Graphique de Cayley

Dans les mathématiques , un graphique de Cayley de (également connu sous le nom de graphique de couleur de Cayley de et baptisé du nom de Arthur Cayley ), est un graphique qui code la structure d'un groupe . C'est un outil central dans le la théorie de groupe géométrique combinatoire de et .

Donné un groupe $G$ , avec un produisant de l'ensemble $S$ , alors le graphique de couleur de Cayley est construit comme suit.
Chaque élément $g_i$ de $G$ est assigné un sommet $v_i$
Chaque élément $s_i$ de $S$ est assigné une couleur $c_i$
Il y a alors un bord dirigé de couleur $c_i$ de $v_1$ à $v_2$ si $g_2 = g_1 * s_i$

Alternativement, les lignes peuvent être distinguées par la direction qu'elles sont dessinées dedans, plutôt que leur couleur. (Ce n'est pas toujours géométriquement possible sur un avion). Dans quelques contextes, la multiplication gauche est employée au lieu de la droite. C'est-à-dire, les bords vont de $g$ à $sg$ .

Propriétés

Car l'ensemble se produisant d'un groupe n'est en général pas unique, ainsi la structure du graphique de Cayley n'est pas unique.
Si l'ensemble se produisant a des éléments de

n

, alors chaque sommet aura par

n

les bords dirigés

n

mener dedans, et menant dehors. (C'est une conséquence de l'opération du groupe ayant un inverse, et l'opération étant fermée, respectivement).
Les promenades fermées par dans le graphique indiquent les relations défini sur l'ensemble se produisant.
Si un membre

s

de l'ensemble se produisant est son propre inverse (

s=s^ {- 1}

), alors

s

est généralement représenté par un bord non dirigé.
Habituellement on ne permet pas à

S

de contenir l'élément d'identité,

e

. S'il fait, alors chaque sommet a un bord qui va juste de lui-même à lui-même.
Si l'ensemble

S

ne produit pas du groupe entier, le graphique de Cayley n'est pas relié.

Exemples

Le graphique de Cayley du dièdre D ₄ du groupe sur le &alpha de deux générateurs ; et &beta ; est dépeint vers la droite. Les flèches rouges représentent la gauche-multiplication par &alpha d'élément ;. Depuis le &beta d'élément ; est le individu-inverse, les lignes bleues qui représentent la gauche-multiplication par &beta d'élément ; être non dirigé. Par conséquent le graphique est mélangé : il a huit sommets, huit flèches, et quatre bords.

La table de Cayley de du D ₄ de groupe peut être dérivée de la présentation de groupe de $\ langle \ alpha, \ bêta | \ alpha^4 = \ beta^2 = e, \ alpha \ bêta = \ bêta \ alpha^3 \ rangle$ .

Le graphique de Cayley du groupe libre sur deux générateurs $a$ et $b$ est dépeint au dessus de l'article. (Note que $e$ représente l'élément d'identité .) Le déplacement le long d'un bord vers la droite représente se multiplier du côté droit par $a$ ; tandis que le déplacement vers le haut le long d'un bord correspond à se multiplier par $b$ . Puisque le groupe libre n'a aucune relation le graphique n'a aucun cycle

Le théorème de Sabidussi

le de

G

agit sur lui-même par multiplication du côté gauche. Cette action induit une action de

G

sur son graphique de Cayley. Explicitement, un élément

h

envoie un sommet

g

au sommet

hg

, et le

de bord (g, gs)

de bord (hectogramme, des hgs)

. Puisque l'action de

G

sur elle-même est le transitif, n'importe quel graphique de Cayley est le sommet-transitif. Le théorème de Sabidussi de donne une caractérisation des graphiques de Cayley : Le graphique

X

est un graphique de Cayley si et seulement si le groupe d'automorphisme de

X

contient un du sous-groupe

G

agissant régulièrement sur l'ensemble de sommet de

X

Graphique de coset de Schreier

Si on, au lieu de cela, prend les sommets pour être de bons cosets d'un sous-groupe fixe

H

, on obtient une construction relative, le graphique de coset de Schreier de , qui est à la base de l'énumération de Coset de ou du Todd-Coxeter de processus.

Raccordement à la théorie de groupe

Des aperçus de la structure du groupe peuvent être obtenus en étudiant la matrice de contiguîté de du graphique et en particulier en appliquant les théorèmes de la théorie de graphique spectrale .

Un graphique standard de Cayley pour le produit direct des groupes est le produit cartésien des graphiques correspondants de Cayley. Par exemple, un C_n du cycle est un graphique de Cayley pour le cyclique Z_n du groupe . Par conséquent le C_m de ◻ du C_n de produit cartésien, (un n par graphique de grille de m sur un tore ) est un graphique de Cayley pour le Z_m de × du Z_n de produit direct.

Voir également

Trellis de Bethe de
graphique Sommet-transitif
produisant de l'ensemble d'un groupe
Présentation de d'un groupe
Conjecture de Lovász de
le Cube-relié fait un cycle

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