Groupe de Lie

Dans les mathématiques , un groupe de Lie de ( ˈliː , ressemble à du " ; Lee" ;), est un groupe qui est également une tubulure différentiable , avec la propriété que les opérations de groupe sont compatibles avec la structure douce . Elles sont baptisées du nom du mensonge norvégien de Sophus de de mathématicien du 19ème siècle, qui a jeté les fondements de la théorie de groupes continus de transformation de que des groupes de Lie de représentent la meilleure théorie développée de la symétrie continue des objets et des structures mathématiques, qui leur fait les outils indispensables pour beaucoup de parties de mathématiques contemporaines, aussi bien que pour la physique théorique moderne. Elles fournissent un cadre normal pour analyser les symétries continues des équations (théorie ), beaucoup de de Picard-Vessiot de comme les groupes de permutation de sont employés dans la théorie de Galois pour analyser les symétries discrètes des équations algébriques . Une prolongation de théorie de Galois au cas des groupes continus de symétrie était l'une des principales motivations du mensonge, son fixe d'idée de . Puisque les groupes de Lie sont les tubulures , ils peuvent être étudiés using le calcul différentiel , contrairement à la caisse des groupes topologiques un de plus général des idées principales dans la théorie de groupes de Lie, due au mensonge de Sophus, sont de remplacer l'objet global, le groupe, par son local ou version linéarisée, qui se trouvent lui-même appelé son " ; group" infinitésimal ; et qui a depuis lors devenu notoire en tant que son algèbre de Lie .

Les groupes de Lie jouent un énorme rôle dans la géométrie moderne , à plusieurs différents niveaux. Le Felix Klein a discuté dans son programme d'Erlangen de qu'on peut considérer le divers " ; geometries" ; en spécifiant un groupe approprié de transformation qui laisse certaines propriétés géométriques invariables. Ainsi la géométrie euclidienne correspond au choix du groupe E (3) de transformations de distance-préservation du de l'espace euclidien R ³, la géométrie isogone correspond à élargir le groupe au groupe isogone , tandis qu'au la géométrie projective un est intéressée par les propriétés invariables sous le groupe projectif . Cette idée plus tard a mené à la notion d'une G-structure , où le G est un groupe de Lie de " ; local" ; symétries d'une tubulure. Sur un " ; global" ; niveler, toutes les fois qu'un de groupe de Lie agit sur un objet géométrique, tel qu'un Riemannian ou une tubulure symplectic du , cette action fournit une mesure de rigidité et rapporte une structure algébrique riche. La présence des symétries continues exprimées par l'intermédiaire d'une action de groupe de Lie sur une tubulure place des contraintes fortes sur sa géométrie et facilite l'analyse sur la tubulure. Les actions linéaires des groupes de Lie sont particulièrement importantes, et sont étudiées dans la théorie de représentation de .

Dans les années 50, le Claude Chevalley s'est rendu compte que beaucoup de résultats fondamentaux au sujet des groupes de Lie peuvent être développés complètement algébriquement, provoquant la théorie des groupes algébriques définie au-dessus d'un champ arbitraire . Cette perspicacité a ouvert de nouvelles possibilités dans l'algèbre pure, en fournissant une construction uniforme pour la plupart des groupes simples finis aussi bien que dans la géométrie algébrique . La théorie de Automorphic forme une branche importante de la théorie des nombres moderne , traite intensivement des analogues des groupes de Lie au-dessus des anneaux d'Adele de

Histoire des débuts

Selon la source la plus bien fondée sur l'histoire des débuts des groupes de Lie (Hawkins, p.1), le mensonge de Sophus lui-même a considéré l'hiver de 1873-1874 comme date de naissance de sa théorie de groupes continus. Cependant, Hawkins suggère que c'ait été " ; Activité prodigieuse des recherches du mensonge au cours de la période de quatre ans de la chute de 1869 à la chute de 1873" ; cela a mené à la création de la théorie (ibid de ). Certaines des premières idées du mensonge ont été développées en collaboration étroite avec le Felix Klein . Le mensonge a rencontré Klein journalier de l'octobre 1869 par 1872 : à Berlin du fin octobre 1869 au fin février 1870, et à Paris, Gőttingen et Erlangen en deux années suivantes (ibid de , p. Le mensonge a déclaré que tous les principaux résultats ont été obtenus d'ici 1884. Cependant, pendant les années 1870 tous ses documents (excepté la toute première note) ont été publiés aux journaux norvégiens, empêchant l'identification du travail dans tout le reste de l'Europe (ibid de , p. En 1884 un jeune mathématicien allemand, Friedrich Engel , est venu pour travailler avec le mensonge sur un traité systématique pour exposer sa théorie de groupes continus. De cet effort a résulté le der Transformationsgruppen de Theorie de de trois-volume, édité en 1888, 1890, et 1893.

Les idées du mensonge ne se sont pas tenues en isolation du reste de mathématiques. En fait, son intérêt pour la géométrie des équations a été motivé la première fois par le travail du Karl Gustav Jacobi , sur la théorie des équations différentielles partielles du premier ordre et sur les équations de la mécanique classique . Beaucoup du travail de Jacobi a été édité à titre posthume dans les 1860s, produisant de l'énorme intérêt en France et en Allemagne (Hawkins, p. Le fixe d'idée du du mensonge était de développer une théorie de symétries des équations qui accompliraient pour elles quel Évariste Galois avait fait pour des équations algébriques : à savoir, pour les classifier en termes de théorie de groupe. L'impulsion additionnelle pour considérer les groupes continus est venue des idées de Bernhard Riemann , sur les bases de la géométrie, et de leur développement ultérieur dans les mains de Klein. Ainsi trois thèmes importants dans des mathématiques du 19ème siècle ont été combinés par mensonge en créant sa nouvelle théorie : l'idée de la symétrie, comme exemplifiée par Galois par la notion algébrique d'un groupe ; théorie géométrique et les solutions explicites des équations de la mécanique, établies par le Poisson et Jacobi ; et le nouvel arrangement de la géométrie qui a émergé dans les travaux du Plücker , du Möbius , du Grassmann et de d'autres, et a abouti à la vision révolutionnaire de Riemann du sujet.

Bien qu'aujourd'hui le mensonge de Sophus soit légitime identifié en tant que créateur de la théorie de groupes continus, un pas important dans le développement de leur théorie de structure, qui était d'avoir une influence profonde sur le développement suivant des mathématiques, a été fait par le massacre de Wilhelm de , qui dans 1888 a édité le premier document d'une série autorisée Le meurent le stetigen de der de Zusammensetzung endlichen Transformationsgruppen (le la composition de la transformation finie continue groupe ) (Hawkins, p. Le travail du massacre, plus tard raffiné et généralisé par le Elie Cartan , mené à la classification de la théorie des algèbres de Lie de Semisimple Cartan les espaces , et de Hermann symétrique description de s de Weyl 'des représentations des groupes de Lie de contrat et de semisimple using les poids les plus élevés

Weyl a apporté la période tôt du développement de la théorie de groupes de Lie à la fructification, parce que non seulement il a classifié les représentations irréductibles des groupes de Lie de semisimple et a relié la théorie de groupes à la mécanique quantique, mais il a également mis la théorie du mensonge elle-même sur une pose plus ferme en déclarant clairement la distinction entre les groupes infinitésimaux (c. algèbres de Lie du du mensonge) et les groupes de Lie proprement dits, et a commencé des investigations sur la topologie des groupes de Lie (Borel (2001),). La théorie de groupes de Lie a été systématiquement retouchée dans la langue mathématique moderne dans une monographie par le Claude Chevalley . < ! -- Avoir besoin de la référence spécifique du livre de Borel au travail de Weyl, en particulier, distinction mentionnée dans le texte -->

Le concept d'un groupe de Lie, et possibilités de classification

Des groupes de Lie peuvent être considérés en tant que familles sans à-coup variables des symétries. Les exemples des symétries incluent la rotation autour d'un axe. Ce qui doit être compris est la nature des « petites » transformations, ici des rotations par les angles minuscules, qui lient des transformations voisines. L'objet mathématique capturant cette structure s'appelle une algèbre de Lie (le mensonge lui-même de les a appelées " ; groups" infinitésimal ;). Il peut être défini parce que les groupes de Lie sont des tubulures, ainsi a les espaces de tangente à chaque point.

L'algèbre de Lie de tout groupe de Lie du contrat (très rudement : un pour lequel la forme de symétries un ensemble lié) peut être décomposée comme somme directe d'une algèbre de Lie abélienne et d'un certain nombre du simple ceux. La structure d'une algèbre de Lie abélienne est mathématiquement inintéressante ; l'intérêt est dans les summands simples. Par conséquent la question se pose : quelles sont les algèbres de Lie simples des groupes compacts ? Il s'avère qu'elles tombent la plupart du temps dans quatre familles infinis, le " ; algebras" classique de mensonge ; n d'A_{, n} de B_{, n} de C_{et n} de D_{, qui ont des descriptions simples en termes de symétries de l'espace euclidien. Mais il y a également le " juste cinq ; algebras" exceptionnel de mensonge ; cela ne tombent pas dans quelconque d'entre ces familles. E₈ est le plus grand de ces derniers.}

Exemple

Par exemple, du 2×2 les matrices inversibles de vrai , le $de \ commencent {\ d'a&b de bmatrix} \ c&d \ extrémité {bmatrix}, \ annonce-avant Jésus Christ de qquad \ Ne 0,$

constituer un groupe multiplicatif , dénoté par GL₂ ( R ), qui est un exemple classique d'un groupe de Lie ; sa tubulure est 4 dimensionnels. Davantage de restriction aux matrices de la rotation du 2×2 donne à un sous-groupe , dénoté par SO₂ ( R ), qui est également un groupe de Lie ; sa tubulure est à une dimension, un cercle, avec l'angle de rotation comme paramètre. Dans ce dernier exemple nous pouvons écrire un élément de groupe As

$\ commencent {} de bmatrix \ cos \ lambda et - \ \ du péché \ lambda \ \ et du péché \ lambda \ cos \ lambda \ extrémité {bmatrix},$

et observer que l'inverse pour l'élément donné par &lambda ; est ce donné par −&lambda ; , tandis que le produit des éléments donnés par &lambda ; et &mu ; est ce donné par &lambda ; +&mu ; ; ainsi les deux opérations de groupe sont continues, au besoin.

Définitions

Le vrai) groupe de Lie d'A (est un groupe mathématique qui est également une tubulure douce de vrai fini-dimensionnel, et dans ce qui les opérations de groupe de la multiplication et de l'inversion sont les cartes lisses

Il y a plusieurs concepts étroitement liés. Un groupe de Lie complexe de est défini de la même manière using les tubulures complexes plutôt que le vrai (exemple : SL₂ ( C )), et pareillement un peut définir un p - le groupe de Lie adic au-dessus du '' p '' - les nombres adic . Un groupe de Lie dimensionnel infini de est défini de la même manière sauf qu'on permet à la tubulure fondamentale d'être dimensionnelle infini. Les groupes de Matrix de ou les groupes algébriques sont (rudement) des groupes de matrices, (par exemple, le les groupes Symplectic orthogonaux et ceux-ci de et de donnent la plupart des exemples plus communs des groupes de Lie.

Il est possible de définir des analogues de beaucoup de groupes de Lie de au-dessus des champs finis , et ceux-ci donnent la plupart des exemples des groupes simples finis de que un pourrait également essayer varier la définition en utilisant les tubulures topologiques ou analytiques au lieu de les lisses, mais il s'avère que ceci donne rien de neuf : Le Gleason , le Montgomery et le Zippin ont prouvé en 1952 que si $G$ est une tubulure topologique avec des opérations continues de groupe, alors là existe exactement une structure analytique sur le G quels tours il dans un groupe de Lie (voir problème de Hilbert de le cinquième et le Hilbert-Smith conjecturer ).

La langue de la théorie de catégorie de fournit une définition concise pour des groupes de Lie : un groupe de Lie est un objet de groupe de dans la catégorie des tubulures douces. C'est important, puisqu'il permet la généralisation de la notion d'un groupe de Lie aux supergroups de mensonge de .

Exemples des groupes de Lie

Voici quelques exemples des groupes de Lie et de leurs relations à d'autres secteurs des mathématiques et de la physique.
le n de ^{du R de l'espace euclidien est un groupe de Lie abélien du (avec l'addition de vecteur ordinaire comme opération de groupe).
Le n ( R ) de GL_{de groupe des matrices inversibles du (sous multiplication de Matrix de ) est un groupe de Lie de n ² de dimension, appelé le le groupe linéaire général . Il a un n} ( R ) de SL_{de sous-groupe des matrices de la cause déterminante 1 qui est également un groupe de Lie, appelées le le groupe linéaire spécial .
Le orthogonal n} ( R ) du groupe O_{de est un groupe de Lie représenté par les matrices orthogonales . Il se compose de toutes les rotations et de réflexions d'un n - l'espace de vecteur dimensionnel. Il a un n} ( R ) de SO_{de sous-groupe des éléments de la cause déterminante 1, appelés le groupe orthogonal spécial ou le groupe de rotation de .
Le groupe unitaire U ( n ) de est un groupe compact de n ² de dimension représenté par les matrices unitaires . Il a un sous-groupe SU ( n ) d'éléments de la cause déterminante 1, appelés le le groupe unitaire spécial .
Les groupes de rotation de sont de doubles couvertures des groupes orthogonaux spéciaux utilisés pour étudier les fermions dans la théorie des champs de Quantum (entre autres).
Le n} ( R ) du groupe Sp_{2 de toutes les matrices préservant une forme symplectic est un groupe de Lie appelé le groupe Symplectic .
Le S ⁰ de sphères, le S ¹, et le S ³ peuvent être transformés en groupes de Lie en les identifiant avec les vrais nombres, les nombres complexes, ou le Quaternions de la valeur 1 absolue respectivement. Aucune autre sphère n'est des groupes de Lie. Le S ¹ de groupe de Lie s'appelle parfois le groupe de cercle de de .
Le groupe de triangulaire supérieur n par des matrices du n est un groupe de Lie soluble de n ( de dimension de n ; + ; 1)/2.
Le groupe de Lorentz de et le groupe de Poincare de d'isometries de l'espace-temps sont des groupes de Lie de dimensions 6 et 10 qui sont employées dans la relativité spéciale .
Le groupe de Heisenberg de est un groupe de Lie de la dimension 3, utilisé dans la mécanique quantique De .
Le groupe U (1)× ; Le SU (2)× ; Le SU (3) est un groupe de Lie de la dimension 1+3+8=12 qui est le groupe de mesure de du modèle standard , dont la dimension correspond au 1 photon + 3 bosons de vecteur + 8 Gluons du modèle standard.
Le groupe de Metaplectic de est des 3 groupes de Lie dimensionnels qui est une double couverture du SL₂ (''' de ''' R) et est employé dans la théorie des formes modulaires qu'elle ne peut pas être représentée en tant que matrices finies.
Les groupes de Lie exceptionnels de types le '' G '' ₂ , le '' F '' ₄ , le '' E '' ₆ , le '' E '' ₇ , le '' E '' ₈ ont les dimensions 14, 52, 78, 133, et 248. Il y a également un ½} du E_{7 de groupe de la dimension 190.}}

Pour beaucoup plus d'exemples voir le Tableau de des groupes de Lie et de la liste de des groupes de Lie simples et de l'article sur les groupes de Matrix de

Il y a plusieurs manières standard de constituer de nouveaux groupes de Lie de les vieux :
Le produit de deux groupes de Lie est un groupe de Lie.
N'importe quel sous-groupe de fermé par d'un groupe de Lie est un groupe de Lie.
Le quotient d'un groupe de Lie par un sous-groupe normal fermé est un groupe de Lie.
La couverture universelle d'un groupe de Lie relié est un groupe de Lie. Par exemple, le R de groupe est la couverture universelle du S ¹ de groupe de cercle.

Quelques exemples des groupes qui sont des groupes de Lie du pas sont :
Groupes dimensionnels infinis, tels que le groupe additif d'un vrai espace de vecteur dimensionnel infini. Ce ne sont pas des groupes de Lie car elles ne sont pas les tubulures dimensionnelles finies du .
Un certain a totalement déconnecté les groupes tel que le groupe de Galois de d'une prolongation infinie des champs, ou le groupe additif nombres adic du des '' p '' -. Ce ne sont pas des groupes de Lie parce que leurs espaces fondamentaux ne sont pas de vraies tubulures. (Certains de ces groupes sont " ; p - groups" adic de mensonge ;.)
L'image d'un groupe de Lie relié sous un homomorphisme des groupes de Lie n'a pas besoin d'être un groupe de Lie. L'exemple habituel de ceci est l'image du R dans le Z ² (&cong du R ²/de groupe ; S ¹× ; S ¹) sous le → du X de carte ( X , &radic ; 2 X ). L'image est un sous-ensemble dense de Z ² du R ²/qui n'est pas une tubulure, et ainsi n'est pas un groupe de Lie. Ceci donne également un exemple où un subalgebra d'une algèbre de Lie ne correspond pas à un sous-groupe de mensonge du groupe de Lie correspondant.
Le groupe de nombres raisonnables sous l'addition, topologized comme sous-ensemble des vrais nombres, n'est pas un groupe de Lie car ce n'est pas une tubulure.

Types de groupes de Lie

Des groupes de Lie sont classifiés selon leurs propriétés algébriques ( simple, semisimple , soluble, nilpotent, abélien), leur connexité (par relié ou simplement relié) et leur compacité .

le composant d'identité de de n'importe quel groupe de Lie est un sous-groupe normal ouvert, et le groupe de quotient de est un groupe discret .

la couverture universelle de n'importe quel groupe de Lie relié est un groupe de Lie simplement relié, et réciproquement n'importe quel groupe de Lie relié est un quotient d'un groupe de Lie simplement relié par un sous-groupe normal discret du centre.
les groupes de Lie de contrat tout sont connus : ils sont des prolongements centraux finis d'un produit des copies du S ¹ et groupes de Lie compacts simples (qui de groupe de cercle correspondent au relié Dynkin diagrams .

n'importe quel groupe de Lie soluble simplement relié est isomorphe à un sous-groupe fermé du groupe de matrices triangulaires supérieures inversibles d'un certain rang, et n'importe quelle représentation irréductible dimensionnelle finie d'un tel groupe est 1 dimensionnel. Les groupes solubles sont trop malpropres pour classifier excepté dans quelques petites dimensions.

n'importe quel groupe de Lie nilpotent simplement relié est isomorphe à un sous-groupe fermé du groupe de matrices triangulaires supérieures inversibles avec 1 sur la diagonale d'un certain rang, et n'importe quelle représentation irréductible dimensionnelle finie d'un tel groupe est 1 dimensionnel. Comme les groupes solubles, les groupes nilpotent sont trop malpropres pour classifier excepté dans quelques petites dimensions.
les groupes de Lie simples sont parfois définis pour être ceux qui sont simples en tant que groupes abstraits, et parfois sont définis pour être les groupes de Lie reliés avec une algèbre de Lie simple. Par exemple, SL₂ ( R ) est simple selon la deuxième définition mais pas selon le premier. Ils ont tous étés classifiés par (pour l'une ou l'autre définition).
les groupes de Lie de Semisimple sont des groupes reliés dont l'algèbre de Lie est un produit des algèbres de Lie simples. Ils sont des prolongements centraux des produits des groupes de Lie simples.
Les groupes de Lie abéliens reliés par

sont tous isomorphes aux produits des copies du R et du S ¹ du groupe de cercle de .

Structure d'un groupe de Lie

N'importe quel G de groupe de Lie peut être décomposé en groupes discrets, simples, et abéliens d'une manière canonique comme suit. Écrire le G _con de pour le composant relié du G _sol de
d'identité pour le plus grand soluble normal relié G _nil sous-groupe pour le plus grand sous-groupe nilpotent normal relié de sorte que nous ayons un ordre du normal G de ⊆ du G _con de ⊆ du G _sol de ⊆ du G _nil de ⊆ du
1 de
de sous-groupes Puis le G / G _con de est le discret G _sol du G _con/de
est une prolongation centrale d'un produit des groupes de Lie reliés simples . le G _nil du G _sol/de
est des copies de R et de S ¹) le abélien (et un produit G _nil/1 de
est nilpotent, et donc sa série centrale montante a tous les quotients abéliens.

Ceci peut être employé pour ramener quelques problèmes au sujet des groupes de Lie (tels que trouver leurs représentations unitaires) aux mêmes problèmes pour les groupes simples reliés.

L'algèbre de Lie s'est associée à un groupe de Lie

À chaque groupe de Lie, nous pouvons associer une algèbre de Lie , dont l'espace de vecteur fondamental est l'espace de tangente du G à l'élément d'identité, qui capture complètement la structure locale du groupe. Officieusement nous pouvons penser aux éléments de l'algèbre de Lie comme éléments du groupe qui sont " ; Du close" infinitésimal ; à l'identité, et à la parenthèse de mensonge est quelque chose faire avec le collecteur de deux tels éléments infinitésimaux. Avant de donner à la définition abstraite nous donnons quelques exemples :
L'algèbre de Lie du n de ^{du R de l'espace de vecteur est juste le n} de ^{du R avec la parenthèse de mensonge donnée par le de
= 0. (En général la parenthèse de mensonge d'un groupe de Lie relié est toujours 0 si et seulement si le groupe de Lie est abélien.)
L'algèbre de Lie du linéaire général n ( R ) de _{du GL du groupe des matrices inversibles est le n} ( R ) de _{du M de l'espace de vecteur des matrices carrées avec la parenthèse de mensonge donnée par le de
= du ab ; &minus ; ;
du BA de Si le G est un sous-groupe fermé du n} ( R ) de _{du GL puis l'algèbre de Lie du G peut être considérée officieusement comme m de matrices du n} ( R ) de _{du M tels que 1 ; + ; le m de ε est dans le G , avec où le ε est un nombre positif infinitésimal ε² = 0 (naturellement aucun un tel ε de vrai nombre n'existe…). Par exemple, le groupe orthogonal le n} ( R ) de _{que du O se compose du de matrices A avec le aa ^T = 1, ainsi l'algèbre de Lie comprend le de matrices m avec (1 ; + ; m ) (1 de ε ; + ; m de ε) ^T = 1, qui est équivalent au du m ; + ; m ^T = 0 parce que ε² = 0.
Formellement, en travaillant au-dessus des reals, aussi ici, ceci est accompli en considérant la limite que ε→0 ; mais le " ; infinitesimal" ; la langue généralise directement aux groupes de Lie au-dessus des anneaux généraux}}

La définition concrète donnée ci-dessus est facile à travailler avec, mais a quelques problèmes mineurs : pour l'employer que nous devons d'abord représenter un groupe de Lie comme groupe de matrices, mais non tous les groupes de Lie peuvent être représentés de cette façon, et il n'est pas évident que l'algèbre de Lie ne dépende pas de quelle représentation nous employons. Pour contourner ces problèmes que nous donnons la définition générale de l'algèbre de Lie de tout groupe de Lie (dans 4 étapes) : Des champs de vecteur sur n'importe quel divers doux M peuvent être considérés en tant que X des dérivations de l'anneau des fonctions douces sur la tubulure, et forment donc une algèbre de Lie sous le DE X/Y de parenthèse = de de mensonge ; &minus ; ; YX , parce que la parenthèse de mensonge de de deux dérivations quelconques est une dérivation.

Si le G est n'importe quel groupe agissant sans à-coup sur le divers M , alors il agit sur les champs de vecteur, et l'espace de vecteur des champs de vecteur fixes par le groupe est fermé sous la parenthèse de mensonge et donc forme également une algèbre de Lie.

Nous appliquons cette construction au cas quand le divers M est l'espace fondamental d'un G de groupe de Lie, avec le G agissant sur le G = M par des traductions gauches. Ceci prouve que l'espace des champs de vecteur invariables gauches sur un groupe de Lie est une algèbre de Lie sous la parenthèse de mensonge des champs de vecteur.

N'importe quel vecteur de tangente à l'identité d'un groupe de Lie peut être prolongé à un champ de vecteur invariable gauche par gauche traduisant le vecteur de tangente à d'autres points de la tubulure. Ceci identifie le T_e de l'espace de tangente à l'identité avec l'espace des champs de vecteur invariables gauches, et transforme donc l'espace de tangente en algèbre de Lie, appelée l'algèbre de Lie du G , habituellement dénotée par un minuscule g ou un

de Fraktur \ mathfrak {g}

Ces $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ est fini-dimensionnel et il a la même dimension que le divers G . L'algèbre de Lie du G détermine le G jusqu'au " ; isomorphism" local ; , où deux groupes de Lie s'appellent le localement isomorphe s'ils regardent le même proche l'élément d'identité. Des problèmes au sujet des groupes de Lie sont souvent résolus en résolvant d'abord le problème correspondant pour les algèbres de Lie, et le résultat pour des groupes suit alors habituellement facilement. Par exemple, des groupes de Lie simples sont habituellement classifiés en classifiant d'abord les algèbres de Lie correspondantes.

Nous pourrions également définir une structure d'algèbre de Lie sur le T_e using de bons champs de vecteur invariables au lieu des champs de vecteur invariables gauches. Ceci mène à la même algèbre de Lie, parce que la carte inverse sur le G peut être employée pour identifier les champs de vecteur invariables gauches avec de bons champs de vecteur invariables, et agit en tant que &minus ; 1 sur le T_e de l'espace de tangente.

La structure d'algèbre de Lie sur le T_e peut également être décrite comme suit : l'opération de collecteur ^{&minus du xyx → de}

( X , y ) ; 1 ^{&minus du y ; 1}

sur des × du G ; Le G envoie ( e , ; le e ) au e , ainsi son dérivé rapporte à un l'opération bilinéaire sur le T_eG . Cette opération bilinéaire est réellement la carte zéro, mais le deuxième dérivé, sous l'identification appropriée des espaces de tangente, rapporte une opération qui satisfait les axiomes d'une parenthèse de mensonge de , et elle est égale deux fois à celui défini par les champs de vecteur gauche-invariables.

Homomorphisms et isomorphisms

Si le G et le H sont des groupes de Lie, puis un f d'homomorphisme de Trouver-groupe : Le H de → du G est un homomorphisme doux de groupe de . (Il est équivalent pour exiger seulement ce f soit le continu plutôt que lisse.) La composition de deux tels homomorphisms est encore un homomorphisme, et la classe de tous les groupes de Lie, ainsi que ces morphisms, forme une catégorie . Deux groupes de Lie s'appellent le isomorphe si là existe un homomorphisme bijectif du entre eux à qui inverse est également un homomorphisme. Les groupes de Lie isomorphes sont essentiellement identiques ; ils diffèrent seulement dans la notation pour leurs éléments.

Chaque f d'homomorphisme : Le H de → du G des groupes de Lie induit un homomorphisme entre le $d'algèbres de Lie \ mathfrak correspondants {g}$ et le $\ mathfrak {h}$ . Le $\ mapsto \ mathfrak du G d'association {g}$ est un Functor .

Une version du théorème de l'agitation de est que chaque algèbre de Lie dimensionnelle finie est isomorphe à une algèbre de Lie de matrice. Pour chaque algèbre de Lie dimensionnelle finie de matrice, il y a un groupe linéaire (groupe de Lie de matrice) avec cette algèbre en tant que son algèbre de Lie. Tellement chaque algèbre de Lie abstraite est l'algèbre de Lie d'un certain groupe de Lie (linéaire).

La structure globale de d'un groupe de Lie n'est pas déterminée par son algèbre de Lie ; par exemple, si le Z est n'importe quel sous-groupe discret du centre du G du G puis et du G / Z avoir la même algèbre de Lie (voir le Tableau de des groupes de Lie pour des exemples). Un groupe de Lie relié par de est le simple, le semisimple , le soluble, le nilpotent, ou le abélien si et seulement si son algèbre de Lie a la propriété correspondante.

Si nous avons besoin de que le groupe de Lie soit le simplement relié, alors la structure globale est déterminée par son algèbre de Lie : pour chaque $d'algèbre de Lie \ mathfrak dimensionnels finis {g}$ au-dessus du F il y a un simplement relié de groupe de Lie G avec le $\ mathfrak {g}$ comme algèbre de Lie, unique jusqu'à l'isomorphisme. D'ailleurs chaque homomorphisme entre les algèbres de Lie se soulève à un homomorphisme unique entre la correspondance les groupes de Lie simplement reliés.

La carte exponentielle

La carte exponentielle du n ( R ) de M_{d'algèbre de Lie du n} ( R ) de GL_{de groupe au n} ( R ) de GL_{est définie par la série entière habituelle : $de \ exp (A) = 1 + A + \ frac {A^2} {2 !} + \ frac {A^3} {3 !} + \ cdots$}

pour le A de matrices. Si le G est n'importe quel sous-groupe du n ( R ) de GL_{, alors la carte exponentielle prend l'algèbre de Lie du G dans le G , ainsi nous avons une carte exponentielle pour tous les groupes de matrice.}

La définition ci-dessus est facile à utiliser, mais elle n'est pas définie pour les groupes de Lie qui ne sont pas des groupes de matrice, et il n'est pas clair que la carte exponentielle d'un groupe de Lie ne dépende pas de sa représentation comme groupe de matrice. Nous pouvons résoudre les deux problèmes using une définition plus abstraite de la carte exponentielle qui fonctionne pour tous les groupes de Lie, comme suit.

Chaque de vecteur v dans le $\ mathfrak {g}$ détermine une carte linéaire à partir du R au $\ au mathfrak {g}$ prenant 1 au v , qui peut être considéré comme homomorphisme d'algèbre de Lie. Puisque le R est l'algèbre de Lie du simplement relié R de groupe de Lie, ceci induit un c d'homomorphisme de groupe de Lie : G de → du R de sorte que c ( s de

+ t ) = c ( t ) du c ( s )

pour tout le s et t . L'opération du côté droit est la multiplication de groupe dans le G . La similitude formelle de cette formule avec celle valide pour la fonction exponentielle justifie la définition

exp ( v ) de = c (1)

Ceci s'appelle la carte exponentielle de , et il trace le $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ dans le G de groupe de Lie. Il fournit un Diffeomorphism entre un voisinage de 0 dans le $\ mathfrak {g}$ et un voisinage du e dans le G . Cette carte exponentielle est une généralisation de la fonction exponentielle pour de vrais nombres (puisque le R est l'algèbre de Lie du groupe de Lie de vrais nombres positifs avec la multiplication), pour des nombres complexes (puisque le C est l'algèbre de Lie du groupe de Lie de nombres complexes différents de zéro avec la multiplication) et pour les matrices (puisque le n ( R ) de M_{avec le collecteur régulier est l'algèbre de Lie du n} ( R ) de GL_{de groupe de Lie de toutes les matrices inversibles).}

Puisque la carte exponentielle est surjective sur un certain N de voisinage du e , elle est commune aux éléments d'appel des générateurs infinitésimaux d'algèbre de Lie du G de groupe. Le sous-groupe du G produit par le N est le composant d'identité du G .

La carte exponentielle et l'algèbre de Lie déterminent la structure de groupe local de de chaque groupe de Lie relié, en raison de la formule de Boulanger-Campbell-Hausdorff de : là existe un U de voisinage de l'élément zéro du $\ du mathfrak {g}$ , tels que pour le u , le v dans le U que nous avons

exp ( u ) exp ( v ) de = &minus d'exp ( u + v + '' v '' de 1/2 + 1/12 '' v '' , de v ] ; 1/12 '' v '' , &minus du du u ] ; …)

là où les limites omises sont connues et impliquent des parenthèses de mensonge de quatre éléments ou plus. Au cas où le u et le v permuteraient, cette formule réduit à la loi exponentielle familière exp ( u ) exp ( v ) = exp ( u + v ).

La carte exponentielle de l'algèbre de Lie au groupe de Lie n'est pas toujours sur, même si le groupe est relié (bien qu'elle trace sur le groupe de Lie pour les groupes reliés qui sont contrat ou nilpotent). Par exemple, la carte exponentielle de SL₂ ( R ) n'est pas surjective.

Groupes de Lie dimensionnels infinis

Les groupes de Lie sont dimensionnels fini par définition, mais il y a beaucoup de groupes qui ressemblent à des groupes de Lie, excepté être dimensionnel infini. Il y a " très petit ; theory" général ; de tels groupes, mais de certains des exemples qui ont été étudiés inclure :
Le groupe de Diffeomorphisms d'une tubulure. Énormément est connu au sujet du groupe de diffeomorphisms du cercle. Son algèbre de Lie est (plus ou moins) l'algèbre , qui de Witt de a une prolongation centrale appelée l'algèbre de Virasoro de , utilisée dans la théorie de corde de et la théorie des champs isogone . Très peu est connu au sujet des groupes de diffeomorphism de tubulures d'une plus grande dimension. Le groupe de diffeomorphism d'espace-temps apparaît parfois dans les tentatives au quantifient la pesanteur de .
Le groupe de cartes lisses d'une tubulure à un groupe dimensionnel fini s'appelle un groupe de mesure de , et est employé dans la théorie des champs de Quantum et la théorie de Donaldson de . Si la tubulure est un cercle ceux-ci s'appellent les groupes de boucle de et ont des prolongements centraux dont les algèbres de Lie sont (plus ou moins) les algèbres Kac-Déprimées
Il y a des analogues dimensionnels infinis des groupes linéaires généraux, groupes orthogonaux, et ainsi de suite. Un aspect important est que ceux-ci peuvent avoir des propriétés topologiques plus simples du : voir par exemple le théorème de Kuiper de .
Juste comme le calcul dans les vrais espaces de vecteur fini-dimensionnels peut être prolongé au calcul dans les espaces de Banach la définition des tubulures douces fini-dimensionnel peut être prolongée pour donner une définition des tubulures analytiques de Banach de de même, la définition fini-dimensionnelle standard des groupes de Lie peut être prolongée pour donner une définition des groupes de Lie analytiques de Banach dans ce cas-ci, nous avons une tubulure analytique de Banach de qui fait simultanément structurer à un groupe tels que la multiplication et l'inversion sont les cartes analytiques. Certains des théorèmes des groupes de Lie fini-dimensionnels ne reportent pas au cas analytique de Banach, et en particulier la relation entre les groupes de Lie et les algèbres de Lie est beaucoup plus subtile dans le cas dimensionnel infini. Cependant, il est vrai ce " ; pour les groupes de Lie dimensionnels infinis a modelé sur les espaces de Banach il y a une théorie bien développée… qui est étroitement parallèle à la théorie du mensonge dimensionnel fini groups." ;

Voir également

E₈
Représentation d'Adjoint de
Armand Borel
L'espace homogène
Liste de des matières de groupe de Lie
Liste de des groupes de Lie simples
Tubulure Riemannian
Représentations de des groupes de Lie
Tableau de des groupes de Lie

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