Groupe Symplectic

groupes d'IE Dans les mathématiques , le groupe symplectic nommé peut se rapporter à deux différents, mais étroitement lié, des types de groupes mathématiques . En cet article, nous dénoterons ces deux groupes de PS (2 n , F ) et PS ( n ). Ce dernier s'appelle parfois le contrat de le groupe symplectic pour le distinguer de l'ancien. Noter que beaucoup d'auteurs préfèrent les notations légèrement différentes, différant habituellement par des facteurs de 2. La notation utilisée ici est compatible à la taille des matrices employées pour représenter les groupes.

Le nom est dû au Hermann Weyl (le détaille ), et est l'analogue grec du " ; complex" ;. Le groupe symplectic était précédent connu sous le nom de ligne le groupe complexe .

PS (2 n , F )

Le groupe symplectic de du degré 2 n au-dessus d'un F , PS dénoté (2 n , F ) du champ , est le groupe 2n par les matrices symplectic du 2n avec des entrées dans le F , et avec l'opération de groupe qui de la multiplication de Matrix de . Puisque toutes les matrices symplectic ont le déterminant d'unité, le groupe symplectic est un sous-groupe du groupe linéaire spécial SL (2 n , F ) de .

Plus abstrait, le groupe symplectic peut être défini comme ensemble de transformations linéaires 2 d'un n - l'espace de vecteur dimensionnel au-dessus du F qui préservent un Nondegenerate, le Biaiser-symétrique, la forme bilinéaire . Un tel espace de vecteur s'appelle un espace de vecteur Symplectic de . Le groupe symplectic d'un symplectic abstrait V de l'espace de vecteur est PS également dénoté ( V ).

Quand le n = 1, l'état symplectic sur une matrice est le satisfaisant IFF la cause déterminante est une de sorte que PS (2, F ) = SL (2, F ). Pour le n > 1, là sont des conditions additionnelles.

Typiquement, le F de champ est le champ du R des vrais nombres , ou le C des nombres complexes . Dans ce cas-ci PS (2 n , F ) est vrai/complexe groupe de Lie de vrai/complexe n (2 n de dimension + 1). Ces groupes sont par reliés mais non-compacte. PS (2 n , C ) est le simplement relié tandis que PS (2 n , R ) a un groupe fondamental isomorphe au ''' du ''' Z de .

L'algèbre de Lie de PS (2 n , F ) est donnée par l'ensemble de 2 × du n ; A de 2 matrices du n (avec des entrées dans F ) qui satisfont le $\ Omega de A + A^T \ Omega = 0$ là où $A^T$ est le transposer du A et du &Omega ; est le $\ Omega = le biaiser-symétriques de de matrice \ commencer {le pmatrix} 0 et \ d'I_n \ - I_n et 0 \ \ \ extrémité {pmatrix}.$

PS ( n )

Le groupe symplectic, PS ( n ), est le sous-groupe de GL (n, H ) (matrices quaternionic de inversible ) que qui préserve la forme hermitienne standard sur le n de ^{du H : $de \ langle X, = de y \ rangle \ barre x_1 y_1 + \ cdots + \ x_n y_n$ de barre C'est-à-dire, PS ( n ) est juste le groupe unitaire , U ( n , H ) de quaternionic. En effet, ce s'appelle parfois le le groupe hyperunitary . Également PS (1) est le groupe de quaternions de l'unité 1, ou la sphère S³ du 3.}

Noter que PS ( n ) est le pas par groupe symplectic dans le sens du section&mdash précédent ; il ne préserve pas une forme biaiser-symétrique non-degenerate sur le n de ^{du H (en fait, la seule forme biaiser-symétrique est la forme zéro) ; c'est plutôt une vraie forme de l'algèbre de Lie symplectic complexe.}

PS ( n ) est un vrai groupe de Lie de n (2 n de dimension + 1). C'est le compact, par relié , et simplement relié. Il peut être défini par le $(2n, \ mathbb {C})$ là où le $U (2n)$ représente le groupe unitaire. L'algèbre de Lie de PS ( n ) est donnée par les matrices Biaiser-Hermitiennes du quaternionic , l'ensemble de n par les matrices quaternionic du n qui satisfont le
$A+A^ de {\ poignard} = 0$ là où le $A^ {\ poignard}$ est le conjugé de transposer du A (ici on prend le conjugé quaternionic). La parenthèse de mensonge est donnée par le collecteur.

Rapports entre les groupes symplectic

Tout le rapport entre le PS de groupes (2 n , R ), PS (2 n , C ), et PS ( n ) est le plus évident au niveau de leurs algèbres de Lie qu'il s'avère les algèbres de Lie de ces trois groupes, une fois considéré en tant que vrais groupes de Lie, partagent la même complexification . Dans le classification de s de Cartan la 'du simple algèbre des algèbres de Lie cette est le dénoté n de _{du C .}

Indiqué légèrement différemment, le complexe n de _{du C d'algèbre de Lie est juste le PS (2 n , C ) de d'algèbre du PS complexe de groupe de Lie du (2 n , C ). Cette algèbre a plusieurs le vrai des formes différent la forme , PS ( n ), qui de contrat de de est l'algèbre de Lie de PS ( n ),}

les algèbres, PS ( p, n-1 ), qui de sont les algèbres de Lie de PS ( p, du NP ), la signature indéfinie équivalente à la forme compacte,

la forme normale (ou forme de fente), PS (2 n , R ) de de , qui est l'algèbre de Lie de PS (2 n , R ).

border="

style=" de style=" de style=" de style=" de style=" de style=" de style=" de R de n (2 n de Z de style=" de C de n (2 n de style=" de H de n (2 n de align=" de style=" de H de n (2 n de align=" de

comparaison de des groupes symplectic
;	Lie group	de >dim/ style=" de	de >dim/ style=" de	compact	&pi de ; ₁
Sp (2 n , R )	real	+ 1)	&ndash ;	no
Sp (2 n , C )	complex	2 n (2 n + 1)	+ 1)	no	1
Sp ( n )	real	+ 1)	&ndash ;	yes	1
Sp ( p, NP )	real	+ 1)	&ndash ;	no	1

Voir également

groupe orthogonal
Groupe unitaire
Groupe unitaire projectif
Tubulure Symplectic , matrice Symplectic , l'espace de vecteur Symplectic , représentation Symplectic de de
Mécanique hamiltonienne
Groupe de Metaplectic de

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