Groupe commandé

Dans l'algèbre d'abrégé sur , un a commandé le groupe que est un du groupe (G, +) équipé d'un " partiel de l'ordre ; ≤" ; ce qui est le traduction-invariable ; en d'autres termes, " ; ≤" ; a la propriété qui, pour tout le un , b , et g dans le G , si un g+b de ≤ du b+g et du g+a de ≤ du a+g du b de ≤ de puis. Noter que parfois le de limite a commandé le groupe que est employé pour le groupe commandé d'a linéairement (ou totalement), et ce que nous décrivons ici s'appelle un groupe partiellement commandé de .

Un X d'élément du G s'appelle l'élément positif si 0 X de ≤. L'ensemble d'éléments 0 X de ≤ est souvent dénoté avec le G ⁺, et ce s'appelle le cône positif de de G . Ainsi nous avons le un du b de ≤ de si et seulement si de - + G ⁺ de ∈ du b .

Par la définition, nous pouvons ramener l'ordre partiel à une propriété univalente : un b de ≤ de si et seulement si de ≤ du 0 - + b .

L'ordre d'un commandé G de groupe est défini par le G ⁺ ; un groupe est un commandé de groupe si et seulement si là existe un H (qui de sous-ensemble est le G ⁺) du G tels que :
H de ∈ du 0
si un H de ∈ du a+b du H de ∈ du H et du b de ∈ de puis
si un du H de ∈ de puis - x + + de ∈ du X H pour chaque X du G
si un H de ∈ de et - un a=0 du H de ∈ de puis

Si l'ordre sur le groupe est un ordre linéaire , nous parlons d'un groupe linéairement commandé . Si l'ordre sur le groupe est un ordre de trellis, nous parlons d'un groupe commandé par trellis.

Si le G et le H sont deux groupes commandés, une carte du G au H est un morphism de des groupes commandés si c'est un homomorphisme de groupe de et une fonction monotonique . Les groupes commandés, ainsi que cette notion de morphism, forment une catégorie .

Des groupes commandés sont employés dans la définition des évaluations des champs

Exemples

qu'un a commandé l'espace de vecteur est un groupe commandé
Un espace de Riesz de est un groupe commandé par trellis
Un exemple typique d'un groupe commandé est le n de ^{du ''' du ''' Z de , où l'opération de groupe est addition de componentwise, et nous écrivons ( un ₁,…, un n de _{de ) le de ≤ ( b ₁,…, n} de _{de b ) si et seulement si de un i} de _{du b de ≤ du i} de _{de (dans l'ordre habituel des nombres entiers) pour tout le i =1,…, le n .
Plus généralement, si le G est un groupe commandé et le X est un certain ensemble, puis l'ensemble de toutes les fonctions du X au G est encore un groupe commandé : toutes les opérations sont componentwise exécuté. En outre, chaque sous-groupe du G est un groupe commandé : il hérite de l'ordre du G .}}

Random links: