Groupe Nilpotent

Dans la théorie de groupe , un groupe nilpotent est un groupe ayant une propriété spéciale qui lui fait le " ; almost" ; abélien, par l'application répétée de l'opération du collecteur , = de x/y du y ^-1 du X ^-1. Les groupes Nilpotent surgissent dans la théorie de Galois , aussi bien que dans la classification des groupes. Ils apparaissent également en évidence dans la classification des groupes de Lie

Définition

La série centrale (ou le descendant ) de inférieur du d'un G de groupe est une série de G de groupes = A ₀, le A ₁, le A ₂,…, i de _{du A ,…, où chaque i de _{du A +1} = '' G '', le sous-groupe du G produit par par tous les collecteurs avec le X dans le i} de _{du A et le y dans le G . Ainsi, A ₁ = = G ⁽¹⁾, le sous-groupe de collecteur de du G ; A ₂ = '' G '', etc.}

Si le G est abélien, puis = le E , le sous-groupe insignifiant. Comme prolongation de cette idée, un G de groupe s'appelle le nilpotent s'il y a un certain n du nombre normal tels que le n de _{du A est insignifiant. Si le n est plus petit nombre normal tels que le n} de _{du A est insignifiant, alors le n s'appelle la classe de nilpotency de du G et le G serait nilpotent du n de classe. Chaque groupe abélien a la classe 1 de nilpotency, excepté le groupe insignifiant, qui a la classe 0 de nilpotency. Si un groupe a le m de classe de nilpotency tout au plus, alors il s'appelle parfois un groupe du m de zéro.}

Pour une justification du nilpotent de limite, commencer par un nilpotent G , un g de groupe d'élément du G et définir un f de fonction : &rarr du G ; G par le f ( X ) =. Alors cette fonction est nilpotent dans le sens que là existe un n de nombre normal tels que le n , le n de ^{du f - l'itération de Th du f , envoie chaque X d'élément du G à l'élément d'identité. On s'avère que des groupes pour lesquels le n} de ^{du f envoie chaque X à l'identité pour chaque un tel g s'appellent le n - les groupes d'Engel, et n'ont pas besoin cependant d'être nilpotent généralement sont nilpotent s'ils ont l'ordre fini < ! -- Le lemme de Zorn, 1936-->, et conjecturé pour être nilpotent tant que ils sont de façon finie produit < ! -- par Havas, Vaughan-Lee, Kappe, nickel, etc.}

Une définition équivalente d'un groupe nilpotent est atteinte par la série centrale (ou le montant) de supérieur du de G , qui est un ordre du E de groupes = Z ₀, le Z ₁, le Z ₂,…, le i de _{du Z ,…, où chaque groupe successif est défini par : = du $Z_ de {i+1} \ {x \ dans G | \ forall y \ dans G : \ dans Z_i \}$}

Dans ce cas-ci, le Z ₁ est le centre du G , et pour chaque groupe successif, le i de _{du Z du i +1}/de _{du Z du groupe de facteur est le centre du i} de _{du G / Z . Pour un groupe abélien, le Z ₁ est simplement le G ; un groupe s'appelle le nilpotent de la classe n si le n de _{du Z} = G pour un minimal n .}

Ces deux définitions sont équivalentes : la série centrale inférieure atteint le insignifiant E de sous-groupe si et seulement si la série centrale supérieure atteint le G ; en outre, le minimal n d'index pour lequel ceci se produit est le même dans les deux cas.

Exemples

Comme remarquable ci-dessus, chaque groupe abélien est nilpotent.

Pour un petit exemple non-abélien, considérer le Q ₈ du groupe de Quaternion de . Il a le centre {1, &minus ; 1} d'ordre 2, et ses séries centrales inférieures est {1}, {1, &minus ; 1}, Q ₈ ; ainsi il est nilpotent de la classe 2. en fait, chaque produit direct de façon finie des beaucoup le fini '' p '' - les groupes est nilpotent.

Le groupe de Heisenberg de est un autre exemple de groupe nilpotent non-abélien.

Propriétés

Puisque chaque successif i de _{du Z du i +1}/de _{du Z du groupe de facteur est abélien, et la série est finie, chaque groupe nilpotent est un groupe soluble avec une structure relativement simple.}

Chaque sous-groupe d'un groupe nilpotent de n de classe est nilpotent du n de classe tout au plus ; en outre, si le f est un homomorphisme d'un groupe nilpotent de n de classe, puis l'image du f est nilpotent du n de classe tout au plus.

Les rapports suivants sont équivalents pour les groupes finis, indiquant quelques propriétés utiles de nilpotency :
Le G est un groupe nilpotent.
Si le H est un sous-groupe approprié du G , alors le H est un sous-groupe normal approprié du N ( H ) (le normalisateur H dans G ).
Chaque sous-groupe approprié maximal du G est normal.
Le G est le produit direct de ses sous-groupes de Sylow de

Le dernier rapport peut être prolongé aux groupes infinis : Si le G est un groupe nilpotent, alors chaque p de _{du G de sous-groupe de Sylow du G est normal, et la somme directe de ces sous-groupes de Sylow est le sous-groupe de tous les éléments d'ordre fini dans le G (voir le sous-groupe de torsion de ).}

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