Graphique d\'extenseur

Dans la combinatoire , un graphique de d'extenseur de est un graphique clairsemé qui a les propriétés élevées de la connectivité , mesuré using le sommet ou l'expansion du bord comme décrit ci-dessous. Les constructions d'extenseur ont engendré la recherche dans des mathématiques pures et appliquées, avec plusieurs applications au de l'informatique, et en particulier au de l'informatique théorique, à la conception des réseaux informatiques robustes et à la théorie des codes correcteurs d'erreurs

Définitions

Il y a plusieurs différentes manières de mesurer les propriétés d'expansion d'un multigraphe fini et non dirigé $G$ de .

Expansion de bord

Le $h\; d\text{'}expansion\; de\; bord\; (G)$ d'un graphique $G$ est défini en tant que $h\; de\; (G)\; =\; \backslash \; min\_\; \{1\; \backslash \; le\; |S|\backslash \; le\; \backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash$

du frac Expansion de sommet

Le $g\_\; d\text{'}expansion\; du$ \backslash \; alpha$-vertex\; \backslash \; alpha\; (G)$ d'un graphique $G$ est défini en tant que le $g\_\; de\; \{\backslash \; =\; d\text{'}alpha\; (G)\}\; \backslash \; min\_\; \{1\; \backslash \; le\; |S|\backslash \; le\; \backslash \; alpha\; \{n\}\}\; \backslash$

du frac Expansion spectrale

Quand $G$ est le régulier, une définition algébrique linéaire du d'expansion est possible basée sur les valeurs propres du $A=A\; de\; lamatrice\; de\; contiguîtéde\; (G)$ de $G$ (où le $A\_\; \{II\}$ est le nombre de boucles au sommet de $i$th). Puisque $A$ est le symétrique, le théorème spectral implique que $A$ a le $à\; valeurs\; réelles\; de\; valeurs\; propres\; de$ n$\backslash \; lambda\_0\; \backslash \; GE\; \backslash \; lambda\_1\; \backslash \; GE\; \backslash \; ldots\; \backslash \; GE\; \backslash \; lambda\_\; \{n-1\}$. Puisque $G$ est régulier, le $\backslash \; lambda\_0=d$ où $d$ est le degré de régularité de $G$. Dans quelques contextes, l'espace spectral de $G$ est défini pour être le $d-\; \backslash \; lambda\_1$. Dans d'autres contextes, l'espace spectral se rapporte au $d-\; \backslash \; lambda$, où $\backslash \; lambda=\; \backslash \; maximum\; \backslash$

Familles d'extenseur

Un $de\; famille\; \backslash \; \{G\}\; =\; mathcal\; \backslash \; \{G\_1,\; G\_2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}$ des graphiques de $d$-regular est une famille d'extenseur de bord s'il y a un $c\; >\; des\; 0$ constants tels que le $h\; (G)\; \backslash \; GE\; c$ pour chaque $G\; \backslash \; dans\; \backslash \; \{G\}$ mathcal. Typiquement nous voulons que $d$ soit constant, bien qu'il soit parfois également intéressant de considérer = de $d\; \backslash \; notation\; |G|$ ou même $d\; =\; |G|^\; \{O\; (1)\}$. De même, le $\backslash \; \{G\}$ mathcal est une famille d'extenseur de sommet s'il y a un $c\; >\; des\; 1$ constants tels que le $g\_\; \{1/2\}\; (G)\; \backslash \; GE\; c$ pour chaque $G\; \backslash \; dans\; \backslash \; \{G\}$ mathcal, et le $\backslash \; \{G\}$ mathcal est une famille spectrale d'extenseur si une certaine constante positive est une limite inférieure pour l'espace spectral de chaque $G\; \backslash \; dans\; \backslash \; \{G\}$ mathcal.

Ces définitions peuvent être prolongées au cas du ont dirigé des graphiques que A a dirigé le graphique peut également être interprété comme graphique bipartite de équilibré par (avec tous les bords allant d'une copie de $V$ à une autre copie). La définition des extenseurs bipartites peut plus loin être généralisée à la caisse de graphiques bipartites de déséquilibrés par .

Rapport entre les différentes définitions

Les paramètres d'expansion définis ci-dessus sont rapportés entre eux. En particulier, pour tout graphique $G$, $h\; (g\_\; de\; G)\; \backslash \; GE\; \{1/2\}\; (G)\; -\; 1$. En conséquence, chaque famille d'extenseur de sommet est également une famille d'extenseur de bord.

De même, quand $G$ est $d$-regular, il y a un rapport entre le $h\; (G)$ et - spectral de $d\; d\text{'}espace\; \backslash \; lambda\_1$ de $G$. Une inégalité due au " ; Cheeger et Buser dans le cas continu et Tanner, Alon, et Milman dans le case" discret ; déclarer ce

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; (d\; -\; \backslash \; lambda\_1)\; \backslash \; le\; h\; (G)\; \backslash \; le\; \backslash \; racine\; carrée\; \{2d\; (-\; de\; d\; \backslash \; lambda\_1)\}$ En conséquence, un $de\; famille\; \backslash \; \{G\}$ mathcal des graphiques est une famille d'extenseur de bord si et seulement si le $\backslash \; \{G\}$ mathcal est une famille spectrale d'extenseur.

Exemples des extenseurs

Un graphique aléatoire du $d$-regular a la bonne expansion, avec la probabilité élevée. Les graphiques de Ramanujan de sont une famille des graphiques d'extenseur de $d$-regular avec $d$ étant constant et avec les constructions explicites, cela ont essentiellement le plus grand possible espace spectral. Des constructions algébriques du basées sur les graphiques de Cayley de sont connues pour différentes variantes des graphiques d'extenseur. Récemment, des constructions combinatoires des extenseurs ont été également découvertes.

Applications et propriétés utiles

La motivation originale pour des extenseurs est d'établir les réseaux robustes économiques (téléphone ou ordinateur) : un extenseur avec la valence liée est avec précision un graphique robuste asymptotique avec le nombre des bords s'élevant linéairement avec la taille (nombre de sommets), pour tous les sous-ensembles.

Les graphiques d'extenseur ont trouvé des applications étendues dans le de l'informatique, en concevant le des générateurs de pseudo-aléa des extracteurs des codes correcteurs d'erreurs des algorithmes assortissant les réseaux et les réseaux informatiques robustes ils ont été également employés en prouvant beaucoup de résultats importants dans la théorie de complexité informatique , tel que le SL = L et le théorème du PCP. Dans la cryptographie aussi, des graphiques d'extenseur sont employés pour construire les fonctions de gâchis

Ce qui suit sont quelques propriétés des graphiques d'extenseur qui ont prouvé utile dans beaucoup de secteurs.

Lemme de mélange d'extenseur

voient également :

mélange du lemme d'extenseur de Le lemme de mélange d'extenseur déclare que, pour deux sous-ensembles quelconques du $S\; de\; sommets,\; est\; approximativement\; T\; \backslash \; subseteq\; V$, le nombre de bords entre $S$ et $T$ ce que vous compteriez dans un graphique aléatoire de $d$-regular, c. $d\; |S|\; \backslash \; cdot\; |T|\; /n$.

Prélèvement de promenade d'extenseur

voient également :

du prélèvement de promenade d'extenseur de Le Chernoff attaché déclare que, en prélevant beaucoup d'échantillons d'indépendant provenant de les variables aléatoires dans le $1$ de gamme, avec la probabilité élevée la moyenne de nos échantillons est proche de l'espérance de la variable aléatoire. Le lemme de prélèvement de promenade d'extenseur, les dus à Gillman et à Ajtai-Komlós-Szemerédi, déclare que ceci juge également vrai quand prélèvement d'une promenade sur un graphique d'extenseur. C'est particulièrement utile dans la théorie de Derandomization , puisque le prélèvement selon une promenade d'extenseur emploie beaucoup quelque peu aléatoire que le prélèvement indépendamment.

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