Groupe de Lie simple

Dans les mathématiques , un groupe de Lie simple de est un le non-abélien relié G du groupe de Lie de du de qui n'a pas les sous-groupes normaux reliés non triviaux . < ! -- A remplacé la clause suivante, pour la raison suivante : ce n'est pas une définition pratique : comment examinez-vous que un groupe de Lie est simple comme abstrait le groupe ? D'ailleurs, présuppose la dernière notion. … dont le quotient par son centre est le simple comme groupe abstrait .

--> Une algèbre de Lie simple de est une algèbre de Lie non-abélienne dont les seuls idéaux sont 0 et lui-même.

Une définition équivalente d'un groupe de Lie simple suit de la correspondance de mensonge de : un groupe de Lie relié est simple si son algèbre de Lie est non-abélienne et simple. Un point technique important est celui un groupe de Lie simple peut contenir les sous-groupes normaux discrets du , par conséquent être un groupe de Lie simple est différent d'être simple comme groupe abstrait .

Les groupes de Lie simples incluent beaucoup de groupes de Lie classiques qui fournissent un soutien groupe-théorétique pour la géométrie sphérique , la géométrie projective et les géométries relatives dans le sens le programme d'Erlangen de de s de Klein Felix de le '. Il a émergé au cours de la classification des groupes de Lie simples que là existent également plusieurs possibilités exceptionnelles du ne correspondant pas à n'importe quelle géométrie familière. Ces groupes exceptionnels de expliquent beaucoup d'exemples et de configurations spéciaux dans d'autres branches des mathématiques, aussi bien que la physique théorique contemporain.

Tandis que la notion d'un groupe de Lie simple est satisfying de la perspective axiomatique, dans les applications de la théorie de mensonge, telles que la théorie de notions légèrement plus générales symétriques Riemannian des espaces des groupes de Lie réducteurs de Semisimple et avérés être bien plus utile. En particulier, chaque groupe de Lie relié de contrat est réducteur, et l'étude des représentations des groupes réducteurs généraux est une branche importante de la théorie de représentation de .

Commentaires sur la définition

Malheureusement il n'y a aucune définition standard d'un groupe de Lie simple. La définition donnée ci-dessus est parfois variée des manières suivantes :
Connexité : Des groupes de Lie habituellement simples sont reliés par définition. Ceci exclut les groupes simples discrets (ce sont des groupes de Lie zéro-dimensionnels qui sont le simple en tant que groupes abstraits) aussi bien que les groupes orthogonaux disconnected
Centre : On permet aux des groupes de Lie habituellement simples d'avoir un centre discret ; par exemple, le SL₂ (''' de ''' R) a un centre de l'ordre 2, mais est toujours compté en tant que groupe de Lie simple. Si le centre est non trivial (et pas le groupe entier) puis le groupe de Lie simple n'est pas simple en tant que groupe abstrait. Quelques auteurs ont besoin de que le centre d'un groupe de Lie simple soit fini (ou insignifiant) ; la couverture universelle de SL₂ ( R ) est un exemple d'un groupe de Lie simple avec le centre infini.
R : Habituellement le R de groupe de vrais nombres sous l'addition (et son R / Z de quotient) ne sont pas comptés en tant que groupes de Lie simples, quoiqu'ils soient reliés et aient une algèbre de Lie sans des idéaux différents de zéro appropriés. De temps en temps les auteurs définissent les groupes de Lie simples de telle manière que le R soit simple, bien que ceci semble parfois être un accident provoqué en donnant sur ce cas.
Groupes de Matrix : Quelques auteurs se limitent aux groupes de Lie qui peuvent être représentés comme groupes de matrices finies. Le groupe de Metaplectic de est un exemple d'un groupe de Lie simple qui ne peut pas être représenté de cette façon.
Algèbres de Lie complexes : La définition d'une algèbre de Lie simple n'est pas stable sous la prolongation de des grandeurs scalaires . La complexification d'une algèbre de Lie simple complexe, telle que le SL _n ( C ) est semisimple, mais non simple.

La définition la plus commune est celle ci-dessus : des groupes de Lie simples doivent être reliés, ils sont permis d'avoir les centres non triviaux (probablement infinis), ils n'ont pas besoin d'être représentables par les matrices finies, et ils doivent être non-abéliens.

Méthode de classification

De tels groupes sont classifiés using la classification antérieure des algèbres de Lie simples complexes : pour ce qui voient que la page sur le enraciner les systèmes il est montrée qu'un groupe de Lie simple a une algèbre de Lie simple qui se produira sur la liste donnée là, une fois qu'elle complexified (c'est-à-dire, transformé en espace de vecteur complexe plutôt que vrai). Ceci ramène la classification encore à deux sujets.

Vraies formes

Le de groupes '' AINSI '' ('' p '', '' q '', ''' de ''' R) et le '' AINSI '' ('' p '' + '' q '', ''' de ''' R) , par exemple, provoquent différentes vraies algèbres de Lie, mais avoir le même diagramme de Dynkin de . En général il peut y avoir les vraies formes de différent de de la même algèbre de Lie complexe.

Relation des algèbres de Lie simples aux groupes

Deuxièmement l'algèbre de Lie détermine seulement uniquement le (universel) simplement relié G* de couverture du du composant contenant l'identité d'un G de groupe de Lie. Elle peut bien se produire que le G* n'est pas réellement un groupe simple, par exemple ayant un centre non trivial . Nous avons donc pour s'inquiéter de la topologie globale , en calculant le groupe fondamental G (un groupe abélien : un groupe de Lie est un H-espace ). Ceci a été fait par le Élie Cartan .

Pour un exemple, prendre les groupes orthogonaux spéciaux dans même la dimension. Avec le &minus de de matrice de non-identité ; I au centre , ceux-ci de ne sont pas réellement les groupes simples ; et ayant une couverture double de rotation de , ils simple-ne sont pas reliés non plus. Ils se trouvent « entre » le G* et le G , dans la notation ci-dessus.

Classification par le diagramme de Dynkin

Le voient le principal d'article enraciner le système

Selon la classification de Dynkin, nous avons comme possibilités ces derniers seulement, où le n est le nombre de noeuds :

Série infinie

Une série

A₁, A₂,…

A_r correspond au groupe unitaire spécial , le SU de (r+1) .

Série de B

B₁, B₂,…

B_r correspond au groupe orthogonal spécial , de AINSI (2r+1) .

Série C

C₁, C₂,…

C_r correspond au groupe Symplectic , PS de (2r) .

Série de D

D₂ , D₃ ,…

Le D_r correspond au groupe orthogonal spécial , le AINSI (2r) . Noter que AINSI (4) n'est pas un groupe simple, cependant. Le diagramme de Dynkin a deux noeuds qui ne sont pas reliés. Il y a un homomorphisme surjectif de AINSI (des × de 3)* ; AINSI (3)* au AINSI (4) donné par multiplication de Quaternion ; voir les quaternions et la rotation spatiale . Par conséquent les groupes simples ici commencent par le D₃ , qui comme diagramme se redresse dehors au A₃ . Avec le D₄ il y a une symétrie « exotique » du diagramme, correspondant au soi-disant Triality .

Cas exceptionnels

Pour les soi-disant cas exceptionnels voir le G2 , le F4 , le E6 , le E7 , et le E8 . Ces cas sont considérés le « exceptionnel » parce qu'ils ne tombent pas dans la série infinie de groupes de dimension croissante. Du point de vue de chaque groupe pris séparément, il n'y a rien si peu commun au sujet de eux. Ces groupes exceptionnels ont été découverts autour de 1890 dans la classification des algèbres de Lie simples au-dessus des nombres complexes (massacre de Wilhelm de , refait par Elie Cartan ). Pendant quelque temps c'était une issue de recherches pour trouver les moyens concrets dont ils surgissent, par exemple comme groupe de symétrie d'un système différentiel .

Puisque les groupes exceptionnels, en particulier le E ₈, ont été de plus en plus employés dans les mathématiques et la physique théorique à compter environ de 1975, le placage de l'exceptionality peut être considéré comme pour avoir porté loin.

Voir également le ½ du E7 (algèbre de Lie)

Groupes simplement lacés

Un groupe simplement lacé est un groupe de Lie dont le diagramme de Dynkin de contenir seulement les liens simples, et donc toutes les racines différentes de zéro de l'algèbre de Lie correspondante ont la même longueur. Tous les groupes de série du A , du D et du E sont simplement lacés.

Voir également

matrice de Cartan
Matrice de Coxeter de
Diagramme de Dynkin de
Groupe de Weyl de
Groupe de Coxeter de
Algèbre Kac-Déprimée
Théorie de catastrophe .

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