Groupe d\'espace

Le groupe d'espace de d'un cristal est une description mathématique de la symétrie inhérente à la structure. Le mot « groupe » dans le nom vient de la notion mathématique de d'un groupe , qui est employé pour établir l'ensemble de groupes d'espace.

Groupes d'espace en cristallographie

Les groupes d'espace dans trois dimensions sont faits à partir des combinaisons des 32 groupes cristallographiques de point de avec les 14 trellis de Bravais qui appartiennent à un de 7 systèmes en cristal que ceci a comme conséquence un groupe d'espace étant une certaine combinaison de la symétrie de translation d'une cellule d'unité comprenant le trellis centrant, et aux opérations de symétrie de groupe de point de la réflexion , de la rotation et de la rotation inexacte (également appelée le rotoinversion). En outre on doit considérer l'axe de vis et des opérations de symétrie de l'avion de glissement . Ceux-ci s'appellent les opérations de symétrie composées et sont des combinaisons d'une rotation ou d'une réflexion avec une traduction moins que la taille de cellules d'unité. La combinaison de toutes ces opérations de symétrie a comme conséquence un total de 230 groupes d'espace uniques décrivant toutes les symétries en cristal possibles.

Avions de glissement et haches de vis

Deux des opérations de symétrie impliquées dans les groupes d'espace ne sont pas contenus dans le groupe de point ou le trellis de Bravais correspondant. Ce sont les opérations de symétrie composées appelées l'avion de glissement et l'axe de vis .

Un avion de glissement est une réflexion dans un avion, suivi d'une traduction parallèle avec cet avion. Ceci est noté par le un , le b ou le c , selon le long du lequel l'axe le glissement est. Il y a également le glissement de n, qui est un glissement le long de la moitié d'une diagonale d'un visage, et le glissement de d, qui est un quart de la manière le long d'un visage ou de la diagonale de l'espace de la cellule d'unité. Ce dernier s'appelle souvent l'avion de glissement de diamant en tant que lui comporte dans la structure de diamant.

Un axe de vis est une rotation autour d'un axe, suivi d'une traduction le long de la direction de l'axe. Ceux-ci sont notés par un nombre, le n , pour décrire le degré de rotation, où le nombre est combien des opérations doivent être appliquées pour accomplir une pleine rotation (par exemple, 3 signifieraient une rotation un tiers de la manière autour de l'axe chaque fois). Le degré de traduction est alors ajouté comme indice inférieur montrant à quelle distance le long de l'axe la traduction est, comme partie du vecteur parallèle de trellis. Ainsi, 2₁ est une rotation double suivie d'une traduction de 1/2 du vecteur de trellis.

Notation

Il y a un certain nombre de méthodes d'identifier des groupes d'espace. L'union internationale de la cristallographie édite une table (plus correctement, un tome lourd des tables) de tous les groupes d'espace, et assigne chaque un nombre unique. Autre que cet arrangement de numérotation il y a deux formes principales de notation, de la notation de Hermann-Mauguin de et de notation de Schönflies de .

La notation de Hermann-Mauguin (ou international) est celle la plus utilisée généralement en cristallographie, et se compose d'un ensemble de quatre symboles. Le premier décrit le centrage du trellis de Bravais ( P , A , B , C , I , R ou F ). Les trois prochains décrivent l'opération de symétrie la plus en avant évidente une fois projetés le long d'une des directions élevées de symétrie du cristal. Ces symboles sont identiques qu'utilisés dans les groupes de point de avec l'addition des avions de glissement et de l'axe de vis, décrite ci-dessus. À titre d'exemple, le groupe d'espace de quartz est P3₁21, prouvant qu'il montre le centrage primitif du motif (c., une fois par cellule d'unité), avec un axe de vis triple et un axe de rotation double. Noter qu'il ne contient pas explicitement le système en cristal , bien que ce soit unique à chaque groupe d'espace (dans le cas de P 3₁21, il est trigone).

Dans la notation de S. le premier symbole (3₁ dans cet exemple) dénote la symétrie le long de l'axe principal (c-axe dans des cas trigones), la seconde (2 dans ce cas-ci) le long des haches d'importance secondaire (a et b) et le troisième symbole la symétrie dans une autre direction. Dans le cas trigone là existe également un groupe d'espace P3₁12. Dans ce groupe d'espace les haches doubles ne sont pas le long de l'a et des b-haches mais dans une direction tournée par 30^o.

Théorie de groupe

Mathématiquement, un groupe d'espace est un groupe de symétrie de ou le type groupe de symétrie de n - structures dimensionnelles avec la symétrie de translation dans des directions indépendantes du n , comme, pour le n = 3, un cristal . Seulement des groupes discrets de symétrie sont inclus dans la catégorisation ; c., la structure infiniment fine ou la homogénéité dans une ou plusieurs directions est exclue. Ceci vient de la nécessité pour décrire les ensembles discrets du de « points » (c. des atomes ou des ions dans un cristal), par opposition aux médias continus (voir la symétrie de dans la physique pour le dernier cas). Voir les cristaux des trellis de Bravais de d'articles , et la traduction de (la géométrie) pour une plus pleine discussion.

Deux groupes de symétrie sont du même type cristallographique de groupe d'espace de s'ils sont identiques jusqu'à un affinent la transformation de l'espace qui préserve l'orientation . Ainsi par exemple un changement d'angle entre les vecteurs de traduction n'affecte pas le type de groupe d'espace s'il n'ajoute ou n'enlève pas aucune symétrie. Une définition plus formelle implique le conjugacy, voient le groupe de symétrie de .

Deux groupes de symétrie sont du même affinent le type de groupe d'espace s'ils sont identiques jusqu'à un affinent la transformation , même si cela inverse l'orientation.

Ceci peut être exprimé en disant que deux groupes de symétrie qui sont le chiral et l'image de miroir de chacun , sont de type cristallographique différent de groupe d'espace, mais de la même chose affiner le type de groupe d'espace.

Dans 1D et 2D groupes d'espace de la même chose affiner le groupe d'espace que le type sont également du même type cristallographique de groupe d'espace, mais dans 3D ce besoin être le cas : dans la 2D, l'image de miroir d'une rotation est une rotation renversée, qui est dans le groupe de toute façon, et l'image de miroir d'un miroir est toujours un miroir, mais l'image de miroir d'une opération droite de vis est à gauche, pas l'inverse de l'opération droite de vis.

Le théorème de Bieberbach déclare que dans chaque dimension toute affiner le groupe d'espace que les types sont différents même pendant que les groupes abstraits (par opposition par exemple à la frise de groupe dont deux sont isomorphes avec le Z ).

Le " de limite ; group" de l'espace ; est employé souvent pour le type groupe d'espace. Il est souvent clair du contexte ce qui est signifié. Cependant, quand considérer des rapports de sous-groupe par groupe spécifique de symétrie ne devrait pas être confondu avec le type de groupe d'espace.

Groupes d'espace dans diverses dimensions

Dans 1D il y a deux types de groupe d'espace : ceux avec et sans la symétrie d'image de miroir, voient des groupes de symétrie de dans une dimension .

Dans le 2D il y a de 17 ; ces groupes d'espace de 2D s'appellent également des groupes de papier peint de de de ou le le des groupes plats.

Dans 3D il y a 230 types cristallographiques de groupe d'espace, qui réduit à 219 affine des types de groupe d'espace en raison de quelques types étant différents de leur image de miroir ; ceux-ci sont indiqués pour différer par le " ; character" enantiomorphous du ; (par exemple P3₁12 et P3₂12). Habituellement " ; group" de l'espace ; se rapporte à 3D. Ils sont seuls purement mathématiques, mais jouent un grand rôle en cristallographie .

Dans 4 dimensions il y a 4895 types cristallographiques de groupe d'espace, ou 4783 affinent des types de groupe d'espace.

Le nombre de affinent le groupe d'espace dactylographie dedans des dimensions de $n$ est donné par le d'ordre A004029 dans le OEIS ; le nombre de groupe d'espace cristallographique dactylographie dedans des dimensions de $n$ est donné par le A006227 .

Doubles groupes et inversion de temps

En plus des groupes d'espace cristallographiques il y a également les groupes d'espace magnétiques ou les doubles groupes. Ces symétries contiennent un élément connu sous le nom d'inversion de temps. Elles sont d'importance en structures magnétiques qui contiennent des rotations non appariées commandées, c. le ferro- , le ferri ou les structures antiferromagnétiques du comme étudié par la diffraction de neutrons . L'élément d'inversion de temps renverse une rotation magnétique tandis que laisser à toute autre structure la même chose et elle peut être combiné avec un certain nombre d'autres éléments de symétrie. Y compris l'inversion de temps il y a 1651 groupes d'espace magnétiques dans 3D.

Groupement des groupes d'espace par le groupe de point

Un groupe de symétrie se compose du isométrique affinent les transformations que chacun est donné par une matrice orthogonale et un vecteur de traduction (qui peuvent être le vecteur zéro). Des groupes d'espace peuvent être groupés par les matrices impliquées, c. ignorant les vecteurs de traduction (voir également le groupe euclidien ). Ceci correspond aux groupes discrets de symétrie à un point fixe : le point de groupe cependant, non tous les groupes de point sont compatible avec la symétrie de translation ; ceux qui sont compatibles s'appellent les groupes cristallographiques de point. Ceci est exprimé en théorème cristallographique de restriction de . (Malgré ces noms, c'est une limitation géométrique, pas simplement physique.)

Dans les deux groupe d'espace 1D les types correspondent à leur propre " ; group" cristallographique de point ;.

Dans le 2D les 17 groupes de papier peint sont groupés selon 10 ont associé les groupes cristallographiques de point : 1, 2, 3, 4, et 6 fois la symétrie de rotation, chacune avec ou sans des réflexions. Ainsi un groupe de papier peint avec des haches de réflexion de glissement est associé au même groupe de point que le groupe de papier peint avec des haches de réflexion parallèles aux ces réflexion de glissement diminue.

Dans 3D ceci donne un groupement des 230 types de groupe d'espace dans 32 classes en cristal un pour chaque groupe cristallographique associé de point. Un groupe d'espace avec un axe de vis est dans la même classe en cristal qu'une avec un axe de rotation pur correspondant. De même un groupe d'espace avec un avion de glissement est dans la même classe en cristal qu'une avec une réflexion pure correspondante.

En plus des traductions, et des opérations de point de la réflexion, de la rotation et de la rotation inexacte, il y a des combinaisons des réflexions et des rotations avec la traduction : l'axe de vis et l'avion de glissement .

Davantage de catégorisation des groupes d'espace

Des groupes d'espace sont classés par catégorie par le trellis de Bravais et la classe en cristal . Cependant, parce que quelques combinaisons il y a des groupes d'espace multiple, alors que d'autres combinaisons ne sont pas possibles.

Les 230 types de groupe d'espace peuvent être subdivisés dans deux catégories :
73 types symmorphic de groupe d'espace : un groupe d'espace est symmorphic si toutes les symétries peuvent être décrites en termes de haches de rotation et la réflexion surface tout par le même point (rotoreflections y compris), sans vis diminue et avions de glissement). D'une manière equivalente, un groupe d'espace est symmorphic s'il est équivalent à un produit semidirect de son groupe de point avec son sous-groupe de traduction.
157 types nonsymmorphic de groupe d'espace.

Conway et Thurston ont donné une autre classification des groupes d'espace, où ils ont divisé les 230 groupes en groupes réductibles et irréductibles. Les groupes réductibles tombent dans 17 classes correspondant aux 17 groupes de papier peint de et les 35 groupes irréductibles demeurants sont classifiés séparément.

Voir également

Isometries dans trois dimensions
(en français)
Vue d'ensemble de de toute la table de l'anglais des groupes d'espace

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