Groupe de Coxeter

Dans les mathématiques , un groupe de Coxeter de , baptisé du nom du H. Coxeter , est un groupe d'abrégé sur qui admet une description formelle en termes de symétries de miroir. En effet, les groupes finis de Coxeter sont avec précision les groupes de réflexion euclidiens de fini les groupes de symétrie de de les polyèdres que réguliers sont un exemple. Cependant, non tous les groupes de Coxeter sont finis, et pas tout peuvent être décrits en termes de symétries et réflexions euclidiennes.

Les groupes de Coxeter trouvent des applications dans beaucoup de secteurs des mathématiques. Les exemples des groupes finis de Coxeter incluent les groupes de symétrie de de polytopes réguliers et les groupes de Weyl de d'exemples simples des algèbres de Lie des groupes infinis de Coxeter incluent les groupes de triangle de correspondant aux tessellations réguliers de l'avion euclidien et de l'avion hyperbolique , et les groupes de Weyl d'algèbres Kac-Déprimées infini-dimensionnel

Définition

Formellement, un groupe de Coxeter de peut être défini comme groupe avec la présentation $de \ parti \ langle r_1, r_2, \ ldots, r_n \ mi ^ (de r_ir_j) {m_ {ij}} =1 \ droit \ rangle$

là où II de _{du m} = 1 et ij de de _{du m ; ≥ ; 2 pour le j de ≠ du i . L'ij} de de _{du m de condition ; = ; le ∞ signifie qu'aucune relation du m de ^{de forme ( j}} de _{de r de i} de _{de r ) ne devrait être imposé.}

Un certain nombre de conclusions peuvent être tirées immédiatement de la définition ci-dessus.
Le II de _{du m de relation} = 1 signifie cela ( i de _{de r ) ² = 1 pour tout le du i ; ; les générateurs sont les involutions
S'ij} de de _{du m ; = ; 2, puis le j} de _{du i} et du r de _{du r de générateurs permutent. Ceci suit d'observer ce de
le xx de = yy = 1,
de ainsi que le de xyxy = 1
de implique ce de de x/y = X y (xyxy) = yx de (xx) (yy) = yx de .}

Afin d'éviter la redondance parmi les relations, il est nécessaire d'assumer ce m_ij = m_ji . Ceci suit d'observer ce de
le yy de

= 1,
de ainsi que le m de ^{de ( de x/y)} = 1
de implique ce m de ^{de (yx de )} = (yx de ) le yy du m de ^{= y du m} de ^{du y ( de x/y) = yy = 1. La matrice de Coxeter de est les × du n ; n , matrice symétrique avec le m_ij d'entrées. En effet, chaque matrice symétrique avec les entrées positives de nombre entier et de ∞ et avec 1 sur les services diagonaux pour définir un groupe de Coxeter. La matrice de Coxeter peut être commodément codée par un graphique de Coxeter de , selon les règles suivantes.
Les sommets du graphique sont marqués par des indices inférieurs de générateur.
Le i de sommets et le j sont reliés si et seulement si l'ij de de _{du m ; ≥ ; 3.
Un bord est marqué avec la valeur de l'ij} de de _{du m toutes les fois qu'il est 4 ou plus grand. En particulier, le de deux générateurs permutent si et seulement s'ils ne sont pas reliés par un bord. En outre, si un graphique de Coxeter a deux composants reliés par ou plus le groupe associé est le produit direct des groupes associés aux différents composants.
Un exemple
Le graphique dans quels sommets 1 traversant n sont placé dans une rangée avec chaque sommet relié par un bord non étiqueté à ses voisins immédiats provoque le symétrique n +1 de _{du S du groupe ; les générateurs correspondent aux transpositions (1 2), (2 3),… ( de n n +1). Deux transpositions non-consecutive permutent toujours, alors que ( de k k +1) (le de k +1 k +2) donne le cycle 3 ( de k +1 de k k +2). Naturellement ceci prouve seulement que le S_n+1 est un groupe de quotient de du groupe de Coxeter, mais il n'est pas trop difficile de vérifier que l'égalité se tient.}

Groupes finis de Coxeter
Chaque groupe de Weyl de peut être réalisé en tant que groupe de Coxeter. Le graphique de Coxeter de peut être obtenu à partir du diagramme de Dynkin de en remplaçant chaque double bord par un bord marqué 4 et chaque bord triple par un bord marqué 6. L'exemple donné ci-dessus correspond au groupe de Weyl du système de racine de du type le A_n . Les groupes de Weyl incluent la plupart des groupes finis de Coxeter, mais il y a des exemples additionnels aussi bien. La liste suivante donne tous les graphiques de reliés par Coxeter provoquant les groupes finis :
Comparant ceci à la liste de systèmes de racine simple, nous voyons que le B_n et le C_n provoquent le même groupe de Coxeter. En outre, le G ₂ semble être absent, mais il est présent sous le nom du I ₂(6). Les additions à la liste sont le H ₃, le H ₄, et le I ₂ ( p ).
Quelques propriétés des groupes finis de Coxeter sont données dans la table suivante :

Groupes de symétrie de polytopes réguliers
Tous les groupes de symétrie de de polytopes réguliers sont les groupes finis de Coxeter. Le dièdre de groupe qui sont les groupes de symétrie de la forme des polygones réguliers le I ₂ ( p ) de série. Le groupe de symétrie d'un régulier n - le recto est le symétrique n +1 de _{du S du groupe , également connu sous le nom de groupe de Coxeter de type le A_n . Le groupe de symétrie du n - le cube en est le même que celui du n - Croix-polytope , à savoir BC_n de . Le groupe de symétrie du régulier Dodecahedron et de l'Icosahedron régulier est le H ₃. Dans la dimension 4, il y a trois polytopes réguliers spéciaux, la cellule du 24, la cellule du 120, et la cellule du 600. Le premier a le F ₄ de groupe de symétrie, alors que les autres deux ont le H ₄ de groupe de symétrie.}
Les groupes de Coxeter de type le n de _{du D , de E ₆, de E ₇, et de E ₈ sont les groupes de symétrie de certains polytopes semiregular.}

Affiner les groupes de Weyl < ! -- Cette section est liée du affinent le groupe de Weyl -->
Le affinent la forme des groupes de Weyl qu'une deuxième série importante de Coxeter groupe. Ce ne sont pas finis elles-mêmes, mais chacun contient un sous-groupe abélien du normal du tels que le groupe correspondant de quotient de est fini. Dans chaque cas, le groupe de quotient est lui-même un groupe de Weyl, et le graphique de Coxeter est obtenu à partir du graphique de Coxeter du groupe de Weyl en ajoutant un sommet additionnel et un ou deux bords additionnels. Par exemple, pour le du n ; ≥ ; 2, les sommets se composants du n +1 de graphique en cercle est obtenus à partir du A_n de cette façon, et le groupe correspondant de Coxeter est le groupe de Weyl d'affinage de A_n . Pour le du n ; = ; 2, ceci peuvent être décrits comme groupe de symétrie du carrelage standard de l'avion par les triangles équilaterales.
Une liste des groupes de Coxeter d'affinage suit :

Groupes hyperboliques de Coxeter
Il y a également les groupes hyperboliques de Coxeter décrivant des groupes de réflexion dans la géométrie hyperbolique .
Ordres partiels
Un choix des générateurs de réflexion provoque un de fonction de longueur l sur un groupe de Coxeter, à savoir le nombre minimum des utilisations des générateurs exigés pour exprimer un élément de groupe. Une expression pour le v using le l (v) les générateurs de est un mot réduit de . Par exemple, la permutation (13) dans le S₃ a deux mots réduits, (12) (23) (12) et (23) (12) (23). Using des mots réduits on peut définir deux ordres partiels sur le groupe de Coxeter, l'ordre faible de et l'ordre de Bruhat de . Un v d'élément dépasse un d'élément u dans l'ordre de Bruhat si un certain (ou d'une manière equivalente, tout) mot réduit pour le v contient un mot réduit pour le u comme sous-chaîne, où quelques lettres (en toute position) sont abandonnées. Dans l'ordre faible, ≥ u du v si un certain mot réduit pour le v contient un mot réduit pour le u comme premier segment.
Par exemple, la permutation (1 2 3) dans le S₃ ont seulement un mot réduit, (12) (23), couvre ainsi (12) et (23) dans l'ordre de Bruhat mais seulement des couvertures (12) dans l'ordre faible.
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