Groupe alternatif

Dans les mathématiques , un groupe alternatif est le groupe de permutations même d'un ensemble fini . Le groupe alternatif sur l'ensemble {1,…, n } s'appelle le groupe alternatif de de n de degré, ou le groupe alternatif de sur les lettres du n et est dénoté par le n ou alt ( n ) d'A_.

Par exemple, le groupe alternatif du degré 4 est le 4 d'A = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12) (34), (13) (24), (14) (23)}.

Propriétés de base

Pour le n > 1, le n d'A _{de groupe est le sous-groupe de collecteur de du symétrique n} du groupe S _{de avec l'index 2 de et a donc le '' n '' ! éléments de /2. C'est le grain du sgn de l'homomorphisme de groupe de de signature : → du n} de _{du S {1, &minus ; 1} expliqué sous le groupe symétrique .}

Le n de _{du A de groupe est abélien du si et seulement si le ≤ 3 du n de et le simple si et seulement si le n = 3 ou ≥ 5.< du n ! -- La note A3 est en fait un groupe simple d'ordre 3. A1 et A2 sont des groupes d'ordre 1, ainsi pas habituellement appelés simples, et A4 a un sous-groupe normal approprié de non-identité ainsi n'est pas simple. --> A5 est le groupe simple du plus petit non-abélien, ayant l'ordre 60, et le groupe soluble du plus petit non-.}

Classes de Conjugacy

Comme dans le groupe symétrique , les classes de conjugacy de dans le n d'A _{se composent des éléments avec la même forme de cycle. Cependant, si la forme de cycle se compose des cycles de longueur impaire sans deux cycles la même longueur, puis il y a exactement deux classes de conjugacy pour cette forme de cycle.}

Exemples :
les deux permutations (123) de et (132) ne sont pas des conjugés dans A₃, bien qu'elles aient la même forme de cycle, et sont donc conjugé dans S₃
la permutation (123) (45678) n'est pas conjuguée à son inverse (132) (48765) dans A₈, bien que les deux permutations aient la même forme de cycle, ainsi dans elles sont conjuguée dans S₈.

Groupe d'automorphisme

voient également : Les automorphismes de du symétrique et d'alterner groupe le

Isomorphisms exceptionnels

Il y a un certain Isomorphisms entre certains des petits groupes alternatifs et les petits groupes de du mensonge dactylographient . Ceux-ci sont :
A₄ est isomorphe à PSL₂(3) et au groupe de symétrie de de la symétrie tétraédrique chiral.
A₅ est isomorphe à PSL₂(4), à PSL₂(5), et au groupe de symétrie de la symétrie icosaèdre chiral.
A₆ est isomorphe à PSL₂(9) et à PSp₄(2) '
A₈ est isomorphe à PSL₄(2)

Plus évidemment, A₃ est isomorphe au groupe cyclique Z₃ de , et A₁ et A₂ sont isomorphes au groupe insignifiant (qui de est également SL₁ ( q ) =PSL₁ ( q ) pour n'importe quel q ).

< ! -- La présente partie a quelques erreurs, commentent dehors jusqu'à ce qu'elles soient fixes. A4 n'est pas parfait, le =PSL de SL (4.2) =A8 ne sont pas la couverture de Schur d'A8 -->< ! -- Le _n associé de $\backslash \; operatorname\; de\; prolongements\; \{SL\}\; (q)\; \backslash \; \backslash \; \_n\; d\text{'}operatorname\; \{PSL\}\; (q)$ sont les prolongements centraux parfaits universels pour $A\_4,\; A\_5,\; A\_8$, par l'unicité de la prolongation centrale parfaite universelle ; pour le $\backslash \; operatorname\; \{PSL\}\; \_2\; (9)\; \backslash \; cong\; A\_6$, la prolongation associée est une prolongation centrale parfaite, mais pas universel : il y a un groupe de 3 fois de bâche de . -->

Sous-groupes

Le A ₄ est le plus petit groupe démontrant que l'inverse du théorème de Lagrange de n'est pas vraie en général : donné un groupe fini le G et un d de diviseur de | G |, là n'existe pas nécessairement un sous-groupe du G avec le d d'ordre : le G de groupe = A 4, de l'ordre 12, n'a aucun sous-groupe de l'ordre 6. Un sous-groupe de trois éléments (produits par une rotation cyclique de trois objets) avec tout élément complémentaire (excepté e) produit du groupe entier.

Homologie de groupe

L'homologie de groupe de de la stabilisation alternative d'objets exposés de groupes, comme dans la théorie homotopy stable : pour le suffisamment grand n , il est constant.

H₁ : Abelianization

Le premier groupe d'homologie de coïncide avec le Abelianization , et (puisque $A\_n$ est le parfait, excepté les exceptions citées) est ainsi :
$H\_1\; (A\_3,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; =A\_3^\; de$
{\ texte {ab}} = A_3 = \ mathbf {Z} /3 ; = du
$H\_1\; (A\_4,\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; =A\_4^\; \{\backslash \; texte\; \{ab\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /3$ ;
$H\_1\; (,\; d\text{'}A\_n\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; =0$ pour $n=1,2$ et $n\; \backslash \; geq\; 5$.

H₂ : Multiplicateurs de Schur

Les multiplicateurs de Schur de d'alterner groupe le n d'A _{(dans le cas où le n est au moins 5) sont les groupes cycliques d'ordre 2, excepté dans le cas où le n est 6 ou 7, dans ce cas il y a une couverture triple. Dans ces cas, puis, le multiplicateur de Schur est de l'ordre 6.}

$H\_2\; (,\; d\text{'}A\_n\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; =0$ de pour le $n\; =\; le\; 1,2,3$ ; = du
$H\_2\; (,\; d\text{'}A\_n\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /6$ pour le $n\; =\; le\; 6,7$ ; = du
$H\_2\; (,\; d\text{'}A\_n\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /2$ pour le $n\; =\; le\; 4,5$ et le $n\; \backslash \; geq\; 8$.

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