le q = le p^r être la taille de F, où le p est principal, la taille du sous-groupe 2-Sylow de SL₂ (F) est 2 ^{le n} , où le n = ord₂ ( p ² - 1) + ord₂ ( r ).

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