Groupe de Cohomotopy

Dans les mathématiques , en particulier la topologie algébrique de , les ensembles cohomotopy sont les functors contravariant particulier de la catégorie des espaces topologiques aigu et point-préservant les cartes continues du à la catégorie des ensembles et des fonctions ils sont le duel aux groupes de Homotopy de , mais moins étudié.

Le p - l'ensemble cohomotopy de Th d'un aigu X de l'espace topologique est défini près

π p ( X ) de ^{= '' p ''}

l'ensemble de classes aiguës de Homotopy des tracés continus du X au p - p de ^{du S de la sphère . Pour le p=1 cet ensemble a une structure du groupe abélien , et est isomorphe au premier de groupe de Cohomology H¹(X) . L'ensemble a également une structure de groupe si le X est un $de la suspension \ sigma Y$ , tel qu'un q} de ^{du S de sphère pour le $du q \ ge$ 1.}

Propriétés

Quelques faits de base sur les ensembles cohomotopy, encore plus évident que d'autres :
&pi de

; p ( q de ^{de ^{de S ) = &pi ; q ( p} de _{de ^{de S ) pour tout le p , q .}}}

pour le q = p + 1 ou p + &ge 2 ; 4, &pi ; p ( q de ^{de ^{de S ) = ''' ₂ du ''' Z de . (Pour prouver ce résultat, le Pontrjagin a développé le concept du encadré Cobordisms )}}

si f , g : &rarr du X ; Le p de ^{du S a || f ( X ) - g ( X )|| < 2 pour tout le X , =, et le homotopy est lisse si le f et le g sont.}

pour le X une tubulure douce compacte, &pi ; le p ( X ) de ^{est isomorphe à l'ensemble de classes homotopy de &rarr doux du X de cartes du ; p} de ^{du S ; dans ce cas-ci, chaque carte continue peut être uniformément rapprochée par une carte lisse et toutes les cartes lisses homotopes seront sans à-coup homotopes.}

si le X est un m - la tubulure , &pi de ; p ( X ) = 0 de ^{pour le p > m .}

si le X est un m - la tubulure avec la frontière, &pi ; p ( X , &part de ^{; Le X ) est le canoniquement dans le Bijection avec l'ensemble de classes de cobordism de Codimension - submanifolds encadrés par du p du intérieur X du - &part ; X .}

le groupe cohomotopy stable X est le de Colimit $de \ des pi^p_s (X) = \ varinjlim_k {X, S^ {p+k}}$ qui est un groupe abélien .

opology-moignon .

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